Wypadkowe stresu

Wynikowe naprężenia to uproszczone reprezentacje stanu naprężeń w elementach konstrukcyjnych, takich jak belki , płyty lub powłoki . Geometria typowych elementów konstrukcyjnych pozwala uprościć stan naprężeń wewnętrznych ze względu na istnienie kierunku „grubości”, w którym rozmiar elementu jest znacznie mniejszy niż w innych kierunkach. W konsekwencji trzy trakcji , które zmieniają się z punktu na punkt w przekroju, można zastąpić zbiorem sił wypadkowych i wynikające z nich momenty. Są to wypadkowe naprężeń (zwane także siłami membranowymi , siłami ścinającymi i momentem zginającym ), które można wykorzystać do określenia szczegółowego stanu naprężenia w elemencie konstrukcyjnym. Problem trójwymiarowy można następnie zredukować do problemu jednowymiarowego (dla belek) lub problemu dwuwymiarowego (dla płyt i powłok).

Wynikowe naprężenia definiuje się jako całki naprężenia po grubości elementu konstrukcyjnego. Całki są ważone przez całkowite potęgi współrzędnej grubości z (lub x ₃ ). Wynikowe naprężenia są tak zdefiniowane, aby przedstawiały efekt naprężenia jako siła membranowa N (moc zerowa w z ), moment zginający M (moc 1) na belce lub powłoce (konstrukcji) . Wypadkowe naprężenia są niezbędne do wyeliminowania zależności z naprężenia z równań teorii płyt i powłok.

Wypadkowe naprężeń w belkach

Składowe naprężeń na powierzchniach elementu konstrukcyjnego.

Rozważ element pokazany na sąsiednim rysunku. Załóżmy, że kierunek grubości wynosi x ₃ . Jeśli element został wyjęty z belki, szerokość i grubość są porównywalne pod względem wielkości. Niech x ₂ będzie kierunkiem szerokości. Wtedy x ₁ to kierunek długości.

Siły membranowe i ścinające

Wypadkowy wektor siły wywołanej przyczepnością w przekroju ( A ) prostopadłym do osi x ₁ wynosi

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {1} = \ int _ {A} (\ sigma _ {11} \ mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dA}$

gdzie e ₁ , e ₂ , e ₃ są wektorami jednostkowymi wzdłuż odpowiednio x ₁ , x ₂ i x ₃ . Wypadkowe naprężeń definiujemy tak, że

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {1} =: N_ {11} \ mathbf {e} _ {1} + V_ {2} \mathbf {e} _{2}+V_{3}\mathbf {e} _{3}}$

gdzie N ₁₁ to siła membranowa , a V ₂ , V ₃ to siły ścinające. Dokładniej, dla belki o wysokości t i szerokości b ,

${\ Displaystyle N_ {11} = \ int _ {-b/2} ^ {b/2} \ int _ {-t / 2} ^ {t/2} \ sigma _ {11} \, dx_ {3} \,dx_{2}\,.}$

Podobnie wypadkowe siły ścinającej

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} V_ {2} \\ V_ {3} \ koniec {bmatrix}} = \ int _ {-b/2} ^ {b/2} \ int _ {-t / 2} ^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{12}\\\sigma _{13}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}$

Momenty zginające

Wektor momentu zginającego wywołanego naprężeniami w przekroju A prostopadłym do osi x ₁ jest określony wzorem

${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {1} = \ int _ {A} \ mathbf {r} \ razy (\ sigma _ {11} \ mathbf {e} _ {1} + \ sigma _ {12} \ mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dA\quad {\text{gdzie}}\quad \mathbf {r} =x_{2}\ ,\mathbf {e} _{2}+x_{3}\,\mathbf {e} _{3}\,.}$

Rozwijając to wyrażenie mamy,

${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {1} = \ int _ {A} \ lewo (-x_ {2} \ sigma _ {11} \ mathbf {e} _ {3} + x_ {2} \ sigma _ {13}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{11}\mathbf {e} _{2}-x_{3}\sigma _{12}\mathbf {e} _{ 1}\right)dA=:M_{11}\,\mathbf {e} _{1}+M_{12}\,\mathbf {e} _{2}+M_{13}\,\mathbf {e } _{3}\,.}$

Składowe wypadkowe momentu zginającego możemy zapisać jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} M_ {11} \\ M_ {12} \\ M_ {13} \ koniec {bmatrix}}: = \ int _ {-b / 2} ^ {b / 2} \ int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}x_{2}\sigma _{13}-x_{3}\sigma _{12}\\x_{3}\sigma _{ 11}\\-x_{2}\sigma _{11}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,dx_{2}\,.}$

Wypadkowe naprężeń w płytach i powłokach

_{W przypadku} płyt i skorup wymiary x1 i x2 są znacznie większe niż wymiary w _kierunku x3 . Całkowanie po polu przekroju musiałoby obejmować jeden z większych wymiarów i prowadziłoby do modelu zbyt prostego do praktycznych obliczeń. Z tego powodu naprężenia są całkowane tylko przez grubość, a wypadkowe naprężenia są zwykle wyrażane w jednostkach siły na jednostkę długości (lub momentu na jednostkę długości ) zamiast rzeczywistej siły i momentu, jak ma to miejsce w przypadku belek.

Siły membranowe i ścinające

W przypadku płyt i powłok musimy wziąć pod uwagę dwa przekroje. Pierwsza jest prostopadła do _osi x1 , a druga prostopadła do _osi x2 . Postępując zgodnie z tą samą procedurą, co w przypadku belek i pamiętając, że wypadkowe są teraz na jednostkę długości, mamy

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {1} = \ int _ {-t / 2} ^ {t/2} (\ sigma _ {11} \ mathbf {e} _ { 1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}\quad {\text{i}} \quad \mathbf {F} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}(\sigma _{12}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22} \mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3}}$

Powyższe możemy zapisać jako

${\ Displaystyle \ mathbf {F} _ {1} = N_ { 11}\mathbf {e} _{1}+N_{12}\mathbf {e} _{2}+V_{1}\mathbf {e} _{3}\quad {\text{and}}\quad \mathbf {F} _{2}=N_{12}\mathbf {e} _{1}+N_{22}\mathbf {e} _{2}+V_{2}\mathbf {e} _{3 }}$

gdzie siły membranowe są określone jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} N_ {11} \\ N_ {22} \\ N_{12}\end{bmatrix}}:=\int _{-t/2}^{t/2}{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\ sigma _{12}\end{bmatrix}}\,dx_{3}}$

a siły ścinające są zdefiniowane jako

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} V_ {1} \\ V_ {2} \ koniec {bmatrix}} = \ int _ {-t / 2} ^ {t / 2} {\ rozpocząć {bmatrix} \ sigma _ {13}\\\sigma _{23}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,.}$

Momenty zginające

Dla wypadkowych momentu zginającego mamy

${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {1} = \ int _ {-t / 2} ^ {t/2} \ mathbf {r} \ razy (\ sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3})\,dx_{ 3}\quad {\text{i}}\quad \mathbf {M} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}\mathbf {r} \times (\sigma _{ 12}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3})\,dx_{3} }$

gdzie r = x ₃ mi ₃ . Rozszerzając te wyrażenia mamy,

${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {1} = \ int _ {-t / 2} ^ {t / 2} [-x_ {3} \ sigma _ {12} \ mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{11}\mathbf {e} _{2}]\,dx_{3}\quad {\text{i}}\quad \mathbf {M} _{2}=\int _{-t/2}^{t/2}[-x_{3}\sigma _{22}\mathbf {e} _{1}+x_{3}\sigma _{ 12}\mathbf {e} _{2}]\,dx_{3}}$

Zdefiniuj wypadkowe momentu zginającego takie, że

${\ Displaystyle \ mathbf {M} _ {1} =: -M_ {12} \ mathbf {e} _ {1} + M_ {11} \ mathbf {e} _ {2} \ quad {\ tekst {i} }\quad \mathbf {M} _{2}=:-M_{22}\mathbf {e} _{1}+M_{12}\mathbf {e} _{2}\,.}$

Następnie wypadkowe momentu zginającego są podane przez

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} M_ {11} \\ M_ {22} \\ M_ {12} \ koniec {bmatrix}}: = \ int _ {-t / 2} ^ {t / 2} x_ { 3}\,{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}\,dx_{3}\,.}$

Są to wypadkowe, które często pojawiają się w literaturze, ale należy zadbać o prawidłową interpretację znaków.

Zobacz też

• Siła ścinająca
• Moment zginający
• Teoria płyt
• Gięcie blach
• Teoria płyt Kirchhoffa-Love'a
• Teoria płyt Mindlina-Reissnera
• Wibracje płyt