Yigu yanduan

Przedmowa do Yigu yanduan , Siku Quanshu

Yigu yanduan (益古演段 Stara matematyka w sekcjach rozszerzonych) to XIII-wieczne dzieło matematyczne autorstwa matematyka z dynastii Yuan, Li Zhi .

Przegląd

Yigu yanduan był oparty na nieistniejącej już książce matematyka z Northern Song Jiang Zhou (蒋周) Yigu Ji (益古集 Collection of Old Mathematics). Jednak z fragmentów cytowanych w pracy Yang Hui The Complete Algorithms of Acreage (田亩比类算法大全) ten zaginiony traktat matematyczny Yigu Ji dotyczył rozwiązywania problemów obszarowych za pomocą geometrii.

Li Zhi wykorzystał przykłady Yigu Ji , aby przedstawić sztukę Tian yuan shu nowicjuszom w tej dziedzinie. Chociaż poprzednia monografia Li Zhi, Ceyuan haijing, również wykorzystywała Tian yuan shu, jest trudniejsza do zrozumienia niż Yigu yanduan .

Yigu yanduan został później zebrany w Siku Quanshu .

Yigu yanduan składa się z trzech tomów zawierających 64 problemy rozwiązane za pomocą Tian yuan sh] równolegle z metodą geometryczną. Li Zhi zamierzał wprowadzić uczniów w sztukę Tian yuan shu poprzez starożytną geometrię. Yigu yanduan wraz z Ceyuan haijing są uważane za główny wkład Li Zhi w Tian yuan shu . Te dwie prace są również uważane za najwcześniejsze zachowane dokumenty dotyczące Tian yuans shu.

Wszystkie 64 problemy miały mniej więcej ten sam format, zaczynając od pytania (问), po którym następowała odpowiedź (答曰), diagram, a następnie algorytm (术), w którym Li Zhi wyjaśnił krok po kroku, jak ustawić równanie algebry za pomocą Tian yuan shu , a następnie interpretacja geometryczna (Tiao duan shu). Kolejność ułożenia równania Tian yuan shu w Yigu yanduan jest odwrotnością tego w Ceyuan haijing, tj. tutaj ze stałym wyrazem na górze, po którym następuje tian yuan pierwszego rzędu, tian yuan drugiego rzędu, tian yuan trzeciego rzędu itd. Ten późniejszy układ był zgodny ze współczesną konwencją równania algebry (np. , Traktat matematyczny Qin Jiushao w dziewięciu sekcjach ), a później stał się normą.

Yigu yanduan został po raz pierwszy przedstawiony czytelnikom w języku angielskim przez brytyjskiego protestanckiego misjonarza chrześcijańskiego w Chinach, Alexandra Wylie , który napisał:

Yi koo yen t'wan ... napisany w 1282 r. Składa się z 64 problemów geometrycznych, ilustrujących zasadę pomiaru płaszczyzny, ewolucji i innych zasad, a całość została opracowana za pomocą T'een yuen.

W 1913 roku Van Hée przetłumaczył wszystkie 64 problemy w Yigu yanduan na język francuski.

Tom I

Problem 8 w Yigu yanduan rozwiązany przez Tian yuan shu w linii

Problem od 1 do 22, wszystko o matematyce koła osadzonego w kwadracie.

Przykład: zadanie 8

Jest kwadratowe pole z okrągłym basenem pośrodku, biorąc pod uwagę, że ląd ma 13,75 mu, a suma obwodów kwadratowego pola i okrągłego basenu jest równa 300 stopni, jakie są obwody kwadratu i koła odpowiedni?

Odp.: Obwód kwadratu wynosi 240 stopni, obwód koła to 60 stopni.

Metoda: ustaw tian yuan jeden (pierwiastek niebieski 1) jako średnicę koła, x

TAI

pomnóż to przez 3, aby uzyskać obwód koła 3x (pi ~~3)

TAI

odejmij to od sumy obwodów, aby uzyskać obwód kwadratu ${\ Displaystyle 300-3x}$

TAI

Jego kwadrat jest równy 16-krotności pola kwadratu ${\ Displaystyle (300-3x) * (300-3x) = 90000-1800x+9x^{2}}$

TAI

Ponownie ustaw tian juanów 1 jako średnicę koła, podnieś do kwadratu i pomnóż przez 12, aby uzyskać 16-krotność pola koła jako

TAI

odjąć od 16 razy do kwadratu pole mamy 16 razy pole ziemi

TAI

umieść go po prawej stronie i umieść 16 razy 13,75 mu = 16 * 13,75 * 240 = 52800 kroków po lewej stronie, po anulowaniu otrzymujemy ${\ Displaystyle -3x ^ {2} - 1800x+37200=0:}$

TAI

Rozwiąż to równanie, aby uzyskać średnicę koła = 20 stopni, obwód koła = 60 stopni

Tom II

Zadanie od 23 do 42, 20 zadań we wszystkich rozwiązaniach geometrii prostokąta osadzonego w kole za pomocą tian yuan shu

Przykład, zadanie 35

Załóżmy, że mamy okrągłe pole z prostokątnym basenem wodnym pośrodku, a odległość rogu od obwodu wynosi 17,5 stopnia, a suma długości i szerokości basenu wynosi 85 stopni, jaka jest średnica koła, długość i szerokość basenu?

Odpowiedź: Średnica koła wynosi sto stopni, długość basenu to 60 stopni, a szerokość 25 stopni. Metoda: niech tian yuan jeden jako przekątna prostokąta, wtedy średnica koła to tian yuan jeden plus 17,5 * 2

{\ displaystyle x + 35}

pomnóż kwadrat średnicy przez równą czterokrotności pola koła: ${\ Displaystyle \ pi \ około 3}$

{\ Displaystyle 3 (x + 35) ^ {2} = 3x ^ {2} + 210x + 3675}

odejmując czterokrotność powierzchni ziemi, aby uzyskać:

czterokrotność powierzchni puli =

{\ Displaystyle 3x ^ {2} + 210x + 3675-4x6000}

=

{\ Displaystyle 3x ^ {2} }+210x-20325}

Teraz

Kwadrat sumy długości i szerokości basenu = 85*85 = 7225, czyli czterokrotność powierzchni basenu plus kwadrat różnicy jego długości i szerokości ( ( L - W ) 2 $^ {2}}$ )

Dalsze podwojenie obszaru basenu plus $LW$ się ${\ Displaystyle L ^ {2} + W ^ {2}} 2 {\$ ( przekątna basenu w ten sposób

(czterokrotny obszar basenu + kwadrat jego różnicy wymiarów) - (dwukrotność obszaru basenu + kwadrat, jeśli jego różnica wymiarów) równa się ${\ Displaystyle 7225-x ^ {2}}$ = dwukrotność obszaru basenu

więc czterokrotność obszaru puli = ${\ Displaystyle 2 (7225-x ^ {2})}$

przyrównać to do czterokrotnej powierzchni basenu uzyskanej powyżej

{\ Displaystyle 2 (7225-x ^ {2})}

=

{\ Displaystyle 3x ^ {2} + 210x-20325}

otrzymujemy równanie kwadratowe ${\ Displaystyle 5x ^ {2} + 210x-34775}$ = 0 Rozwiąż to równanie, aby otrzymać

przekątna basenu = 65 stopni
średnica koła =65 +2*17,5 =100 stopni
Długość - szerokość = 35 stopni
Długość + szerokość = 85 kroków
Długość = 60 kroków
Szerokość = 25 stopni

Tom III

Problem od 42 do 64, łącznie 22 pytania dotyczące matematyki bardziej złożonych diagramów

P: pięćdziesiąty czwarty. Jest to kwadratowe pole, na jego przekątnej leży prostokątne oczko wodne. Powierzchnia na zewnątrz basenu to tysiąc sto pięćdziesiąt kroków. Biorąc pod uwagę, że od rogów boiska do prostych boków basenu jest czternaście kroków i dziewiętnaście kroków. Jakie jest pole kwadratowego pola, jaka jest długość i szerokość basenu?

Odpowiedź: Pole kwadratowego pola wynosi 40 kroków kwadratowych, długość basenu wynosi trzydzieści pięć kroków, a szerokość dwadzieścia pięć kroków.

Niech szerokość puli będzie Tianyuan 1.

TAI

Dodanie szerokości basenu do dwukrotności odległości od rogu pola do krótkiego dłuższego boku basenu równa się długości przekątnej boiska x+38