Wibracje płyt

W przypadku maszyny budowlanej patrz zagęszczarka płytowa .

Tryb drgań zaciśniętej płytki kwadratowej

Drgania płyt są szczególnym przypadkiem ogólniejszego problemu drgań mechanicznych . Równania rządzące ruchem płyt są prostsze niż te dla ogólnych obiektów trójwymiarowych, ponieważ jeden z wymiarów płyty jest znacznie mniejszy niż pozostałe dwa. Sugeruje to, że dwuwymiarowa teoria płyt daje doskonałe przybliżenie rzeczywistego trójwymiarowego ruchu obiektu podobnego do płyty i rzeczywiście okazuje się, że jest to prawda.

Istnieje kilka teorii opisujących ruch płyt. Najczęściej stosowane są teoria Kirchhoffa-Love'a i Uflyand-Mindlin. Ta ostatnia teoria została szczegółowo omówiona przez Elishakoffa . Rozwiązania rządzących równań przewidywanych przez te teorie mogą dać nam wgląd w zachowanie obiektów podobnych do płyt zarówno w warunkach swobodnych, jak i wymuszonych . Obejmuje to propagację fal oraz badanie fal stojących i trybów drgań w płytach. Temat drgań płyt poruszany jest w książkach Leissy, Gontkiewicza, Rao, Soedla, Yu, Gormana i Rao.

Płytki Kirchhoffa-Love'a

Główny artykuł: Teoria płyt Kirchhoffa-Love'a § Dynamika płyt Kirchhoffa-Love'a

Równania rządzące dynamiką płytki Kirchhoffa-Love'a to

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} N_ {\ alfa \beta ,\beta }&=J_{1}~{\ddot {u}}_{\alpha}\\M_{\alpha \beta ,\alpha \beta}+q(x,t)&=J_{ 1}~{\ddot {w}}-J_{3}~{\ddot {w}}_{,\alpha \alpha }\end{wyrównane}}}$

gdzie $przemieszczeniami$ w płaszczyźnie środkowej powierzchni płyty, są przemieszczeniami poprzecznymi (poza płaszczyzną) środkowej powierzchni płyty $\ Displaystyle w}$ płyta jest przyłożonym obciążeniem poprzecznym skierowanym w $górę$ (w górę), a wypadkowe siły i momenty są zdefiniowane jako $\ displaystyle x_ {3}}$

${\ Displaystyle N _ {\ alfa \ beta}: = \ int _ {-h} ^ {h} \ sigma _ {\ alfa \ beta} ~ dx_ {3} \ quad {\ tekst {i}} \ quad M_ { \alpha \beta }:=\int _{-h}^{h}x_{3}~\sigma _{\alpha \beta}~dx_{3}\,.}$

$,$ że grubość płyty wynosi $2h}$ i że wypadkowe definiuje się jako średnie ważone naprężeń w płaszczyźnie . Pochodne w równaniach rządzących są zdefiniowane jako

${\ Displaystyle {\ kropka {u}} _ {i}: = {\ Frac {\ częściowe u_ {i}} {\ częściowe t}} ~; ~ ~ {\ ddot {u}} _ {i}: = {\frac {\częściowy ^{2}u_{i}}{\częściowy t^{2}}}~;~~u_{i,\alpha}:={\frac {\częściowy u_{i}}{ \częściowy x_{\alpha}}}~;~~u_{i,\alpha \beta}:={\frac {\częściowy ^{2}u_{i}}{\częściowy x_{\alpha}\częściowy x_ {\beta}}}}$

gdzie indeksy łacińskie przechodzą od 1 do 3, podczas gdy indeksy greckie przechodzą od 1 do 2. Sumowanie po powtarzających się indeksach jest sugerowane. Współrzędne są poza $podczas$$,$$gdy$ w Dla równomiernie grubej płyty o grubości i jednorodnej gęstości masy $}$$\ Displaystyle 2h$

${\ Displaystyle J_ {1}: = \ int _ {-h} ^ {h} \ rho ~ dx_ {3} = 2 \ rho h \ quad {\ tekst {i}} \ quad J_ {3}: = \ int _{-h}^{h}x_{3}^{2}~\rho ~dx_{3}={\frac {2}{3}}\rho h^{3}\,.}$

Izotropowe płytki Kirchhoffa-Love'a

Główny artykuł: teoria płyt Kirchhoffa-Love'a § Płyty izotropowe

Dla płyty izotropowej i jednorodnej relacje naprężenie-odkształcenie są takie same

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {12} \ koniec {bmatrix}} = {\ cfrac {E} {1- \ nu ^ {2}}}{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{ 22}\\\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}\,.}$

gdzie $płaszczyźnie$ odkształceniami w i $są$ . Relacje odkształcenie-przemieszczenie dla płyt Kirchhoffa-Love'a są następujące

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {\ alfa \ beta} = {\ Frac {1} {2}} (u _ {\ alfa, \ beta} + u _ {\ beta, \ alfa}) -x_ {3} \, w_ {,\Alpha beta }\,.}$

Dlatego wypadkowe momenty odpowiadające tym naprężeniom są

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {bmatrix} M_ {11} \\ M_ {22} \\ M_ {12} \ koniec {bmatrix}} = - {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^{2})}}~{\begin{bmatrix}1&\nu &0\\\nu &1&0\\0&0&1-\nu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}w_{,11}\\w_ {,22}\\w_{,12}\end{bmatrix}}}$

Jeśli zignorujemy przemieszczenia w płaszczyźnie, równania rządzące redukują się do ${\ displaystyle u _ {\ alfa \ beta}}$

${w}} \,}$

${\ Displaystyle D \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = q (x, t) -2 \ rho h {\$

gdzie jest $sztywnością$ zginania płyty. Dla jednolitej płyty o grubości ${\ displaystyle 2h}$ ,

${\ Displaystyle D: = {\ cfrac {2h ^ {3} E} {3 (1- \ nu ^ {2})}} \,.}$

Powyższe równanie można również zapisać w alternatywnym zapisie:

${\ Displaystyle \ mu \ Delta \ Delta w- {\ kapelusz {q}} + \ rho w_ {tt} = 0 \,.}$

W mechanice ciał stałych płyta jest często modelowana jako dwuwymiarowe ciało sprężyste, którego energia potencjalna zależy od tego, jak jest wygięta z płaskiej konfiguracji, a nie od tego, jak jest rozciągnięta (co ma miejsce w przypadku membrany, takiej jak naciąg bębna). ). W takich sytuacjach wibrującą płytę można modelować w sposób analogiczny do wibrującego bębna . Jednak wynikowe równanie różniczkowe cząstkowe dla pionowego przemieszczenia w płyty z jej położenia równowagi jest czwartego rzędu, obejmującego kwadrat Laplace'a w , a nie drugiego rzędu, a jego zachowanie jakościowe zasadniczo różni się od zachowania okrągłego bębna membranowego.

Drgania swobodne płyt izotropowych

W przypadku drgań swobodnych siła zewnętrzna q wynosi zero, a równanie rządzące płytą izotropową sprowadza się do

${\ Displaystyle D \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = - 2 \ rho h {\ ddot {w}}}$

Lub

${\ Displaystyle \ mu \ Delta \ Delta w + \ rho w_ {tt} = 0 \,.}$

Zależność tę można wyprowadzić w alternatywny sposób, biorąc pod uwagę krzywiznę płyty. Gęstość energii potencjalnej płyty zależy od tego, jak płyta jest odkształcona, a więc od średniej krzywizny i krzywizny Gaussa płyty. W przypadku małych odkształceń średnią krzywiznę wyraża się jako w , pionowe przemieszczenie płyty z równowagi kinetycznej, jako Δ w , Laplacian w , a krzywizna Gaussa to operator Monge-Ampère'a w _xx w _yy - w ²
_xy . Całkowita energia potencjalna płytki Ω ma zatem postać

${\ Displaystyle U = \ int _ {\ omega} [(\ delta w)^{2}+(1-\mu )(w_{xx}w_{yy}-w_{xy}^{2})]\,dx\,dy}$

oprócz ogólnej nieistotnej stałej normalizacji. Tutaj μ jest stałą zależną od właściwości materiału.

Energia kinetyczna jest dana przez całkę postaci

${\ Displaystyle T = {\ Frac {\ rho} {2}} \ int _ {\ Omega} w_ {t} ^ {2} \, dx \, dy.}$

Zasada Hamiltona stwierdza, że ​​w jest punktem stacjonarnym w odniesieniu do zmian całkowitej energii T + U . Otrzymane równanie różniczkowe cząstkowe to

${\ Displaystyle \ rho w_ {tt} + \ mu \ Delta \ Delta w = 0. \,}$

Talerze okrągłe

W przypadku swobodnie wibrujących okrągłych płyt, a Laplacian we współrzędnych cylindrycznych ma postać ${\ Displaystyle w = w (r, t)}$

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} w \ equiv {\ Frac {1} {r}} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy r}} \ lewo (r {\ Frac {\ częściowy w}} {\ częściowy r}}\prawo)\,.}$

Dlatego rządzące równaniem drgań swobodnych okrągłej płyty o grubości jest następujące : ${\ displaystyle 2h}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {r}}} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy r}} \ lewo [r {\ frac {\ częściowy} {\ częściowy r}} \ lewo \ {{\ frac {1}{r}}{\frac {\częściowy }{\częściowy r}}\left(r{\frac {\częściowy w}{\częściowy r}}\right)\right\}\right]=- {\frac {2\rho h}}{D}}{\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy t^{2}}}\,.}$

rozszerzony,

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowy ^ {4} w} {\ częściowy r ^ {4}}} + {\ Frac {2} {r}}} {\ Frac {\ częściowy ^ {3} w} {\ częściowe r^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\częściowe ^{2}w}{\częściowe r^{2}}}+{\frac { 1}{r^{3}}}{\frac {\częściowy w}{\częściowy r}}=-{\frac {2\rho h}{D}}{\frac {\częściowy ^{2}w }{\częściowe t^{2}}}\,.}$

Aby rozwiązać to równanie, korzystamy z idei separacji zmiennych i przyjmujemy rozwiązanie postaci

${\ Displaystyle w (r, t) = W (r) F (t) \,.}$

Podstawienie tego przyjętego rozwiązania do rządzącego równania daje nam

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {\ beta W}} \ lewo [{\ Frac {d ^ {4} W} {dr ^ {4}}} + {\ Frac {2} {r}} {\ frac {d^{3}W}{dr^{3}}}-{\frac {1}{r^{2}}}{\frac {d^{2}W}{dr^{2}} }+{\frac {1}{r^{3}}}{\frac {dW}{dr}}\right]=-{\frac {1}{F}}{\cfrac {d^{2} F}{dt^{2}}}=\omega^{2}}$

gdzie ${\ Displaystyle \ omega ^ {2}}$ jest stałą i ${\ displaystyle \ beta: = 2 \ rho h/D}$ . Rozwiązaniem równania prawej ręki jest

${\ Displaystyle F (t) = {\ tekst {Re}} [Ae ^ {i \ omega t} + Bądź ^ {-i \ omega t}] \,.}$

Równanie po lewej stronie można zapisać jako

${\ Displaystyle {\ Frac {d ^ {4} W }{dr^{4}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {d^{3}W}{dr^{3}}}-{\frac {1}{r^{ 2}}}{\frac {d^{2}W}{dr^{2}}}+{\frac {1}{r^{3}}}{\cfrac {dW}{dr}}=\ lambda ^{4}W}$

gdzie ${\ Displaystyle \ lambda ^ {4}: = \ beta \ omega ^ {2}}$ . Ogólne rozwiązanie tego z wartością własną , które jest odpowiednie dla płyt, ma postać

${\ Displaystyle W (r) = C_ {1} J_ {0} (\ lambda r) + C_ {2} I_ {0} (\lambda r)}$

gdzie jest funkcją Bessela rzędu 0 pierwszego rodzaju i $zmodyfikowaną$$rzędu$ Bessela is the order 0 of the first kind. The constants $C_{1}$ and $C_{2}$ are determined from the boundary conditions. For a plate of radius $a$ with a clamped circumference, the boundary conditions are

${\ Displaystyle W (r) = 0 \ quad {\ tekst {i}} \ quad {\ cfrac {dW} {dr}} = 0 \ quad {\ tekst {at}} \ quad r = a \,.}$

Z tych warunków brzegowych stwierdzamy, że

${\ Displaystyle J_ {0} (\ lambda a) ja_ {1} (\ lambda a) + I_ {0} (\ lambda a) J_ {1} (\ lambda a) = 0 \,.}$

Możemy rozwiązać to równanie dla $ω$ i istnieje nieskończona liczba pierwiastków) i na tej podstawie znaleźć częstotliwości modalne ${ n}=\lambda _{n}^{2}/{\sqrt {\beta}}}$ . Przemieszczenie możemy również wyrazić w postaci

${\ Displaystyle w (r, t) = \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} C_ {n} \ lewo [J_ {0} (\ lambda _ {n} r) - {\ Frac {J_ { 0}(\lambda _{n}a)}{I_{0}(\lambda _{n}a)}}I_{0}(\lambda _{n}r)\right][A_{n}e ^{i\omega _{n}t}+B_{n}e^{-i\omega _{n}t}]\,.}$

Dla danej częstotliwości pierwszy $wyraz$ wewnątrz sumy w powyższym równaniu daje kształt Możemy znaleźć wartość za pomocą odpowiedniego warunku brzegowego w $displaystyle$$r = 0}$ współczynników i ${\ displaystyle A_ {n}}$ i ${\ displaystyle B_{n}}$ z warunków początkowych, korzystając z ortogonalności składowych Fouriera.

• 

  tryb n = 1

• 

  tryb n = 2

Płyty prostokątne

Tryb drgań prostokątnej płyty.

Rozważmy prostokątną płytkę, która ma wymiary $2$ płaszczyźnie i grubości $} a ×$$} displaystyle 2h}$ w kierunku - ${\ displaystyle x_ {3}}$ . Staramy się znaleźć mody drgań swobodnych płyty.

Załóżmy pole przemieszczenia postaci

${\ Displaystyle w (x_ {1}, x_ {2}, t) = W (x_ {1}, x_ {2}) F (t) \,.}$

Następnie,

${\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} w = w_ {1111} + 2w_ {1212} + w_ {2222} = \ lewo [{\ Frac {\ częściowe ^ {4} W} {\częściowe x_{1}^{4}}}+2{\frac {\częściowe ^{4}W}{\częściowe x_{1}^{2}\częściowe x_{2}^{2}}} +{\frac {\częściowy ^{4}W}{\częściowy x_{2}^{4}}}\right]F(t)}$

I

${\ Displaystyle {\ ddot {w}} = W (x_ {1}, x_ {2}) {\ Frac {d ^ {2} F} {dt ^ {2}}} \,.}$

Podłączenie ich do rządzącego równania daje

${\ Displaystyle {\ Frac {D} {2 \ rho hW}} \ lewo [{\ Frac {\ częściowe ^ {4} W} {\ częściowe x_ {1} ^ {4}}} + 2 {\ Frac { \częściowy ^{4}W}{\częściowy x_{1}^{2}\częściowy x_{2}^{2}}}+{\frac {\częściowy ^{4}W}{\częściowy x_{2 }^{4}}}\right]=-{\frac {1}{F}}{\frac {d^{2}F}{dt^{2}}}=\omega ^{2}}$

gdzie jest $strona$ , ponieważ lewa strona jest niezależna od , $podczas$ jest niezależna od ${\ Displaystyle x_ {1} ,x_{2}}$ . Z prawej strony mamy wtedy

${\ Displaystyle F (t) = Ae ^ {i \ omega t} + Bądź ^ {-i \ omega t} \,.}$

Od lewej strony,

${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe ^ {4} W} {\ częściowe x_ {1} ^ {4}}} + 2 {\ Frac {\ częściowe ^ {4} W} {\ częściowe x_ {1} ^ {2}\częściowe x_{2}^{2}}}+{\frac {\częściowe ^{4}W}{\częściowe x_{2}^{4}}}={\frac {2\rho h \omega ^{2}}{D}}W=:\lambda ^{4}W}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ lambda ^ {2} = \ omega {\ sqrt {\ Frac {2 \ rho h} {D}}} \,.}$

Ponieważ powyższe równanie jest biharmonicznym problemem wartości własnej, szukamy rozwiązań rozwinięcia Fouriera postaci

${\ Displaystyle W_ {mn} (x_ {1}, x_ {2}) = \ sin {\ Frac {m \ pi x_ {1}} {a}} \ sin {\ Frac {n \ pi x_ {2} }{B}}\,.}$

Możemy sprawdzić i zobaczyć, że to rozwiązanie spełnia warunki brzegowe dla swobodnie drgającej prostokątnej płyty o swobodnie podpartych krawędziach:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} w (x_ {1}, x_ {2}, t) = 0 i \ quad {\ tekst {at}} \ quad x_ {1} = 0, a \ quad {\ tekst { i}}\quad x_{2}=0,b\\M_{11}=D\left({\frac {\częściowe ^{2}w}{\częściowe x_{1}^{2}}}+ \nu {\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{2}^{2}}}\right)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{1}=0, a\\M_{22}=D\lewo({\frac {\częściowy ^{2}w}{\częściowy x_{2}^{2}}}+\nu {\frac {\częściowy ^{2} w}{\częściowe x_{1}^{2}}}\right)=0&\quad {\text{at}}\quad x_{2}=0,b\,.\end{wyrównane}}}$

Podstawienie rozwiązania do równania biharmonicznego daje nam

${\ Displaystyle \ lambda ^ {2} = \ pi ^ {2} \ lewo ({\ Frac {m ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ Frac {n ^ {2}} {b ^{2}}}\prawo)\,.}$

Porównanie z poprzednim wyrażeniem dla wskazuje, że możemy mieć nieskończoną liczbę rozwiązań z ${\ displaystyle \ lambda ^ {2}}$

${\ Displaystyle \ omega _ {mn} = \ lewo ({\ Frac {m ^ {2}} {a ^ {2}}} + {\ Frac {n ^ {2}} {b ^ {2}}} \right){\sqrt {\frac {D\pi ^{4}}{2\rho h}}}\,.}$

Dlatego ogólnym rozwiązaniem równania płyty jest

${\ Displaystyle w (x_ {1}, x_ {2}, t) = \ suma _ {m = 1} ^ {\ infty} \ suma _ {n = 1} ^ {\ infty} \ sin {\ frac { m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}\left(A_{mn}e^{i\omega _{mn}t}+ B_{mn}e^{-i\omega _{mn}t}\right)\,.}$

Aby znaleźć wartości $i$$używamy$ początkowych Na przykład, jeśli

${\ Displaystyle w (x_ {1}, x_ {2}, 0) = \ varphi (x_ {1}, x_ {2}) \ quad {\ tekst {na}} \ quad x_ {1} \ w [0,a]\quad {\text{i}}\quad {\frac {\częściowe w}{\częściowe t}}(x_{1},x_{2},0)=\psi (x_{ 1},x_{2})\quad {\text{on}}\quad x_{2}\w [0,b]}$

dostajemy,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} A_ {mn} & = {\ Frac {4} {ab}} \ int _ {0} ^ {a} \ int _ {0} ^ {b} \ varphi (x_ { 1},x_{2})\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}dx_{1}dx_{ 2}\\B_{mn}&={\frac {4}{ab\omega _{mn}}}\int _{0}^{a}\int _{0}^{b}\psi (x_ {1},x_{2})\sin {\frac {m\pi x_{1}}{a}}\sin {\frac {n\pi x_{2}}{b}}dx_{1}dx_ {2}\,.\end{wyrównane}}}$

Zobacz też

• Pochylenie się
• Gięcie blach
• Figurki Chladniego
• Teoria odkształceń nieskończenie małych
• Teoria płyt Kirchhoffa-Love'a
• Elastyczność liniowa
• Teoria płyt Mindlina-Reissnera
• Teoria płyt
• Stres (mechanika)
• Wypadkowe stresu
• Akustyka strukturalna