Wyrównanie losowych punktów

80 4-punktowych bliskich wyrównań 137 losowych punktów

Wyrównanie losowych punktów na płaszczyźnie można wykazać za pomocą statystyk , które wbrew intuicji są łatwe do znalezienia, gdy duża liczba przypadkowych punktów jest zaznaczona na ograniczonej płaskiej powierzchni. Zostało to przedstawione jako dowód, że linie energetyczne i inne podobne tajemnicze układy, które niektórzy uważają za zjawiska o głębokim znaczeniu, mogą istnieć wyłącznie dzięki przypadkowi, w przeciwieństwie do nadprzyrodzonych lub antropologicznych wyjaśnień przedstawionych przez ich zwolenników. Temat był również badany w dziedzinie wizji komputerowej i astronomii .

W wielu badaniach zbadano matematykę wyrównania losowych punktów na płaszczyźnie. We wszystkich z nich ważna jest szerokość linii — dopuszczalne przesunięcie pozycji punktów od idealnej linii prostej. Pozwala to na fakt, że rzeczywiste obiekty nie są punktami matematycznymi, a ich pozycje nie muszą być dokładnie wyrównane, aby można je było uznać za wyrównane. Alfred Watkins w swojej klasycznej pracy o liniach geomantycznych The Old Straight Track użył szerokości linii ołówka na mapie jako progu tolerancji tego, co można uznać za wyrównanie. Na przykład przy użyciu linii ołówka o grubości 1 mm do narysowania linii trasowania na Ordnance Survey w skali 1:50 000 odpowiednia szerokość na ziemi wyniosłaby 50 m.

Oszacowanie prawdopodobieństwa przypadkowych dopasowań

Wbrew intuicji znalezienie wyrównania między losowo rozmieszczonymi punktami w krajobrazie staje się coraz łatwiejsze wraz ze wzrostem obszaru geograficznego, który należy wziąć pod uwagę. Jednym ze sposobów zrozumienia tego zjawiska jest dostrzeżenie, że wzrost liczby możliwych kombinacji zestawów punktów w tym obszarze przeważa nad spadkiem prawdopodobieństwa, że ​​dowolny zestaw punktów w tym obszarze pokrywa się.

Jedna definicja, która wyraża ogólnie przyjęte znaczenie „wyrównania” to:

Zestaw punktów wybranych z danego zestawu punktów charakterystycznych, z których wszystkie leżą w obrębie co najmniej jednej prostej ścieżki o danej szerokości

Dokładniej, ścieżka o szerokości w może być zdefiniowana jako zbiór wszystkich punktów w odległości w/2 prostej na płaszczyźnie lub koła wielkiego na kuli, lub ogólnie dowolnego punktu geodezyjnego na jakimkolwiek innym rodzaju rozmaitość . Zauważ, że ogólnie każdy zestaw punktów, które są wyrównane w ten sposób, będzie zawierał dużą liczbę nieskończenie różnych prostych ścieżek. Dlatego tylko istnienie co najmniej jednej prostej ścieżki jest konieczne do określenia, czy zbiór punktów jest wyrównaniem. Z tego powodu łatwiej jest policzyć zestawy punktów niż same ścieżki. Liczba znalezionych dopasowań jest bardzo wrażliwa na dozwoloną szerokość w , zwiększając się w przybliżeniu proporcjonalnie do wk ^{- 2} , gdzie k jest liczbą punktów w wyrównaniu.

Poniżej znajduje się bardzo przybliżone oszacowanie prawdopodobieństwa wyrównania rzędu wielkości, przy założeniu, że płaszczyzna pokryta jest równomiernie rozmieszczonymi „istotnymi” punktami.

Rozważmy zbiór n punktów na zwartym obszarze o przybliżonej średnicy L i polu w przybliżeniu L ² . Przyjmijmy, że prawidłowa linia to taka, w której każdy punkt znajduje się w odległości w /2 od prostej (czyli leży na ścieżce o szerokości w , gdzie w ≪ L ).

Rozważ wszystkie nieuporządkowane zbiory k punktów z n punktów, z których są:

${\ Displaystyle {\ binom {n} {k}} = {\ Frac {n!} {(nk)! \, k!}}}$

(patrz notacja współczynnika silni i dwumianu ).

Aby z grubsza oszacować prawdopodobieństwo, że dowolny podzbiór k punktów jest w przybliżeniu współliniowy w sposób określony powyżej, rozważ linię między dwoma punktami „najbardziej wysuniętymi na lewo” i „najbardziej na prawo” w tym zestawie (dla dowolnej dowolnej osi lewa/prawa: możemy wybrać górę i dół dla wyjątkowej obudowy pionowej). Te dwa punkty są z definicji na tej prostej. Dla każdego z pozostałych k -2 punktów prawdopodobieństwo, że punkt jest „wystarczająco blisko” linii wynosi w przybliżeniu w / L , co można zobaczyć, biorąc pod uwagę stosunek powierzchni strefy tolerancji linii (w przybliżeniu wL ) i całkowity obszar (w przybliżeniu L ² ).

Tak więc oczekiwana liczba wyrównań punktów k, zgodnie z tą definicją, jest bardzo przybliżona:

${\ Displaystyle {\ Frac {n!} {(nk)! \, k!}} \ lewo ({\ Frac {w} {L}} \ prawej) ^ {k-2} }$

Między innymi można to wykorzystać do wykazania, że ​​wbrew intuicji liczba linii k-punktowych oczekiwanych z losowego przypadku na płaszczyźnie pokrytej punktami o danej gęstości, dla danej szerokości linii, rośnie znacznie bardziej niż liniowo wraz ze rozmiar rozważanego obszaru, ponieważ kombinatoryczna eksplozja wzrostu liczby możliwych kombinacji punktów z nawiązką rekompensuje wzrost trudności dowolnej układającej się kombinacji.

Dokładniejsze oszacowanie oczekiwanej liczby wyrównań

Bardziej precyzyjnym wyrażeniem na liczbę 3-punktowych wyrównań o maksymalnej szerokości w i maksymalnej długości d oczekiwanych przypadkowo wśród n punktów rozmieszczonych losowo na kwadracie o boku L jest

${\ Displaystyle \ mu = {\ Frac {\ pi} {3}} {\ Frac {w} {L}} \ lewo({\frac {d}{L}}\prawo)^{3}n\lewo(n-1\prawo)\lewo(n-2\prawo)}$

Jeśli zostaną uwzględnione efekty krawędzi (wyrównania utracone poza obwiedniami kwadratu), wówczas wyrażenie przyjmuje postać

${\ Displaystyle \ mu = {\frac {\pi }{3}}{\frac {w}{L}}\left({\frac {d}{L}}\right)^{3}n\left(n-1 \right)\left(n-2\right)\left(1-{\frac {3}{\pi}}\left({\frac {d}{L}}\right)+{\frac {3 }{5}}\left({\frac {4}{\pi}}-1\right)\left({\frac {d}{L}}\right)^{2}\right)}$

Uogólnienie na wyrównania punktów k (pomijając efekty krawędziowe) to

${\ Displaystyle \ mu = {\ Frac {\ pi n \ lewo (n-1 \ prawo) \ lewo (n-2 \ prawo) \ cdots \ lewo (n- \left(k-1\right)\right)}{k\left(k-2\right)!}}\left({\frac {w}{L}}\right)^{k-2}\ lewo({\frac {d}{L}}\prawo)^{k}}$

który ma z grubsza podobne asymptotyczne właściwości skalowania jak surowe przybliżenie w poprzedniej sekcji, z kombinatoryczną eksplozją dla dużych n przytłaczającą efekty innych zmiennych.

Symulacja komputerowa osiowań

607 4-punktowych wyrównań 269 losowych punktów

Symulacje komputerowe pokazują, że punkty na płaszczyźnie mają tendencję do tworzenia linii trasowania podobnych do tych znalezionych przez łowców energii w liczbach zgodnych z powyższymi szacunkami rzędu wielkości, co sugeruje, że linie energetyczne mogą być również generowane przypadkowo. Zjawisko to występuje niezależnie od tego , czy punkty są generowane pseudolosowo przez komputer, czy też ze zbiorów danych prozaicznych obiektów, takich jak pizzerie czy budki telefoniczne .

Łatwo jest znaleźć wyrównania od 4 do 8 punktów w stosunkowo małych zestawach danych z w = 50 m. Wybranie dużych obszarów lub większych wartości w ułatwia znalezienie linii trasowania obejmujących 20 lub więcej punktów.

Zobacz też

• Apofenia
• Iluzja skupień
• Zbieg okoliczności
• Całkowita losowość przestrzenna
• Stanowisko ogólne
• Rozpoznawanie wzorców
• Analiza Prokrust
• Teoria Ramseya dla pojęcia „nieuniknionych zbiegów okoliczności”
• Statystyczna analiza kształtu