Wymiar Gelfanda-Kirillova

W algebrze wymiar Gelfanda – Kirillova (lub wymiar GK ) prawego modułu M nad k -algebrą A wynosi:

${\ Displaystyle \ operatorname {GKdim} = \ sup _ {V, M_ {0}} \ limsup _ {n \ do \ infty} \log _{n}\dim _{k}M_{0}V^{n}}$

gdzie supremum obejmuje wszystkie podprzestrzenie o skończonych wymiarach $podzbiór$ M $M}$ { .

Mówi się, że algebra ma wzrost wielomianowy, jeśli jej wymiar Gelfanda-Kirillova jest skończony.

Podstawowe fakty

• Wymiar Gelfanda – Kirillova skończenie generowanej algebry przemiennej A nad polem to wymiar Krulla A (lub równoważnie stopień transcendencji pola ułamków A nad polem podstawowym) .
• $_$ GK wielomianowego _ _ _
• (Warfield) Dla dowolnej liczby rzeczywistej r ≥ 2 istnieje skończenie generowana algebra, której wymiar GK wynosi r .

W teorii modułów D

Biorąc pod $M$ prawy moduł M nad algebrą Weyla wymiar Gelfanda – Kirillova M nad algebrą Weyla pokrywa się z wymiarem , który z definicji jest stopniem wielomianu Hilberta M. . Pozwala to udowodnić addytywność w krótkich ciągach dokładnych dla wymiaru Gelfanda-Kirillova iw końcu udowodnić nierówność Bernsteina , która stwierdza, że ​​wymiar M musi wynosić co najmniej n . Prowadzi to do zdefiniowania holonomicznych modułów D jako tych o minimalnym wymiarze n , a moduły te odgrywają wielką rolę w geometrycznym programie Langlandsa .

• Smith, S. Paul; Zhang, James J. (1998). „Uwaga na temat wymiaru Gelfanda – Kirilłowa” (PDF) . Postępowanie Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego . 126 (2): 349–352. doi : 10.1090/S0002-9939-98-04074-X .
• Coutinho: Elementarz algebraicznych modułów D. Cambridge, 1995

Dalsza lektura

• Artin, Michael (1999). „Pierścienie nieprzemienne” (PDF) . Rozdział VI.