Wyprowadzenie tablicy Routh

Tablica Routha jest metodą tabelaryczną pozwalającą ustalić stabilność systemu tylko na podstawie współczynników wielomianu charakterystycznego . Twierdzenie Routha-Hurwitza i tablica Routha , kluczowe dla dziedziny projektowania systemów sterowania, pojawiają się dzięki zastosowaniu algorytmu euklidesowego i twierdzenia Sturma do oceny wskaźników Cauchy'ego .

Indeks Cauchy'ego

Biorąc pod uwagę system:

${\ Displaystyle { \begin{aligned}f(x)&{}=a_{0}x^{n}+a_{1}x^{n-1}+\cdots +a_{n}&{}\quad (1) \\&{}=(x-r_{1})(x-r_{2})\cdots (x-r_{n})&{}\quad (2)\\\end{wyrównane}}}$

Zakładając, że żadne pierwiastki z urojonej osi nie leżą na wyimaginowanej osi ${\ displaystyle f (x) = 0}$

${\ Displaystyle N}$ = Liczba pierwiastków ${\ Displaystyle f (x) = 0}$ z ujemnymi częściami rzeczywistymi i

${\ Displaystyle P}$ = Liczba pierwiastków ${\ displaystyle f (x) = 0}$ z dodatnimi częściami rzeczywistymi

Następnie mamy

${\ Displaystyle N + P = n \ quad (3)}$

Wyrażając w postaci biegunowej mamy ${\ displaystyle f (x)}$

${\ Displaystyle f (x) = \ rho (x) e ^ {j \ teta (x)} \ quad (4)}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ rho (x) = {\ sqrt {{\ mathfrak {Re}} ^ {2 }[f(x)]+{\mathfrak {Im}}^{2}[f(x)]}}\quad (5)}$

I

${\ Displaystyle \ teta (x) = \ dębnik ^ {- 1} {\ duży (}{\mathfrak {Im}}[f(x)]/{\mathfrak {Re}}[f(x)]{\big)}\quad (6)}$

z (2) zauważ to

${\ Displaystyle \ teta (x) = \ teta _ {r_ {1}} (x )+\theta _{r_{2}}(x)+\cdots +\theta _{r_{n}}(x)\quad (7)}$

Gdzie

${\ Displaystyle \ teta _ {r_ {i}} (x) = \ kąt (xr_ {i}) \ quad (8)}$

Teraz, jeśli i-ty ^pierwiastek z ${\ displaystyle f (x) = 0}$ ma dodatnią część rzeczywistą, to ( używając notacji y = (RE [y], IM [y]) )

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ teta _ {r_ {i}} (x) {\ duży |} _ {x = -j \ infty} & = \ kąt (x-r_{i}){\big |}_{x=-j\infty }\\&=\angle (0-{\mathfrak {Re}}[r_{i}],-\infty -{ \mathfrak {Im}}[r_{i}])\\&=\angle (-|{\mathfrak {Re}}[r_{i}]|,-\infty )\\&=\pi +\lim _{\phi \to \infty}\tan ^{-1}\phi ={\frac {3\pi}}{2}}\quad (9)\\\end{wyrównane}}}$

I

${\ Displaystyle \ theta _ {r_ {i}} (x) {\ duży |} _ {x=j0}=\kąt (-|{\mathfrak {Re}}[r_{i}]|,0)=\pi -\tan ^{-1}0=\pi \quad (10)}$

I

${\ Displaystyle \ theta _ {r_ {i}} ( x){\big |}_{x=j\infty }=\angle (-|{\mathfrak {Re}}[r_{i}]|,\infty )=\pi -\lim _{\phi \ do \infty }\tan ^{-1}\phi ={\frac {\pi }{2}}\quad (11)}$

Podobnie, jeśli i- ^ty pierwiastek z ${\ displaystyle f (x) = 0}$ ma ujemną część rzeczywistą,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ teta _ {r_ {i}} (x) {\ duży |} _ {x = -j \ infty} i = \ kąt (x- r_{i}){\big |}_{x=-j\infty }\\&=\angle (0-{\mathfrak {Re}}[r_{i}],-\infty -{\mathfrak { Im}}[r_{i}])\\&=\angle (|{\mathfrak {Re}}[r_{i}]|,-\infty )\\&=0-\lim _{\phi \ do \infty }\tan ^{1}\phi =-{\frac {\pi }{2}}\quad (12)\\\end{wyrównane}}}$

I

${\ Displaystyle \ teta _ {r_ {i}} (x) {\ duży |} _ {x = j0 }=\angle (|{\mathfrak {Re}}[r_{i}]|,0)=\tan ^{-1}0=0\,\quad (13)}$

I

${\ Displaystyle \ theta _ {r_ {i}} (x) { \big |}_{x=j\infty }=\angle (|{\mathfrak {Re}}[r_{i}]|,\infty )=\lim _{\phi \to \infty }\tan ^ {-1}\phi ={\frac {\pi }{2}}\,\quad (14)}$

Od (9) do (11) znajdujemy, że $pi }$${\ Displaystyle \ teta _ {r_ {i}} (x) {\ duży |} _ {x = - j \ infty} ^ {x = j \ infty} = -$${\ Displaystyle \ teta _ {r_ {i}} (x) {\ duży |} _ {x = - j \ infty} ^ {x = j \ infty} = \ pi }$ gdy i ^-ty pierwiastek z $część rzeczywistą,$ stwierdzamy, że , gdy i- ^ty pierwiastek z ma ujemną część rzeczywistą ${\ Displaystyle f (x)} .$ Zatem,

${\ Displaystyle \ teta (x) {\ duży |} _ {x = -j \ infty} ^ {x = j \ infty} = \ kąt (x-r_{1}){\duży |}_{x=-j\infty }^{x=j\infty }+\kąt (x-r_{2}){\duży |}_{x =-j\infty }^{x=j\infty }+\cdots +\angle (x-r_{n}){\Duży |}_{x=-j\infty }^{x=j\infty } =\pi N-\pi P\quad (15)}$

Jeśli więc zdefiniujemy

${\ Displaystyle \ Delta = {\ Frac {1} {1} {\ pi}} \ teta (x) {\ duży |} _ {-j \ infty} ^ {j \ infty} \ quad (16)}$

wtedy mamy związek

${\ Displaystyle NP = \ Delta \ quad (17)}$

a połączenie (3) i (17) daje nam

${\ Displaystyle N = {\ Frac {n + \ Delta} {2}}}$ i ${\ Displaystyle P = {\ Frac {n- \ Delta} {2 }}\quad (18)}$

$określić$ pod uwagę równanie $aby$ , wystarczy ocenić tę funkcję liczbę $}$$Delta$ pierwiastków z ujemnymi częściami rzeczywistymi i $.$ pierwiastków z dodatnimi częściami rzeczywistymi

Rysunek 1

${\ Displaystyle \ tan (\ teta)}$ kontra ${\ Displaystyle \ teta}$

Zgodnie z (6) i $,$$,$$wykres$ , w a b) gdzie ${\ Displaystyle \ teta _ {a} = \ teta (x) | _ {x = ja}}$ i ${\ Displaystyle \ theta _ {b} = \ theta (x) | _ {x = jb}}$ są całkowitymi wielokrotnościami ${\ Displaystyle \ pi}$ , ta zmiana powoduje funkcję $)}$${\ displaystyle$$\$$theta ($ wzrósł o , wskazuje, że podczas podróży z punktu a do punktu b „przeskoczył” z $\ displaystyle + \ infty }$ do ${\ Displaystyle - \ infty}$ jeszcze raz, niż przeskoczył z ${\ Displaystyle - \ infty}$ do ${\ Displaystyle + \ infty}$ . Podobnie, jeśli zmieniamy się ${\ Displaystyle \ theta}$$( a,$${\ displaystyle \$ ), ta zmiana powoduje zmniejszenie się o , gdzie ponownie $theta (x)}$ jest wielokrotnością ${\ Displaystyle \ pi}$ zarówno przy ${\ Displaystyle x = ja},$ jak i ${\ Displaystyle x = jb}$ oznacza, że ${\ Displaystyle \ tan \ teta (x) = {\ mathfrak {Im}} [f (x)] / {\ mathfrak {Re} }[f (x)]}$ skoczył z ${\ Displaystyle - \ infty}$ do ${\ Displaystyle + \ infty}$ jeszcze raz, niż skoczył z ${\ Displaystyle + \ infty}$ do ${\ displaystyle - \ infty}$$.$ ponieważ zmieniał się we wspomnianym przedziale

Zatem ${\ Displaystyle \ theta (x) {\ duży |} _ {-j \ infty} ^ {j \ infty}} to π$ { $displaystyle \ pi}$ razy różnica między liczbą punktów, w których ${\ Displaystyle {\ mathfrak {Im}} [f (x)] / {\ mathfrak {Re}} [f (x)]} skacze$ z ${\ Displaystyle - \ infty}$ do ${\ Displaystyle + \ infty}$ i liczbę punktów, w których ${\ Displaystyle {\ mathfrak { Im}} [f (x)] / {\ mathfrak {Re}} [f (x)]}$ przeskakuje z ${\ Displaystyle + \ infty}$ do ${\ Displaystyle - \ infty}$ jako ${\ Displaystyle x}$ waha się w przedziale ${\ Displaystyle (-j \ infty, + j \ infty \,)}$ pod warunkiem, że w ${\ Displaystyle x = \ pm j \ infty }$ , ${\ Displaystyle \ tan [\ theta (x)]}$ jest zdefiniowany.

Rysunek 2

${\ Displaystyle - \ łóżeczko (\ teta)}$ kontra ${\ Displaystyle \ teta}$

W przypadku, gdy punkt wyjścia znajduje się na niezgodności (tj. ${\ Displaystyle \ theta _ {a} = \ pi / 2 \ pm i \ pi}$ , i = 0, 1, 2 , ...) punkt końcowy również będzie znajdował się na niezgodności, zgodnie z równaniem (17) (ponieważ $\$ liczbą całkowitą, a liczbą całkowitą jest $displaystyle P}$${\ displaystyle \ Delta}$ będzie liczbą całkowitą). W tym przypadku możemy $2}$ \ displaystyle $}$$2$ do ${\ displaystyle \ teta}$ . Tak ${\ Displaystyle \ tan [\ theta ] = {\ mathfrak {Im}} [f (x)] / {\ mathfrak {Re}} [f (x)]} w przedziale (a, b)$ kombinacji współczynników przez $obliczenie$ = ${\ Displaystyle (+ j \ infty, -j \ infty)}$ , gdy nasz punkt początkowy (a tym samym końcowy) nie jest niezgodnością, a oceniając

${\ Displaystyle \ tan [\ theta '(x)] = \ tan [\ theta + \ pi / 2] = - \ łóżeczko [\ theta (x)] = - {\ mathfrak {Re}} [f (x )]/{\mathfrak {Im}}[f(x)]\quad (19)}$

we wspomnianym przedziale, gdy nasz punkt wyjścia znajduje się w niezgodności. Ta różnica, ujemnych i dodatnich niezgodności skoków napotykanych podczas przechodzenia od $-j \ infty}$${\ Displaystyle$${$$Displaystyle + j \ infty}$ nazywa się indeksem Cauchy'ego stycznej kąta fazowego, przy czym kąt fazowy wynosi ${\ Displaystyle \ theta (x)}$ lub ${\ Displaystyle \ theta '(x)}$ , w zależności od ${\ displaystyle \ theta _ {a}}$ jest całkowitą wielokrotnością ${\ displaystyle \ pi}$ lub nie.

Kryterium Routha

Aby wyprowadzić kryterium Routha, najpierw użyjemy innej notacji, aby rozróżnić wyrażenia parzyste i nieparzyste ${\ displaystyle f (x)}$ :

${\ Displaystyle f (x) = a_ {0} x ^ {n} +b_{0}x^{n-1}+a_{1}x^{n-2}+b_{1}x^{n-3}+\cdots \quad (20)}$

Teraz mamy:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f (j \ omega) i = a_ {0} (j \ omega) ^ {n} + b_ {0} (j \ omega) ^ {n-1}+a_{1}(j\omega)^{n-2}+b_{1}(j\omega)^{n-3}+\cdots &{}\quad (21)\\ &=a_{0}(j\omega)^{n}+a_{1}(j\omega)^{n-2}+a_{2}(j\omega)^{n-4}+\cdots &{}\quad (22)\\&+b_{0}(j\omega )^{n-1}+b_{1}(j\omega)^{n-3}+b_{2}(j \omega )^{n-5}+\cdots \\\end{wyrównane}}}$

Dlatego jeśli jest parzysta , ${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f (j \ omega) i = (-1) ^ {n/2} {\big [}a_{0}\omega ^{n}-a_{1}\omega ^{n-2}+a_{2}\omega ^{n-4}-\cdots {\big ]}& {}\quad (23)\\&+j(-1)^{(n/2)-1}{\big [}b_{0}\omega ^{n-1}-b_{1}\omega ^{n-3}+b_{2}\omega ^{n-5}-\cdots {\big ]}&{}\\\end{wyrównane}}}$

a jeśli jest nieparzyste: ${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} f (j \ omega) i = j (-1) ^ {(n-1)/2}{\big [}a_{0}\omega ^{n}-a_{1}\omega ^{n-2}+a_{2}\omega ^{n-4} -\cdots {\big ]}&{}\quad (24)\\&+(-1)^{(n-1)/2}{\big [}b_{0}\omega ^{n-1 }-b_{1}\omega ^{n-3}+b_{2}\omega ^{n-5}-\cdots {\big ]}&{}\\\end{wyrównane}}}$

$,$ że jeśli jest $nieparzystą$ liczbą całkowitą, to przez (3 nieparzysta Jeśli $jest$ całkowitą , $również$$. Równanie$ sam argument pokazuje, że $będzie$ , parzysta $displaystyle$ 15) pokazuje, że jeśli $to$ , jest całkowitą wielokrotnością $\ pi$ . Dlatego $}$$)$ jest zdefiniowany dla , a zatem jest właściwym indeksem do użycia, gdy n jest parzyste i podobnie ${\ Displaystyle \ tan (\ teta ') = \ tan (\ teta + \ pi) = - \ łóżeczko (\ teta)}$ jest zdefiniowane dla ${\ Displaystyle n}$ nieparzysty, co czyni go właściwym indeksem w tym drugim przypadku.

Zatem z (6) i (23) nawet: ${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ Delta = I_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ Frac {- {\ mathfrak {Im}} [f (x)]} {{\ mathfrak {Re}}[f(x)]}}=I_{-\infty}^{+\infty}{\frac {b_{0}\omega ^{n-1}-b_{1}\omega ^{ n-3}+\cdots }{a_{0}\omega ^{n}-a_{1}\omega ^{n-2}+\ldots }}\quad (25)}$

oraz z (19) i (24), dla nieparzystych: ${\ displaystyle n}$

${\ Displaystyle \ Delta = I _ {- \ infty} ^ {+ \ infty}} {\ Frac {{\ mathfrak {Re}} [f (x)]} {{\ mathfrak {Im }}[f(x)]}}=I_{-\infty }^{+\infty}{\frac {b_{0}\omega ^{n-1}-b_{1}\omega ^{n- 3}+\ldots }{a_{0}\omega ^{n}-a_{1}\omega ^{n-2}+\ldots }}\quad (26)}$

Lo i oto oceniamy ten sam wskaźnik Cauchy'ego dla obu: ${ \ Displaystyle \ Delta = I_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ Frac {b_ {0} \ omega ^ {n-1} -b_ {1} \ omega ^ {n-3} + \ ldots} {a_{0}\omega ^{n}-a_{1}\omega ^{n-2}+\ldots}}\quad (27)}$

Twierdzenie Sturma

$(x)}{f_{1}(x)}}}$ ja $= I_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\ Frac {f_$ {2} . Jego twierdzenie brzmi następująco:

Biorąc pod uwagę ciąg wielomianów ${\ Displaystyle f_ {1} (x), f_ {2} (x), \ kropki, f_ {m} (x)}$ gdzie:

1) Jeśli ${\ Displaystyle f_ {k} (x) = 0}$ to ${\ Displaystyle f_ {k-1} (x) \ neq 0}$ , ${\ Displaystyle f_ {k + 1} (x) \ neq 0}$ i ${\ styl wyświetlania \nazwa_operatora {znak} [f_{k-1}(x)]=-\nazwa_operatora {znak} [f_{k+1}(x)]}$

2) ${\ Displaystyle f_ {m} (x) \ neq 0}$ dla ${\ Displaystyle - \ infty <x <\ infty}$

$Displaystyle f_ {1 } (x), f_ {2} (x), \ kropki, f_ {m} (x)}$ definiujemy zmian znaku w sekwencji $1$ dla ustalonej wartości ${\ displaystyle x}$ , a następnie: x {\ displaystyle x}

${\ Displaystyle \ Delta = I_ {- \ infty} ^ {+ \ infty} {\frac {f_{2}(x)}{f_{1}(x)}}=V(-\infty)-V(+\infty)\quad (28)}$

Sekwencję spełniającą te wymagania uzyskuje się za pomocą algorytmu Euklidesa , który wygląda następująco:

Począwszy $od$ i z $1$${\ Displaystyle f_ {1} (x) / f_ {2} (x)}$ przez ${\ Displaystyle f_ {3} (x)}$ i podobnie oznaczając resztę z ${\ Displaystyle f_ {2} (x) / f_ {3} (x)}$ przez ${\ Displaystyle f_ {4} (x)}$ i tak dalej, otrzymujemy relacje :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i f_ {1} (x) = q_ {1} (x) f_ {2} (x) - f_{3}(x)\quad (29)\\&f_{2}(x)=q_{2}(x)f_{3}(x)-f_{4}(x)\\&\ldot \ \&f_{m-1}(x)=q_{m-1}(x)f_{m}(x)\\\end{wyrównane}}}$

lub ogólnie

${\ Displaystyle f_ {k-1} (x) = q_ {k-1} (x) f_{k}(x)-f_{k+1}(x)}$

${\ Displaystyle f_ {1} (x), f_ {2} (x), \ kropki, f_ {m-1} (x)}$ niezerowa reszta najwyższym $fa$ . Można zauważyć, że tak skonstruowany ciąg będzie spełniał warunki twierdzenia Sturma, w związku z czym opracowano algorytm wyznaczania zadanego indeksu.

Macierz Routha jest tworzona przez zastosowanie twierdzenia Sturma (28) do (29), poprzez zastosowanie powyższego algorytmu euklidesowego.

dostajemy

${\ Displaystyle f_ {3} (\ omega) = {\ Frac {a_ {0}} {b_ {0}}} f_{2}(\omega)-f_{1}(\omega)\quad (30)}$

i identyfikując współczynniki tej reszty przez ${\ displaystyle c_ {0}}$ , ${\ displaystyle -c_ {1}}$ , ${\ displaystyle c_ {2}}$ , ${\ displaystyle -c_ {3}}$ , i tak dalej, tworzy naszą utworzoną resztę

${\ Displaystyle f_ {3} (\ omega) = c_ {0} \ omega ^ { n-2}-c_{1}\omega ^{n-4}+c_{2}\omega ^{n-6}-\cdots \quad (31)}$

Gdzie

${\ Displaystyle c_ {0} = a_ {1} - {\ Frac {a_ {0}} {b_ {0}}} b_ {1} = {\ Frac {b_ {0} a_ {1} -a_{1}b_{0}}{b_{0}}};c_{1}=a_{2}-{\frac {a_{0}}{b_{0}}}b_{2}={ \frac {b_{0}a_{2}-a_{0}b_{2}}{b_{0}}};\ldots \quad (32)}$

Kontynuacja algorytmu Euklidesa na tych nowych współczynnikach daje nam

${\ Displaystyle f_ {4} (\ omega) = {\ Frac {b_ {0}} {c_ {0}}} f_{3}(\omega)-f_{2}(\omega)\quad (33)}$

gdzie ponownie oznaczamy współczynniki reszty przez $,$ \ Displaystyle d_ ${0}}$$}$${\ Displaystyle d_ {2}}$ , ${\ Displaystyle -d_ {3}}$ , tworząc naszą uformowaną resztę

${\ Displaystyle f_ {4} (\ omega) = d_ {0} \ omega ^ { n-3}-d_{1}\omega ^{n-5}+d_{2}\omega ^{n-7}-\cdots \quad (34)}$

i dając nam

${\ Displaystyle d_ {0} = b_ {1} - {\ Frac {b_ {0}} {c_ {0}}} c_ {1} = {\ Frac {c_ {0} b_ {1} -b_{0}c_{1}}{c_{0}}};d_{1}=b_{2}-{\frac {b_{0}}{c_{0}}}c_{2}={ \frac {c_{0}b_{2}-b_{0}c_{2}}{c_{0}}};\ldots \quad (35)}$

Wiersze tablicy Routh są dokładnie określone przez ten algorytm po zastosowaniu do współczynników (20). Godną uwagi $}$ ω \ Displaystyle $)$ najwyższy wspólny czynnik , a więc w łańcuchu będą wielomiany $+ 1 ( ω ) {$${\ Displaystyle f_ {1} (x), f_ {2} (x), \ kropki, f_ {m} (x)}$$Displaystyle f_ {$ .

Zauważ teraz, że przy określaniu znaków członków ciągu wielomianów $x), \ kropki, f_ {m} (x)}$${\ Displaystyle f_ {1} (x), f_ {2}$$Displaystyle \ omega$ że w momencie dominującą siłą będzie pierwszy wyraz każdego $= \ pm \ infty }$ tych wielomianów, a zatem tylko te współczynniki odpowiadające najwyższym potęgom $w$ fa $Displaystyle f_ {1} (x), f_ {2 } (x), \ kropki}$ i ${\ Displaystyle f_ {m} (x)}$ , które są ${\ Displaystyle a_ {0}}$ , ${\ Displaystyle b_ {0}}$ , ${\ Displaystyle c_ {0}}$ , ${\ Displaystyle d_ {0}}$ , ... określić znaki ${\ Displaystyle f_ {1} (x)}$ , ${\ displaystyle f_ {2} (x)}$ , ..., ${\ Displaystyle f_ {m} (x)}$ w ${\ Displaystyle \ omega = \ pm \ infty}$ .

$0} \ kropki )}$${\ Displaystyle V (+ \ infty) = V (a_ {0}, b_ {0}, c_ {0}, d_$ { $}}$$\$ \ a_ $^$ , ${\ Displaystyle b_ {0} \ infty ^ {n-1}}$ , ${\ Displaystyle c_ {0} \ infty ^ {n-2}}$ , ... czyli liczba zmian znaku w sekwencji ${\ displaystyle a_ {0}}$ , ${\ displaystyle b_ {0}}$ , ${\ displaystyle c_ {0}}$ , ${\ displaystyle d_ {0}$ } ... i ${\ Displaystyle V (- \ infty) = V (a_ {0}, -b_ {0}, c_ {0},-d_{0},...)}$ ; to jest $^$ zmian znaku w sekwencji ${\ Displaystyle a_ {0} (- \ infty)$ , ${\ Displaystyle b_ {0} (- \ infty) ^ {n-1}}$ , ${\ Displaystyle c_ {0} (- \ infty) ^ {n-2}}$ , ... czyli liczba zmian znaku w sekwencji ${\ displaystyle a_ {0}}$ , ${\ displaystyle -b_ {0}}$ , ${\ displaystyle c_ {0} }$ , ${\ Displaystyle -d_ {0}}$ , ...

Ponieważ nasz łańcuch ${\ Displaystyle a_ {0}}$ , ${\ Displaystyle b_ {0}}$ , ${\ Displaystyle c_ {0}}$ , ${\ Displaystyle d_ {0}}$ , ... będzie miał ${ \displaystyle n}$ członków jest jasne, że ${\ Displaystyle V (+ \ infty) + V (- \ infty) = n}$ od wewnątrz ${\ Displaystyle V (a_ {0}, b_ {0}, c_ {0}, d_ {0}, \ kropki)},$ jeśli przechodzi się z ${\ Displaystyle a_ {0}}$ do ${\ displaystyle b_ {0}}$ zmiana znaku nie nastąpiła w ciągu ${\ Displaystyle V (a_ {0}, -b_ {0}, c_ {0}, - d_ {0}, \ kropki )}$ przechodząc od $jednego$$i$ - $\ displaystyle -b_ {0}}$ podobnie dla wszystkich (będzie żadne warunki nie są równe zeru), co daje nam $znaku$ .

Δ ${\ Displaystyle \ Delta = V (- \ infty) -V (+ \ infty)}$$\ displaystyle n = V (+ \ infty ) + V (- \ infty )}$ = i od (18) ${\ Displaystyle P = (n- \ Delta / 2)}$ , mamy to ${\ Displaystyle P = V (+ \ infty) = V (a_ {0}, b_ {0}, c_ {0}, d_ {0},\dots )}$ i wyprowadzili twierdzenie Routha -

Liczba pierwiastków wielomianu rzeczywistego $)$$\ Displaystyle {\ mathfrak {Re}} (r_ {i$ leżą w prawej półpłaszczyźnie jest równe liczbie zmian znaku w pierwszej kolumnie schematu Routha.

A dla stabilnego przypadku, w którym V $=$$\ Displaystyle V (a_ {0}, b_ {0}, c_$ dzięki czemu mamy słynne kryterium Routha:

Aby wszystkie pierwiastki wielomianu $różne$ ujemne części rzeczywiste, konieczne i wystarczające jest, aby wszystkie elementy w pierwszej kolumnie schematu Routha były tego samego znaku.

• Hurwitz, A., „O warunkach, w których równanie ma tylko pierwiastki z ujemnymi częściami rzeczywistymi”, Rpt. w Selected Papers on Mathematical Trends in Control Theory, wyd. RT Ballman i in. Nowy Jork: Dover 1964
• Routh, EJ, Traktat o stabilności danego stanu ruchu. Londyn: Macmillan, 1877. Rpt. w stabilności ruchu, wyd. W Fullera. Londyn: Taylor i Francis, 1975
• Felix Gantmacher (tłumacz JL Brenner) (1959) Applications of the Theory of Matrices , s. 177–80, New York: Interscience.