Złożona przestrzeń hiperboliczna

W matematyce hiperboliczna przestrzeń zespolona jest rozmaitością hermitowską, która jest odpowiednikiem rzeczywistej przestrzeni hiperbolicznej w kontekście rozmaitości zespolonych. Złożona przestrzeń hiperboliczna jest rozmaitością Kählera i charakteryzuje się tym, że jest jedyną prosto spójną rozmaitością Kählera , której holomorficzna krzywizna przekroju jest stała i równa -1. Jego podstawowa rozmaitość riemannowska ma niestałą krzywiznę ujemną, ściśniętą między -1 a -1/4 (lub -4 i -1, zgodnie z wyborem normalizacji metryki): w szczególności jest to CAT ( -1 /4) spacja .

Złożone przestrzenie hiperboliczne to również przestrzenie symetryczne związane z grupami Liego . ${\ Displaystyle PU (n, 1)}$ . Stanowią one jedną z trzech rodzin przestrzeni symetrycznych rzędu 1 typu niezwartego, wraz z rzeczywistymi i czwartorzędowymi przestrzeniami hiperbolicznymi, do których klasyfikacji należy dodać jedną przestrzeń wyjątkową, płaszczyznę Cayleya.

Konstrukcja złożonej przestrzeni hiperbolicznej

Model projekcyjny

Niech ${\ Displaystyle \ langle u, v \ rangle: = - u_ {1} \overline {v_{1}}}+u_{2}{\overline {v_{2}}}+\dots +u_{n+1}{\overline {v_{n+1}}}}$ bądź pseudo -hermitowska forma podpisu ${\ Displaystyle (n, 1)}$ w złożonej przestrzeni wektorowej ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n + 1}}$ . Rzutowym modelem zespolonej przestrzeni hiperbolicznej jest zrzutowana przestrzeń wszystkich wektorów ujemnych dla tej postaci: ${\ Displaystyle \ mathbb {H} _ {\ mathbb {C}} ^ {n} = \ {[\ xi] \ w \ mathbb {CP} ^ {n} | \ langle \ xi, \ xi \ rangle <0 \}.}$

Jako zbiór otwarty złożonej przestrzeni rzutowej, przestrzeń ta jest wyposażona w strukturę zespolonej rozmaitości . Jest biholomorficzny w stosunku do kuli jednostkowej , jak można zobaczyć, zauważając, że wektor ujemny musi mieć niezerową pierwszą współrzędną i ma unikalnego przedstawiciela z pierwszą współrzędną równą do n {\ $}}$ do 1 w przestrzeni rzutowej . Warunek ${\ Displaystyle \ langle \ xi \ xi \ rangle <0}$ , gdy ${\ Displaystyle \ xi = (1, x_ { 1},\kropki ,x_{n+1})}$ jest równoważne ${\ Displaystyle \ suma _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {2}<1}$ . Mapa wysyłająca punkt ${\ Displaystyle (x_ {1}, \ kropki, x_ {n})}$ kuli jednostkowej do $}$$\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n$$_$ punktu _

Model ten jest odpowiednikiem modelu dysku Poincarégo . W $hiperboloidy$ można zdefiniować jako arkusza hiperboloidy , rzut tej $w$$projekcyjny$ połączył światłowód przypadku .

Metryka hermitowska $\ Displaystyle \ mathbb {H} _ {\ mathbb {$ zdefiniowana w następujący sposób: $}}$ należy do stożka ${\ Displaystyle \ langle p, p \ rangle = -1}$ , to ograniczenie ${\ Displaystyle \ langle \ cdot \ cdot \ rangle}$ do przestrzeni ortogonalnej ${\ Displaystyle (\ mathbb {C} p) ^ {\ perp} \ podzbiór \ mathbb {C} ^ {n + 1}} definiuje określony$$]$$\ Displaystyle [p]}$ hermitowski w tej przestrzeni, a ponieważ przestrzeń $styczna$ w można naturalnie utożsamiać z ${\ Displaystyle (\ mathbb {C} p) ^ {\ perp}}$ , to definiuje hermitowski iloczyn wewnętrzny na ${\ styl wyświetlania T_{[p]}\mathbb {H} _{\mathbb {C}}^{n}}$ . $Jak$ widać z obliczeń, ten iloczyn wewnętrzny nie zależy od wyboru . Aby holomorficzna krzywizna przekroju była równa -1, a nie -4, należy ponownie znormalizować $współczynnik$ metrykę Ta metryka jest metryką Kählera .

modelu Siegela

Model Siegela złożonej przestrzeni hiperbolicznej jest podzbiorem ${\ Displaystyle (w, z) \ in \ mathbb {C} \ razy \ mathbb {C} ^ {n-1 }}$ takie, że

${\ Displaystyle i ({\ bar {w}} -w)> 2z {\ bar {z}}.}$

Jest biholomorficzny w stosunku do kuli jednostkowej w poprzez transformatę Cayleya do $\ displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$

${\ Displaystyle (w, z) \ mapsto \ lewo ({\ Frac {wi} {w + i}}, {\ Frac {2z} {w + i}} \ prawo).}$

Grupa izometrii holomorficznych i przestrzeń symetryczna

Grupa holomorficznych izometrii złożonej przestrzeni hiperbolicznej to grupa Liego . ${\ Displaystyle PU (n, 1)}$ . Ta grupa działa przechodnie na zespolonej przestrzeni hiperbolicznej, a stabilizator punktu jest izomorficzny z grupą unitarną. ${\ Displaystyle U (n)}$ . Złożona przestrzeń hiperboliczna jest więc homeomorficzna z przestrzenią jednorodną. ${\ Displaystyle PU (n, 1) / U (n)}$ . Stabilizator jest maksymalną zwartą podgrupą $PU (n,$ U $($ .

W konsekwencji złożona przestrzeń hiperboliczna jest riemannowską przestrzenią symetryczną $)}$${\ Displaystyle SU (n, 1) / S (U (n) U ($$1$ gdzie -

Krzywizna

Grupa izometrii $przechodnie$ styczne przestrzeni zespolonej Dlatego ta przestrzeń ma stałą holomorficzną krzywiznę przekroju , którą można obliczyć jako równą -4 (przy powyższej normalizacji metryki). Ta właściwość charakteryzuje hiperboliczną przestrzeń zespoloną: aż do izometrycznego biholomorfizmu istnieje tylko jedna po prostu połączona kompletna rozmaitość Kählera o danej stałej holomorficznej krzywiźnie przekroju .

$displaystyle k}$ przekroju równą , krzywizna przekroju każdej rzeczywistej płaszczyzny stycznej jest całkowicie określona wzorem: k $\$

${\ Displaystyle K (\ Pi) = {\ Frac {k} {4}} \ lewo (1 + 3 \ sałata ^ {2} }(\alpha (\Pi)\right)}$

$\Pi$ is a complex line, and equals $\pi /2$ if and only if gdzie $)}$$} displaystyle \ Pi}$$Pi$ jest kątem między i czyli ${\ Displaystyle \ Pi$ kątem kątów między wektorem w i wektor w ${\ Displaystyle J \ Pi}$ . Kąt $\Pi$ is totally real. Thus the sectional curvature of the complex hyperbolic space varies from -4 (for complex lines) to -1 (for totally real planes).

W wymiarze zespolonym 1 każda płaszczyzna rzeczywista w przestrzeni stycznej jest linią zespoloną: zatem hiperboliczna przestrzeń zespolona wymiaru 1 ma stałą krzywiznę równą -1, a zgodnie z twierdzeniem o uniformizacji jest izometryczna względem rzeczywistej płaszczyzny hiperbolicznej . Hiperboliczne przestrzenie zespolone można zatem postrzegać jako kolejne wielowymiarowe uogólnienie płaszczyzny hiperbolicznej, mniej standardowe niż rzeczywiste przestrzenie hiperboliczne. Trzecim możliwym uogólnieniem jest przestrzeń jednorodna ${\ Displaystyle SL_ {n} (\ mathbb {R}) / SO_ {n} (\ mathbb {\ mathbb {R}} )}$ , co dla $hiperboliczną$ , ale staje się przestrzenią symetryczną o randze większej niż 1, gdy $\ displaystyle n \ geq 3}$ .

Całkowicie geodezyjne podprzestrzenie

Każda całkowicie geodezyjna podrozmaitość złożonej przestrzeni hiperbolicznej o wymiarze n jest jedną z następujących:

• kopia złożonej przestrzeni hiperbolicznej o mniejszym wymiarze
• kopia rzeczywistej przestrzeni hiperbolicznej o rzeczywistym wymiarze mniejszym niż ${\ displaystyle n}$

W szczególności nie ma współwymiaru 1 całkowicie geodezyjnej podprzestrzeni złożonej przestrzeni hiperbolicznej.

Zobacz też

• Przestrzeń hiperboliczna
• Kwartionowa przestrzeń hiperboliczna

•   Goldman, William M. (1999). Złożona geometria hiperboliczna . Oksford: Clarendon Press. P. xx + 316. ISBN 0-19-853793-X .