Równanie biharmoniczne

W matematyce równanie biharmoniczne jest równaniem różniczkowym cząstkowym czwartego rzędu , które powstaje w obszarach mechaniki ośrodków ciągłych , w tym liniowej teorii sprężystości i rozwiązania przepływów Stokesa . W szczególności jest używany do modelowania cienkich struktur, które reagują elastycznie na siły zewnętrzne.

Notacja

Jest napisane jako

Lub

Lub

gdzie , co jest czwartą potęgą operatora del i kwadratem operatora Laplace'a (lub ), jest znany jako operator biharmoniczny lub operator bilaplacian . We współrzędnych kartezjańskich można to zapisać w wymiarach jako:

sumę indeksów, wielu matematyków woli zapis niż ten pierwszy wyjaśnia, który z indeksów czterech operatorów nabla jest zakontraktowanych.

Na przykład we współrzędnych kartezjańskich trójwymiarowych równanie biharmoniczne ma postać

Jako inny przykład, w n -wymiarowej rzeczywistej przestrzeni współrzędnych bez początku ,

Gdzie

tylko dla n = 3 i n = 5 rozwiązaniem równania biharmonicznego.

Rozwiązanie równania biharmonicznego nazywa się funkcją biharmoniczną . Każda funkcja harmoniczna jest biharmoniczna, ale odwrotność nie zawsze jest prawdziwa.

W dwuwymiarowych współrzędnych biegunowych równanie biharmoniczne jest

które można rozwiązać przez separację zmiennych. Wynikiem jest rozwiązanie Michella .

Przestrzeń dwuwymiarowa

Ogólnym rozwiązaniem przypadku dwuwymiarowego jest

gdzie , i harmonicznymi i jest koniugatem harmonicznym u

Tak jak funkcje harmoniczne w 2 zmiennych są ściśle powiązane ze złożonymi funkcjami analitycznymi , tak samo są funkcje biharmoniczne w 2 zmiennych. Ogólną postać funkcji biharmonicznej w 2 zmiennych można również zapisać jako

gdzie i funkcjami analitycznymi .

Zobacz też

  •   Eric W Weisstein, CRC Zwięzła encyklopedia matematyki , CRC Press, 2002. ISBN 1-58488-347-2 .
  •   SI Hayek, Zaawansowane metody matematyczne w nauce i inżynierii , Marcel Dekker, 2000. ISBN 0-8247-0466-5 .
  •   JP Den Hartog (1 lipca 1987). Zaawansowana wytrzymałość materiałów . Publikacje kurierskie Dover. ISBN 0-486-65407-9 .

Linki zewnętrzne