Wygładzony ośmiokąt

Wygładzony ośmiokąt.

Rodzina maksymalnie gęstych upakowania ośmiokąta wygładzonego.

Wygładzony ośmiokąt to obszar płaszczyzny znaleziony przez Karla Reinhardta w 1934 roku i według jego przypuszczeń mający najniższą maksymalną gęstość upakowania płaszczyzny ze wszystkich centralnie symetrycznych wypukłych kształtów. Został również niezależnie odkryty przez Kurta Mahlera w 1947 r. Jest skonstruowany przez zastąpienie rogów ośmiokąta foremnego sekcją hiperboli , która jest styczna do dwóch boków sąsiadujących z narożnikiem i asymptotyczna do boków przylegających do nich.

Budowa

Narożniki wygładzonego ośmiokąta można znaleźć, obracając trzy ośmiokąty foremne, których środki tworzą trójkąt o stałym polu.

Kształt wygładzonego ośmiokąta można wyprowadzić z jego wypełnień, które umieszczają ośmiokąty w punktach trójkątnej siatki. Wymóg, aby te opakowania miały tę samą gęstość bez względu na to, jak siatka i wygładzony ośmiokąt są obracane względem siebie, z kształtami, które pozostają w kontakcie z każdym sąsiednim kształtem, można wykorzystać do określenia kształtu rogów. Jedna z figur przedstawia trzy ośmiokąty, które obracają się, podczas gdy powierzchnia trójkąta utworzonego przez ich środki pozostaje stała, dzięki czemu są one upakowane tak blisko siebie, jak to tylko możliwe. W przypadku regularnych ośmiokątów czerwone i niebieskie kształty nakładałyby się na siebie, więc aby umożliwić obrót, rogi są przycinane do punktu, który leży w połowie odległości między ich środkami, tworząc wymaganą krzywą, która okazuje się być hiperbolą.

Konstrukcja wygładzonego ośmiokąta (czarny), stycznej hiperboli (czerwony) i asymptot tej hiperboli (zielony) oraz stycznych boków do hiperboli (niebieski).

Hiperbola jest zbudowana stycznie do dwóch boków ośmiokąta i asymptotycznie do dwóch sąsiadujących z nimi. Poniższe szczegóły dotyczą ośmiokąta foremnego o promieniu $}$ { \ $\$$sqrt {2}}, 0$ i jeden wierzchołek w punkcie ${\ Displaystyle (2,0)}$ . Dla dwóch stałych ${\ Displaystyle \ ell = {\ sqrt {2}} -1}$ m ${\ Displaystyle m = (1/2) ^ {1/4}}$ jest dana równaniem

$${\ Displaystyle \ ell ^ {2} x ^ {2} -y ^ {2} = m ^ {2}}$$

lub równoważna parametryzacja (tylko dla prawej gałęzi)

$${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x & = {\ Frac {m} {\ ell}} \ cosh {t} \\ y & = m \ sinh {t} \\\koniec {wyrównany}}}$$

dla części hiperboli, która tworzy róg, określonej przez zakres wartości parametrów

$${\ Displaystyle - {\ Frac {\ ln {2}} {4} <t <{\ Frac {\ ln {2}} {4}}.}$$

Linie ośmiokąta styczne do hiperboli to ${\ Displaystyle y = \ pm \ lewo ({\ sqrt {2}} + 1 \ prawo) \ lewo (x- 2 \ prawej)}$ , a linie asymptotyczne do hiperboli to po prostu ${\ Displaystyle y = \ pm \ ell x}$ .

Uszczelka

Wygładzony ośmiokąt ma maksymalną gęstość upakowania określoną przez

$${\ Displaystyle {\ Frac {8-4 {\ sqrt {2}} - \ ln {2}} {2 {\ sqrt {2}} -1}} \ około 0,902414 \,.}$$

Jest to mniej niż maksymalna gęstość upakowania kręgów , tj

$${\ Displaystyle {\ Frac {\ pi} {\ sqrt {12}}} \ około 0,906899.}$$

Maksymalna znana gęstość upakowania zwykłego ośmiokąta foremnego wynosi

$${\ Displaystyle {\ Frac {4 + 4 {\ sqrt {2}}} {5 + 4 {\ sqrt {2}}}} \ około 0,906163,}$$

również nieco mniejsza niż maksymalna gęstość upakowania kół, ale większa niż wygładzonego ośmiokąta.

Nierozwiązany problem z matematyki :

Czy wygładzony ośmiokąt jest centralnie symetrycznym kształtem o najniższej maksymalnej gęstości upakowania?

(więcej nierozwiązanych problemów z matematyki)

Wygładzony ośmiokąt osiąga maksymalną gęstość upakowania, nie tylko dla pojedynczego upakowania, ale dla rodziny 1-parametrowej. Wszystko to są kratowe . Przypuszczenie Reinhardta , że ​​​​wygładzony ośmiokąt ma najniższą maksymalną gęstość upakowania ze wszystkich centralnie symetrycznych wypukłych kształtów na płaszczyźnie, pozostaje nierozwiązane. Jeśli centralna symetria nie jest wymagana, siedmiokąt foremny ma jeszcze mniejszą gęstość upakowania, ale jego optymalność również nie została udowodniona. W trzech wymiarach hipoteza upakowania Ulama stwierdza, że ​​żaden wypukły kształt nie ma mniejszej maksymalnej gęstości upakowania niż kula.

Linki zewnętrzne

• Najcieńsze i najgęstsze dwuwymiarowe opakowanie? . Peter Scholl, 2001.