PDE czwartego rzędu w mechanice kontinuum
W matematyce równanie biharmoniczne jest równaniem różniczkowym cząstkowym czwartego rzędu , które powstaje w obszarach mechaniki ośrodków ciągłych , w tym liniowej teorii sprężystości i rozwiązania przepływów Stokesa . W szczególności jest używany do modelowania cienkich struktur, które reagują elastycznie na siły zewnętrzne.
Notacja
Jest napisane jako
∇
4
φ =
0
{\ Displaystyle \ nabla ^ {4} \ varphi = 0}
Lub
∇
2
∇
2
φ =
0
{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ nabla ^ {2} \ varphi = 0}
Lub
Δ
2
φ =
0
{\ Displaystyle \ Delta ^ {2} \ varphi = 0}
gdzie
∇
4
{\ Displaystyle \ nabla ^ {4}}
, co jest czwartą potęgą operatora del i kwadratem operatora Laplace'a
∇
2
{\ Displaystyle \ nabla ^ {2}}
(lub
Δ
{\ Displaystyle \ Delta }
), jest znany jako operator biharmoniczny lub operator bilaplacian . We współrzędnych kartezjańskich można to zapisać w wymiarach jako:
n
{\ displaystyle n}
∇
4
φ =
∑
ja = 1
n
∑
jot = 1
n
∂
ja
∂
ja
∂
)
jot
∂
jot
φ =
(
∑
ja = 1
n
∂
ja
∂
ja
)
(
∑
jot = 1
n
∂
jot
∂
jot
φ
.
{\ Displaystyle \ nabla ^ {4} \ varphi = \ suma _ {i = 1} ^ {n} \ suma _ {j = 1} ^ {n} \ częściowa _ {i} \ częściowa _ {i} \ częściowa _{j}\częściowe _{j}\varphi =\left(\sum _{i=1}^{n}\częściowe _{i}\częściowe _{i}\right)\left(\sum _{ j=1}^{n}\częściowa _{j}\częściowa _{j}\prawa)\varphi .}
\ nabla ^ {4}},
zawiera
ponieważ
sumę indeksów, wielu matematyków woli zapis niż
∇
4 {
\ Displaystyle
ten pierwszy wyjaśnia, który z indeksów czterech operatorów nabla jest zakontraktowanych.
Na przykład we współrzędnych kartezjańskich trójwymiarowych równanie biharmoniczne ma postać
∂
4
φ
∂
x
4
+
∂
4
φ
∂
y
4
+
∂
4
φ
∂
z
4
+ 2
∂
4
φ
∂
x
2
∂
y
2
+ 2
∂
4
φ
∂
y
2
∂
z
2
+ 2
∂
4
φ
∂
x
2
∂
z
2
= 0.
{\ Displaystyle {\ częściowe ^ {4} \ varphi \ nad \ częściowe x ^ {4}} + {\ częściowe ^ {4} \ varphi \ nad \ częściowe y ^ {4}} + { \częściowe ^{4}\varphi \over \częściowe z^{4}}+2{\częściowe ^{4}\varphi \over \częściowe x^{2}\częściowe y^{2}}+2{\ częściowe ^{4}\varphi \ponad \częściowe y^{2}\częściowe z^{2}}+2{\częściowe ^{4}\varphi \ponad \częściowe x^{2}\częściowe z^{2 }}=0.}
Jako inny przykład, w n -wymiarowej rzeczywistej przestrzeni współrzędnych bez początku
(
R
n
∖
0
)
{\ Displaystyle \ lewo (\ mathbb {R} ^ {n} \ setminus \ mathbf {0} \ prawej)}
,
∇
4
(
1 r
)
=
3 ( 15 - 8 n +
n
2
)
r
5
{\ Displaystyle \ nabla ^ {4} \ lewo ({1 \ nad r} \ prawej) = {3 (15-8n + n ^ {2}) \ponad r^{5}}}
Gdzie
r =
x
1
2
+
x
2
2
+ ⋯ +
x
n
2
.
{\ displaystyle r = {\ sqrt {x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2}}}.}
co pokazuje,
jest
że
tylko dla n = 3 i n = 5 rozwiązaniem równania biharmonicznego.
Rozwiązanie równania biharmonicznego nazywa się funkcją biharmoniczną . Każda funkcja harmoniczna jest biharmoniczna, ale odwrotność nie zawsze jest prawdziwa.
W dwuwymiarowych współrzędnych biegunowych równanie biharmoniczne jest
1 r
∂
∂ r
(
r
∂
∂ r
(
1 r
∂
∂ r
(
r
∂ φ
∂ r
)
)
)
+
2
r
2
∂
4
φ
∂
θ
2
∂
r
2
+
1
r
4
∂
4
φ
∂
θ
4
-
2
r
3
∂
3
φ
∂
θ
2
∂ r
+
4
r
4
∂
2
φ
∂
θ
2
=
0
{\ Displaystyle {\ Frac {1} {r}} {\ Frac {\ częściowy} {\ częściowy r}} \ lewo ( r{\frac {\częściowy }{\częściowy r}}\left({\frac {1}{r}}{\frac {\częściowy }{\częściowy r}}\left(r{\frac {\częściowy \varphi }{\częściowe r}}\right)\right)\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\frac {\częściowe ^{4}\varphi }{\częściowe \ theta ^{2}\częściowy r^{2}}}+{\frac {1}{r^{4}}}{\frac {\częściowy ^{4}\varphi }{\częściowy \theta ^{4 }}}-{\frac {2}{r^{3}}}{\frac {\częściowe ^{3}\varphi}}{\częściowe \theta ^{2}\częściowe r}}+{\frac { 4}{r^{4}}}{\frac {\częściowy ^{2}\varphi}}{\częściowy \theta ^{2}}}=0}
które można rozwiązać przez separację zmiennych. Wynikiem jest rozwiązanie Michella .
Przestrzeń dwuwymiarowa
Ogólnym rozwiązaniem przypadku dwuwymiarowego jest
x v ( x , y ) - y u ( x , y ) + w ( x , y )
{\ Displaystyle xv (x, y) -yu (x, y) + w (x, y)}
gdzie
u ( x , y )
{\ Displaystyle u (x, y)}
,
v ( x , y )
{\ Displaystyle v (x, y)}
i
w ( x , y )
{\ Displaystyle w (x, y) }
są
u
funkcjami
( x , y )
harmonicznymi i jest koniugatem harmonicznym
( x
} .
{ \ Displaystyle
, y)
u
Tak jak funkcje harmoniczne w 2 zmiennych są ściśle powiązane ze złożonymi funkcjami analitycznymi , tak samo są funkcje biharmoniczne w 2 zmiennych. Ogólną postać funkcji biharmonicznej w 2 zmiennych można również zapisać jako
ja (
z ¯
fa ( z ) + sol ( z ) )
{\ Displaystyle \ operatorname {im} ({\ bar {z}} f (z) + g (z))}
gdzie
fa ( z )
{\ Displaystyle f (z)}
i
sol ( z )
{\ Displaystyle g (z)}
są funkcjami analitycznymi .
Zobacz też
Eric W Weisstein, CRC Zwięzła encyklopedia matematyki , CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2 .
SI Hayek, Zaawansowane metody matematyczne w nauce i inżynierii , Marcel Dekker, 2000. ISBN 0-8247-0466-5 .
JP Den Hartog (1 lipca 1987). Zaawansowana wytrzymałość materiałów . Publikacje kurierskie Dover. ISBN 0-486-65407-9 .
Linki zewnętrzne