Złożony zysk

W elektronice złożone wzmocnienie to efekt, jaki obwody mają na amplitudę i fazę sygnału sinusoidalnego . Używa się terminu kompleks , ponieważ matematycznie efekt ten można wyrazić jako liczbę zespoloną .

systemy LT

Biorąc pod uwagę ogólny system LTI

${\ Displaystyle P (D) x = Q (D) f (t)}$

gdzie ${\ Displaystyle f (t)}$ jest wejściem i ${\ Displaystyle P (D), Q (D)}$ mają operatory wielomianowe, przy założeniu, że ${\ Displaystyle P (s) \ neq 0}$ . W przypadku, gdy ${\ Displaystyle f (r) = F_ {0} \ cos (\ omega t)}$ , szczególnym rozwiązaniem danego równania jest

${\ Displaystyle x_ {p} (t) = \ operatorname {Re} {\ Big (} F_ {0} {\ Frac {Q (i \ omega)} {P (i \ omega)}} e ^ {i \ omega t {\Duży}}.}$

Rozważ następujące pojęcia stosowane głównie w fizyce i przetwarzaniu sygnałów.

${\ displaystyle \ punktor}$ Amplituda sygnału wejściowego wynosi ${\ displaystyle F_ {0}}$ . Ma te same jednostki co wielkość wejściowa.

${\ Displaystyle \ punktor}$ Częstotliwość kątowa wejścia wynosi ${\ Displaystyle \ omega}$ . Ma jednostki radian/czas. Często będziemy odnosić się do tego jako do częstotliwości, mimo że technicznie częstotliwość powinna mieć jednostki cykli/czasu.

${\ Displaystyle \ punktor}$ Amplituda odpowiedzi wynosi ${\ Displaystyle A = F_ {0} | Q (i \ omega) / P (i \ omega) |}$ . Ma te same jednostki co ilość odpowiedzi.

${\ Displaystyle \ punktor}$ Zysk wynosi ${\ Displaystyle g (\ omega) = | Q (i \ omega) / P (i \ omega) |}$ . Wzmocnienie jest współczynnikiem, przez który mnoży się amplitudę wejściową, aby uzyskać amplitudę odpowiedzi. Ma jednostki potrzebne do konwersji

jednostki wejściowe na jednostki wyjściowe.

${\ Displaystyle \ punktor}$ Opóźnienie fazowe wynosi ${\ Displaystyle \ phi = - \ operatorname {Arg} (Q (i \ omega) / P (ja\omega))}$ . Opóźnienie fazowe ma jednostki radianów, czyli jest bezwymiarowe.

${\ Displaystyle \ punktor}$ Opóźnienie wynosi ${\ Displaystyle \ phi / \ omega}$ . To ma jednostki czasu. Jest to czas, w którym wartość szczytowa wyjścia pozostaje w tyle za wartością wejściową.

${\ Displaystyle \ punktor}$ Zespolony zysk to ${\ Displaystyle Q (i \ omega) / P (i \ omega)}$ . Jest to współczynnik, przez który mnoży się złożone dane wejściowe, aby uzyskać złożone dane wyjściowe.

Przykład

Załóżmy, że obwód ma napięcie wejściowe opisane równaniem

${\ Displaystyle V_ {i} (t) = 1 \ V \ cdot \ sin (\ omega \ cdot t)}$

gdzie ω równa się 2π×100 Hz, tj. sygnał wejściowy jest sinusoidą o częstotliwości 100 Hz i amplitudzie 1 wolta.

Jeśli obwód jest taki, że dla tej częstotliwości podwaja amplitudę sygnału i powoduje przesunięcie fazowe o 90 stopni do przodu, to jego sygnał wyjściowy można opisać wzorem

${\ Displaystyle V_ {o} (t) = 2 \ V \ cdot \ cos (\ omega \ cdot t)}$

W notacji zespolonej sygnały te można opisać jako odpowiednio dla tej częstotliwości j ·1 V i 2 V.

Zespolone wzmocnienie G tego obwodu jest następnie obliczane przez podzielenie wyjścia przez wejście:

${\ Displaystyle G = {\ Frac {2 \ V} {j \ cdot 1 \ V}} = -2j.}$

Ta (bez jednostek) liczba zespolona obejmuje zarówno wielkość zmiany amplitudy (jako wartość bezwzględną ), jak i zmianę fazy (jako argument ).