Wspólny wzór przestrzenny

Dwa zestawy nakładających się danych użyte do zilustrowania, w jaki sposób CSP może rozdzielić dane.

Dwa zestawy danych po obrocie przez CSP, aby zmaksymalizować stosunek wariancji wzdłuż dwóch osi.

Wspólny wzorzec przestrzenny ( CSP ) to procedura matematyczna stosowana w przetwarzaniu sygnałów do rozdzielania sygnału wielowymiarowego na addytywne składowe , które mają maksymalne różnice w wariancji między dwoma oknami .

Detale

Niech ${\ Displaystyle \ mathbf {X} _ {1}}$ rozmiaru ${\ Displaystyle (n, t_ {1})}$ i ${\ Displaystyle \ mathbf {X} _ {2} }}$ o rozmiarze ${\ Displaystyle (n, t_ {2})} być dwoma oknami$ sygnału wielowymiarowego , gdzie ${\ displaystyle n}$ to liczba sygnałów i ${\ displaystyle t_ { 1}}$ i to $próbek$ .

Algorytm CSP określa składową taką, że stosunek wariancji ( lub moment drugiego rzędu ) jest maksymalizowany między dwoma oknami: ${\ displaystyle \ mathbf {w} ^ {\ text {T}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {w} = {\ arg \ max} _ {\ mathbf {w}} {\ Frac {\ lewo \ |\ mathbf {wX} _{1}\right\|^{2}}{\left\|\mathbf {wX} _{2}\right\|^{2}}}}$

Rozwiązanie jest podane przez obliczenie dwóch macierzy kowariancji :

${\ Displaystyle \ mathbf {R} _ {1} = {\ Frac {\ mathbf {X} _ {1} \ mathbf {X} _ {1} ^ {\ tekst { T}} {t_ {1}}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {R} _ {2} = {\ Frac {\ mathbf {X} _ {2} \ mathbf {X} _{2}^{\text{T}}}{t_{2}}}}$

Następnie realizowana jest jednoczesna diagonalizacja tych dwóch macierzy (zwana także uogólnioną dekompozycją wartości własnych ). Znajdujemy $}}$ własnych $_ n} \ koniec {bmatrix$$\ Displaystyle \ {\ lambda _ {1}, \ cdots, \ lambda _{n}\}}$ i $macierz$ diagonalna wartości własnych { posortowane malejąco tak, że:

${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {\ operatorname {T}} \ mathbf {R} _ {1} \ mathbf {P} = \ mathbf {D}}$

I

${\ Displaystyle \ mathbf {P} ^ {\ operatorname {T}} \ mathbf {R} _ {2} \ mathbf {P} = \ mathbf {I} _ {n}}$

z macierzą tożsamości ${\ displaystyle \ mathbf {ja} _ {n}}$ .

Jest to równoważne rozkładowi własnemu : ${\ Displaystyle \ mathbf {R} _ {2} ^ {- 1} \ mathbf {R} _ {1}$ }

${\ Displaystyle \ mathbf {R} _ {2} ^ {- 1} \ mathbf {R} _ {1} = \ mathbf {PDP} ^ {- 1}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {w} ^ {\ tekst {T}}}$ będzie odpowiadać pierwszej kolumnie ${\ Displaystyle \ mathbf {P}}$ :

${\ Displaystyle \ mathbf {w} =\mathbf {p} _ {1}^{\text{T}}}$

Dyskusja

Zależność między ilorazem wariancji a wartością własną

Wektory własne składające się na to składowe o współczynniku wariancji między dwoma oknami równym odpowiadającej im wartości własnej: ${\ displaystyle \ mathbf {P}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {\ lambda} _ {i} = {\ Frac {\ lewo \ | \ mathbf {p} _ {i} ^{\text{T}}\mathbf {X} _{1}\right\|^{2}}{\left\|\mathbf {p} _{i}^{\text{T}}\mathbf {X} _{2}\prawo\|^{2}}}}$

Inne komponenty

Podprzestrzeń wektorowa $\cdots &\mathbf {p} _{i}\end{bmatrix}}}$ przez $ja$ wektory własne ${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ mathbf {p}$$_$ będzie podprzestrzenią maksymalizującą iloraz wariancji wszystkich należących do niej składowych:

${\ Displaystyle E_ {i} = {\ arg \ max} _ {E} {\ rozpocząć {pmatrix }\min _{p\w E}{\frac {\left\|\mathbf {p^{\text{T}}X} _{1}\right\|^{2}}{\left\| \mathbf {p^{\text{T}}X} _{2}\right\|^{2}}}\end{pmatrix}}}$

W ten sam sposób podprzestrzeń wektorowa $Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ mathbf {p} _{n-j+1}&\cdots &\mathbf {p} _{n}\end{bmatrix}}} będzie podprzestrzenią minimalizującą iloraz wariancji wszystkich należących do niej składowych$$ostatnie$ wektory własne $jot$ :

${\ Displaystyle F_ {j} = {\ arg \ min} _ {F} {\ rozpocząć {pmatrix }\max _{p\in F}{\frac {\left\|\mathbf {p^{\text{T}}X} _{1}\right\|^{2}}{\left\| \mathbf {p^{\text{T}}X} _{2}\right\|^{2}}}\end{pmatrix}}}$

Wariancja lub moment drugiego rzędu

CSP można zastosować po odjęciu średniej (znanej również jako „centrowanie średniej”) na sygnałach w celu uzyskania optymalizacji współczynnika wariancji. W przeciwnym razie CSP optymalizuje stosunek momentu drugiego rzędu.

Wybór okien X ₁ i X ₂

• Standardowe zastosowanie polega na doborze okien odpowiadających dwóm okresom czasu o różnej aktywacji źródeł (np. podczas odpoczynku iw trakcie wykonywania określonego zadania).
• Możliwe jest również wybranie dwóch okien odpowiadających dwóm różnym pasmom częstotliwości w celu znalezienia składowych o określonym wzorcu częstotliwości. Te pasma częstotliwości mogą być czasowe lub częstotliwościowe. Ponieważ macierz $,$ stosując przetwarzanie na transformacie Fouriera sygnałów.
• Y. Wang zaproponował konkretny wybór dla pierwszego okna, $komponenty$ , które mają określony okres. $była$ średnią z różnych okresów dla badanych
• Jeśli jest tylko jedno okno, $analizie$ uznać za macierz tożsamości, a następnie CSP odpowiada składowych .

Relacja między LDA a CSP

Liniowa analiza dyskryminacyjna (LDA) i CSP mają zastosowanie w różnych okolicznościach. LDA oddziela dane, które mają różne środki, poprzez znalezienie obrotu, który maksymalizuje (znormalizowaną) odległość między środkami dwóch zestawów danych. Z drugiej strony CSP ignoruje środki. Zatem CSP jest dobry, na przykład, do oddzielania sygnału od szumu w potencjału związanego ze zdarzeniem (ERP), ponieważ oba rozkłady mają zerową średnią i nie ma rozróżnienia dla LDA do rozdzielenia. W ten sposób CSP znajduje projekcję, która sprawia, że ​​wariancja składowych średniego ERP jest tak duża, jak to możliwe, aby sygnał wyróżniał się ponad szumem.

Aplikacje

Metodę CSP można ogólnie zastosować do sygnałów wielowymiarowych, powszechnie spotyka się ją w zastosowaniach do sygnałów elektroencefalograficznych (EEG) . W szczególności metoda ta jest często stosowana w interfejsach mózg-komputer do pobierania sygnałów składowych, które najlepiej przetwarzają aktywność mózgu dla określonego zadania (np. ruchu ręki). Może być również używany do oddzielania artefaktów od sygnałów EEG.

CSP można dostosować do analizy potencjałów związanych ze zdarzeniami .

Zobacz też

• Ślepa separacja sygnału