Wzory Friisa na hałas

Nie mylić z równaniem transmisji Friisa .

Formuła Friisa lub formuła Friisa (czasami formuła Friisa ), nazwana na cześć duńsko-amerykańskiego inżyniera elektryka Haralda T. Friisa , jest jedną z dwóch formuł stosowanych w inżynierii telekomunikacyjnej do obliczania stosunku sygnału do szumu wzmacniacza wielostopniowego . Jeden dotyczy współczynnika hałasu , a drugi temperatury hałasu .

Wzór Friisa na współczynnik hałasu

Wzór Friisa służy do obliczania całkowitego współczynnika szumów kaskady stopni, z których każdy ma własny współczynnik szumów i przyrost mocy (zakładając, że impedancje są dopasowane na każdym etapie). Całkowity współczynnik hałasu można następnie wykorzystać do obliczenia całkowitego współczynnika szumu . Całkowity współczynnik hałasu jest podany jako

${\ Displaystyle F _ {\ tekst {suma}} = F_ {1} + {\ Frac {F_ {2} -1} {G_ {1}}} + {\ Frac {F_ {3} -1} {G_ { 1}G_{2}}}+{\frac {F_{4}-1}{G_{1}G_{2}G_{3}}}+\cdots +{\frac {F_{n}-1} {G_{1}G_{2}\cdots G_{n-1}}}}$

gdzie $displaystyle$ są odpowiednio współczynnikiem szumów i dostępnym wzmocnieniem mocy i -tego stopnia, a n $F_ {i}$ liczbą stopni. fa ja { Obie wielkości są wyrażone jako stosunki, a nie w decybelach.

Konsekwencje

Ważną konsekwencją tego wzoru jest to, że ogólny współczynnik szumów odbiornika radiowego jest ustalany przede wszystkim na podstawie współczynnika szumów jego pierwszego stopnia wzmacniającego. Kolejne etapy mają malejący wpływ na stosunek sygnału do szumu . Z tego powodu wzmacniacz pierwszego stopnia w odbiorniku jest często nazywany wzmacniaczem niskoszumowym (LNA). Ogólny „współczynnik” szumu odbiornika wynosi wtedy

$F _ {\ operatorname {LNA}} + {\ Frac {F_{\mathrm {reszta}}-1}{G_{\mathrm {LNA} }}}}$

gdzie $.$ kolejnych Zgodnie z równaniem, ogólny współczynnik szumów , $}}$ przez współczynnik szumów LNA, $displaystyle F _ {\$ , jeśli wzmocnienie jest wystarczająco wysokie. Wynikowy współczynnik szumów wyrażony w dB wynosi:

${\ Displaystyle \ operatorname {NF} _ {\ operatorname {odbiorca}} = 10 \ log (F _ {\$

Pochodzenie

$, rozważ$ dla przypadku trzech kaskadowych wzmacniaczy ( obrazek.

Źródło wysyła sygnał mocy $N_ {i}}$ szum mocy . $displaystyle$ . Dlatego SNR na wejściu łańcucha odbiornika wynosi ${\ Displaystyle {\ tekst {SNR}} _ {i} = S_ {i} / N_ {i}}$ . Sygnał mocy $wzmocniony$ wszystkie trzy wzmacniacze. Zatem sygnału na wyjściu trzeciego wzmacniacza wynosi ${\ Displaystyle S_ {o} = S_ {i} \ cdot G_ {1} G_ {2} G_ {3}}$ . Moc szumów na wyjściu łańcucha wzmacniacza składa się z czterech części:

• Wzmocniony szum źródła ( ${\ Displaystyle N_ {i} \ cdot G_ {1} G_ {2} G_ {3}}$ )
• Wyjście dotyczyło szumu pierwszego wzmacniacza $wzmocnionego$ przez drugi i trzeci wzmacniacz ( $3}}$$\ cdot G_$ )
• Wyjście odnosiło się do szumu drugiego wzmacniacza $N_$$a2} \ cdot G_ {3}}$ trzeci wzmacniacz ( )
• Wyjście dotyczyło szumu trzeciego wzmacniacza ${\ Displaystyle N_ {a3}}$

Dlatego całkowita moc szumów na wyjściu łańcucha wzmacniacza jest równa

$\ Displaystyle N_ {o} = N_ {i} G_ {1} G_ {2} G_ {3}+N_{a1}G_{2}G_{3}+N_{a2}G_{3}+N_{a3}}$

a SNR na wyjściu łańcucha wzmacniacza jest równy

${\ Displaystyle {\ tekst {SNR}} _ {$ .

Całkowity współczynnik szumów można teraz obliczyć jako iloraz wejściowego i wyjściowego SNR:

${\ Displaystyle F _ {\ tekst {suma}} = {\ Frac {{\ tekst {SNR}} _ { i}}{{\text{SNR}}_{o}}}={\frac {\frac {S_{i}}{N_{i}}}{\frac {S_{i}G_{1}G_ {2}G_{3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}+N_{a1}G_{2}G_{3}+N_{a2}G_{3}+N_{ a3}}}}=1+{\frac {N_{a1}}{N_{i}G_{1}}}+{\frac {N_{a2}}{N_{i}G_{1}G_{2 }}}+{\frac {N_{a3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}}}$

Wykorzystując definicje współczynników szumów wzmacniaczy otrzymujemy wynik końcowy:

${\ Displaystyle F _ {\ tekst {suma}} = \ underbrace {1 + {\ Frac {N_ {a1}} {N_ {i}G_{1}}}} _{=F_{1}}+\underbrace {\frac {N_{a2}}{N_{i}G_{1}G_{2}}} _{={\ frac {F_{2}-1}{G_{1}}}}+\underbrace {\frac {N_{a3}}{N_{i}G_{1}G_{2}G_{3}}} _{ ={\frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}}=F_{1}+{\frac {F_{2}-1}{G_{1}}}+{ \frac {F_{3}-1}{G_{1}G_{2}}}}$ .

Ogólne wyprowadzenie dla kaskady wzmacniaczy ${\ displaystyle n}$ :

$współczynnik$ sygnału do szumu na do stosunku sygnału do szumu na wyjściu kaskadowym ${\ Displaystyle \ operatorname {SNR_ {o}} = {\frac {S_{\mathrm {o}}}{N_{\mathrm {o}}}}}$ jako

${\ Displaystyle F _ {\ operatorname {całkowicie}} = {\ Frac {\ operatorname {SNR_ {i}}} { \mathrm {SNR_{o}}}}={\frac {S_{\mathrm {i}}}{S_{\mathrm {o}}}}{\frac {N_{\mathrm {o}}}{N_ {\ operatorname {i}}}}}$ .

Całkowita moc wejściowa $-tego$ wzmacniacza w kaskadzie (szum i sygnał) wynosi $+ N_ {k-1}}$ . Jest wzmacniany zgodnie ze wzmocnieniem mocy wzmacniacza ${\ displaystyle G_ {k}}$ . Dodatkowo wzmacniacz dodaje szum z mocą ${\ Displaystyle N _ {\ operatorname {a}, k}}$ . Zatem moc wyjściowa ${\ displaystyle k}$ -ty wzmacniacz to ${\ Displaystyle G_ {k} \ lewo (S_ {k-1} + N_ {k-1} \ prawej) + N_ {\ operatorname {a}, k}}$ . Dla całej kaskady uzyskuje się całkowitą moc wyjściową

${\ Displaystyle S _ {\ operatorname {o}} + N _ {\ operatorname {o}} = \ lewo (\ lewo (\ lewo (\ lewo (S _ {\ operatorname {i}} + N _ {\ operatorname {i}}} \right)G_{1}+N_{\mathrm {a} ,1}\right)G_{2}+N_{\mathrm {a} ,2}\right)G_{3}+N_{\mathrm {a } ,3}\right)G_{4}+\kropki }$

Moc sygnału wyjściowego przepisuje się zatem jako

${\ Displaystyle S _ {\ operatorname {o}} = S _ {\ operatorname {i}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} G_ {k}}$

podczas gdy moc szumu wyjściowego można zapisać jako

${\ Displaystyle N _ {\ operatorname {o}} = N_{\mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}+\suma _{k=1}^{n-1}N_{\namehrm {a} ,k}\ prod _{l=k+1}^{n}{G_{l}}+N_{\mathrm {a} ,n}}$

Podstawienie tych wyników do całkowitego szumu prowadzi do

${\ Displaystyle F _ {\ operatorname {suma}} = {\ Frac {N_ {\ operatorname {i}} \ prod _ {k = 1} ^ {n} G_ {k} + \ suma _ {k = 1} ^ {n-1}N_{\mathrm {a},k}\prod _{l=k+1}^{n}{G_{l}}+N_{\mathrm {a},n}}{N_{ \mathrm {i} }\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}=1+\sum _{k=1}^{n-1}{\frac {N_{\mathrm { a} ,k}\prod _{l=k+1}^{n}{G_{l}}}{N_{\mathrm {i}}\prod _{m=1}^{n}G_{m }}}+{\frac {N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\namerm {i}}\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}=1+\ suma _{k=1}^{n-1}{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}}{N_{\mathrm {i}}\prod _{m=1}^{k}G_ {m}}}+{\frac {N_{\mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i}}\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}}$

${\ Displaystyle = 1 + {\ Frac {N_ {\ operatorname {a}, 1}} {N_ {\ operatorname {i}} G_ {1}}} + \ suma _ {k = 2} ^ {n-1 }{\frac {N_{\mathrm {a} ,k}}{N_{\mathrm {i}}\prod _{m=1}^{k}G_{m}}}+{\frac {N_{ \mathrm {a} ,n}}{N_{\mathrm {i}}\prod _{k=1}^{n}G_{k}}}}$

fa ${\ Displaystyle F_ {k} = 1 + {\ Frac {N _ {\ operatorname {a}, k}} {N_ {\ operatorname {i}}$ jako współczynnik szumów indywidualnego -tego wzmacniacza otrzymuje się k $\ displaystyle k}$

${\ Displaystyle F _ {\ operatorname {suma}} = F_ {1} + \ suma _ {k = 2} ^ {n-1} {\ Frac {F_ {k} -1} {\ prod _ {l = 1 }^{k-1}G_{l}}}+{\frac {F_{n}-1}{\prod _{k=1}^{n-1}G_{k}}}}$

${\ Displaystyle = F_ {1} + {\ Frac {F_ {2} -1} {G_ {1}}} + {\ Frac {F_ {3} -1} {G_ {1} G_ {2}}} +{\frac {F_{4}-1}{G_{1}G_{2}G_{3}}}+\kropki +{\frac {F_{n}-1}{G_{1}G_{2 }\kropki G_{n-1}}}}$

Wzór Friisa na temperaturę szumową

Wzór Friisa można równoważnie wyrazić w kategoriach temperatury hałasu :

${\ Displaystyle T _ {\ tekst {równ.}} = T_ {1} + {\ Frac {T_ {2}} {G_ {1} }}+{\frac {T_{3}}{G_{1}G_{2}}}+\cdots}$

Opublikowane referencje

• JD Kraus, Radioastronomia , McGraw-Hill, 1966.

Referencje w Internecie

• RF Cafe [1] Współczynnik szumu kaskadowego.
• Encyklopedia mikrofalowa [2] Zarchiwizowana 17.05.2013 w analizie Wayback Machine Cascade.
• Biografia Friisa w IEEE [3]