Zaburzenia wartości własnej

Główny artykuł: Teoria perturbacji

${\ Displaystyle A_{0}x=\lambda_{0}x_{0}}$ matematyce problem perturbacji wartości własnej polega na znalezieniu $jest$ i wartości własnych , z jednego ze znanymi wektorami własnymi i wartościami własnymi λ . Jest to przydatne do badania, jak czułe są wektory własne i wartości własne oryginalnego systemu x $\ Displaystyle x_ {0i}, \ lambda _ {0i}, i=1, \ kropki n}$ zmiany w systemie. Ten typ analizy został spopularyzowany przez Lorda Rayleigha w jego badaniu drgań harmonicznych struny zaburzonej przez małe niejednorodności.

Wyprowadzenia w tym artykule są zasadniczo samodzielne i można je znaleźć w wielu tekstach dotyczących numerycznej algebry liniowej lub numerycznej analizy funkcjonalnej. Ten artykuł koncentruje się na przypadku zaburzenia prostej wartości własnej (patrz w krotności wartości własnych )

Dlaczego uogólnione wartości własne?

We wpisie Zastosowania wartości własnych i wektorów własnych znajdujemy liczne dziedziny nauki, w których wartości własne służą do uzyskiwania rozwiązań. Generalized_eigenvalue_problem są mniej rozpowszechnione, ale są kluczem do badania drgań . Są przydatne, gdy metodą Galerkina lub metodą Rayleigha-Ritza znajdujemy przybliżone rozwiązania równań różniczkowych cząstkowych modelujących drgania konstrukcji takich jak struny i płyty; artykuł Couranta (1943) jest fundamentalny. Metoda elementów skończonych jest szeroko rozpowszechnionym szczególnym przypadkiem.

W mechanice klasycznej możemy znaleźć uogólnione wartości własne, gdy szukamy drgań układów o wielu stopniach swobody bliskich równowadze; energia kinetyczna $zapewnia$ macierz masy $macierz$ energia potencjalnego odkształcenia zapewnia . Aby uzyskać szczegółowe informacje, zobacz na przykład pierwszą sekcję tego artykułu Weinsteina (1941, po francusku)

Obiema metodami otrzymujemy układ równań różniczkowych lub macierzowe równanie różniczkowe ${\ Displaystyle M {\ ddot {x}} + B {\ kropka {x}} + Kx = 0 }$ z macierzą mas ${ \$ macierzą tłumienia $displaystyle$ macierzą sztywności $K}$ . Jeśli zaniedbamy efekt tłumienia, użyjemy , możemy poszukać rozwiązania następującej postaci $omega t} u }$$Displaystyle x = e$ ; otrzymujemy, że $Displaystyle$ są rozwiązaniem uogólnionego problemu wartości własnej $omega ^ {2} Mu + Ku=0}$$-$

Ustawienie zaburzenia dla uogólnionego problemu wartości własnej

Załóżmy, że mamy rozwiązania uogólnionego problemu wartości własnej ,

${\ Displaystyle \ mathbf {K} _ {0} \ mathbf {x} _ {0i} = \ lambda _ {0i} \ mathbf {M} _ {0} \ mathbf {x} _ {0i}. \ czwórka (0)}$

gdzie i $_$$_$ . Oznacza to, że znamy wartości własne λ _{0 i} oraz wektory własne x _{0 i} dla i = 1, ..., N . Wymagane jest również, aby wartości własne były różne .

Załóżmy teraz, że chcemy zmienić macierze o niewielką wartość. Oznacza to, że chcemy znaleźć wartości własne i wektory własne

${\ Displaystyle \ mathbf {K} \ mathbf {x} _ {i} = \ lambda _ {i} \ mathbf {M} \ mathbf {x} _ {i} \qquad (1)}$

Gdzie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {K} & = \ mathbf {K} _ {0} + \ delta \ mathbf {K} \\\ mathbf { M} &=\mathbf {M} _{0}+\delta \mathbf {M} \end{wyrównane}}}$

${\ Displaystyle \ mathbf {K}}$ perturbacjami i znacznie mniejszymi niż i i ${\ Displaystyle \ mathbf {K$$}$ δ ${\ Displaystyle \ delta \ mathbf {K}}$ . Następnie oczekujemy, że nowe wartości własne i wektory własne będą podobne do oryginalnych, plus małe perturbacje:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lambda _ {i} & = \ lambda _ {0i} + \ delta \ lambda _ {i} \\\mathbf {x} _{i}&=\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i}\end{wyrównane}}}$

Kroki

Zakładamy, że macierze są symetryczne i dodatnio określone , i zakładamy, że przeskalowaliśmy wektory własne tak, że

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {0j} ^ {\ wierzchołek} \ mathbf {M} _ {0} \ mathbf {x} _ {0i} = \ delta _ {ij} \ quad}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {i} ^ {T} \ mathbf {M} \ mathbf {x} _ {j} =\delta _{ij}\qquad (2)}$

gdzie δ _ij jest deltą Kroneckera . Teraz chcemy rozwiązać równanie

${\ Displaystyle \ mathbf {K} \ mathbf {x} _ {i} - \ lambda _ {i} \ mathbf {M} \ mathbf {x} _ {i} =0.}$

W tym artykule ograniczamy badanie do perturbacji pierwszego rzędu.

Rozwinięcie równania pierwszego rzędu

Podstawiając w (1), otrzymujemy

${\ Displaystyle (\ mathbf {K} _ {0 }+\delta \mathbf {K} )(\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{i})=\left(\lambda _{0i}+\delta \lambda _{ i}\right)\left(\mathbf {M} _{0}+\delta \mathbf {M} \right)\left(\mathbf {x} _{0i}+\delta \mathbf {x} _{ i}\racja),}$

który rozszerza się do

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {K} _ {0} \ mathbf {x} _ {0i} & + \ delta \ mathbf {K} \ mathbf {x} _ {0i} + \ mathbf {K } _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \mathbf {K} \delta \mathbf {x} _{i}=\\[6pt]&\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i} \delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\\&\quad \ lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\ delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}.\end{wyrównane}}}$

Anulowanie z (0) ( ${\ Displaystyle \ mathbf {K} _ {0} \ mathbf {x} _ {0i} = \ lambda _ {0i} \ mathbf {M} _ { 0}\mathbf {x} _{0i}}$ ) opuszcza

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ delta \ mathbf {K} \ mathbf {x} _ {0i} + & \ mathbf {K} _ {0} \ delta \ mathbf {x} _ {i} + \ delta \mathbf {K} \delta \mathbf {x} _{i}=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i} \delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\\&\lambda _ {0i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \ lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\delta \lambda _{i}\delta \mathbf {M} \delta \mathbf {x} _{ i}.\end{wyrównane}}}$

Usunięcie terminów wyższego rzędu upraszcza to

${\ Displaystyle \ mathbf {K} _ {0} \ delta \ mathbf {x} _ {i} + \ delta \ mathbf {K} \ mathbf {x} _ {0i} = \ lambda _ {0i} \mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{ i} \ mathbf {M} _ {0} \ mathbf {x} _ {0i}. \ qquad (3)}$

Innymi słowy, nie oznacza już ${\ Displaystyle \ delta \ lambda _ {i}}$ dokładna zmiana wartości własnej, ale jej przybliżenie pierwszego rzędu.

Ponieważ macierz jest symetryczna, niezaburzone wektory własne są $ortogonalne$ dlatego używamy ich jako podstawy dla zaburzonych wektorów własnych. To znaczy chcemy budować

${\ Displaystyle \ delta \ mathbf {x} _ {i} = \ suma _ {j = 1} ^ {N} \ varepsilon _ {ij} \mathbf {x} _ {0j} \ qquad (4) \ quad}$ z ${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ij} = \ mathbf {x} _ {0j} ^ { T}M\delta \mathbf {x} _{i}}$ ,

gdzie ε _ij są małymi stałymi, które należy wyznaczyć.

W ten sam sposób, podstawiając w (2) i usuwając wyrażenia wyższego rzędu, otrzymujemy ${\ Displaystyle \ delta \ mathbf {x} _{j}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}+\mathbf {x} _{0j}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x } _{i}+\mathbf {x} _{0j}\delta \mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}=0\quad {(5)}}$

Wyprowadzenie może być kontynuowane za pomocą dwóch rozwidleń.

Pierwsze rozwidlenie: uzyskaj pierwsze zaburzenie wartości własnej

Zaburzenia wartości własnej

Zaczynamy od (3) ${\ Displaystyle \ quad \ mathbf {K} _ {0} \ delta \ mathbf {x} _ {i} + \ delta \ mathbf {K} \ mathbf {x} _ {0i} = \ lambda _ {0i} \ mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i};}$

zostawiliśmy pomnożyć przez $,$ jak również jego odmiany pierwszego rzędu (5 dostajemy

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {0i} ^ {T} \ delta \ mathbf {K} \ mathbf {x} _ {0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}}$

Lub

${\ Displaystyle \ delta \ lambda _ {i} = \ mathbf {x} _ {0i} ^ {T} \ delta \ mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}-\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}$

Zauważamy, że jest to zaburzenie pierwszego rzędu $(K, M; x_ {0i}) = x_ {0i} ^ {T} Kx_ {0i}/x_ {0i} ^ {T} Mx_ {0i$ Rayleigha ze $stałym$ :

Co więcej, dla $\ lambda _ {i}$${T} \ delta Kx_ {0i}}$ { 0i} należy porównać z twierdzeniem Bauera-Fike'a , które określa granicę dla perturbacji wartości własnej.

Zaburzenia wektora własnego

Zostawiliśmy pomnożenie (3) przez ${\ Displaystyle x_ {0j} ^ {T}}$ dla ${\ Displaystyle j \ neq i}$ i otrzymaliśmy

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {0j} ^ {T} \ mathbf {K} _ {0} \ delta \ mathbf {x} _ {i} + \ mathbf {x} _ {0j} ^ {T} \delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf { x} _{i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}+\delta \lambda _{i }\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}$

$mathbf {x} _ {0j} ^ {T} K = \ lambda _ {0j} \ mathbf {$ jot dla jot $\ Displaystyle j \ neq i}$ .

${\ Displaystyle \ lambda _ {0j} \ mathbf {x} _ {0j} ^ {T} \ mathbf {M} _ {0} \ delta \ mathbf {x} _ {i} + \ mathbf {x} _ { 0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0 }\delta \mathbf {x} _{i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}.}$

Lub

${\ Displaystyle (\ lambda _ {0j} - \ lambda _ {0i}) \ mathbf {x} _ {0j} ^ {T} \ mathbf {M} _ {0} \ delta \ mathbf {x} _ {i }+\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T }\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}.}$

Ponieważ zakłada się, że wartości własne są proste, dla jot $\ Displaystyle j \ neq i}$

${\ Displaystyle \ epsilon _ {ij} = \ mathbf {x} _ {0j} ^ {T} \ mathbf {M} _ {0} \ delta \ mathbf {x} _ {i} = {\ Frac {- \ mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}{(\lambda _{0j}-\lambda _{0i})}},i=1,\kropki N;j=1,\kropki N; j\neq i.}$

Ponadto (5) (wariacja pierwszego rzędu (2) ) daje ${\ Displaystyle 2 \ epsilon _ {ii} = 2 \ mathbf {x} _ {0i} ^ {T} \ mathbf {M} _ {0} \ delta x_ {i} = - \ mathbf {x} _ {0i } ^ {T} \ delta M \ mathbf {x} _ {0i}.}$ Otrzymaliśmy wszystkie składniki ${\ displaystyle \ delta x_ {i}}$ .

Drugi widelec: proste manipulacje

 Podstawienie (4) do (3) i przegrupowanie daje 

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ mathbf {K} _ {0} \ suma _ {j = 1} ^ {N} \ varepsilon _ {ij} \ mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\suma _{j=1} ^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&(5)\\\suma _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {K} _{ 0}\mathbf {x} _{0j}+\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\suma _{j =1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&\\({\text{zastosowanie }}\mathbf {K} _{0}{\text{ do sumy} })\\\suma _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\lambda _{0j}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0j}+\delta \ mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}&=\lambda _{0i}\mathbf {M} _{0}\sum _{j=1}^{N}\varepsilon _{ij}\mathbf {x} _{0j}+\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}&&({\text{używając równania. }}(1))\end{wyrównane}}}$

Ponieważ wektory własne są M ₀ - ortogonalne, gdy M ₀ jest dodatnio określone, możemy usunąć sumowania, mnożąc w lewo przez ${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {0i} ^ {\ top}}$ :

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {0i} ^ {\ wierzchołek} \ varepsilon _ {ii} \ lambda _ {0i} \ mathbf {M} _ {0} \ mathbf {x} _ {0i} + \ mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\ mathbf {M} _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M } \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i }.}$

Korzystając ponownie z równania (1):

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {0i} ^ {\ szczyt} \ mathbf {K} _ {0} \ varepsilon _ {ii} \ mathbf {x} _ {0i} + \ mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}=\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M } _{0}\varepsilon _{ii}\mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.\ czwórka (6)}$

Dwa wyrazy zawierające ε _ii są równe, ponieważ mnożenie w lewo (1) przez $0i} ^ {\ top}}$ {

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {0i} ^ {\ wierzchołek} \ mathbf {K} _ {0} \ mathbf {x} _ {0i} = \ lambda _ {0i} \ mathbf {x} _ {0i }^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}.}$

Anulowanie tych warunków w (6) liściach

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {0i} ^ {\ top} \ delta \ mathbf {K} \ mathbf {x} _ {0i} = \ lambda _ {0i} \ mathbf {x} _ {0i} ^ {\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}+\delta \lambda _{i}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\mathbf {M} _{ 0}\mathbf {x} _{0i}.}$

Przestawianie daje

${\ Displaystyle \ delta \ lambda _ {i} = {\ Frac {\ mathbf {x} _ {0i} ^ {\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\mathbf {x} _{0i }^{\top }\mathbf {M} _{0}\mathbf {x} _{0i}}}}$

Ale przez (2) ten mianownik jest równy 1. Zatem

${\ Displaystyle \ delta \ lambda _ {i} = \ mathbf {x} _ {0i} ^ {\ góra} \ lewo (\ delta \ mathbf {K} - \ lambda _ {0i} \ delta \ mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}.}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {i} \ neq \ lambda _ {k}}$ ja dla ${\ Displaystyle i \ neq k} (założenie prostych wartości własnych)$ równanie mnożenia w lewo (5 ) przez ${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {0k} ^ {\ wierzchołek}}$ :

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ik} = {\ Frac {\ mathbf {x} _ {0k} ^ {\ top} \ lewo (\ delta \ mathbf {K} - \ lambda _ {0i} \ delta \ mathbf { M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0k}}},\qquad i\neq k.}$

Lub zmieniając nazwę indeksów:

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ij} = {\ Frac {\ mathbf {x} _ {0j} ^ {\ top} \ lewo (\ delta \ mathbf {K} - \ lambda _ {0i} \ delta \ mathbf { M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}},\qquad i\neq j.}$

Aby znaleźć ε _ii , skorzystaj z faktu, że:

${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {i} ^ {\ wierzchołek} \ mathbf {M} \ mathbf {x} _ {i} = 1}$

implikuje:

${\ Displaystyle \ varepsilon _ {ii} = - {\ tfrac {1} {2}} \ mathbf {x} _ {0i} ^ {\ szczyt} \ delta \ mathbf {M} \ mathbf {x} _ {0i }.}$

Podsumowanie wyniku perturbacji pierwszego rzędu

W przypadku, gdy wszystkie macierze są dodatnio określone hermitowsko i wszystkie wartości własne są różne ,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} \ lambda _ {i} & = \ lambda _ {0i} + \ mathbf {x} _ {0i }^{\top }\left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\\\mathbf {x} _ {i}&=\mathbf {x} _{0i}\left(1-{\tfrac {1}{2}}\mathbf {x} _{0i}^{\top }\delta \mathbf {M} \mathbf {x} _{0i}\right)+\sum _{j=1 \na szczycie j\neq i}^{N}{\frac {\mathbf {x} _{0j}^{\top }\ left(\delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j} }}\mathbf {x} _{0j}\end{wyrównane}}}$

dla $.$ i (zaniedbane warunki wyższego rzędu w ( $3$

Jak dotąd nie udowodniliśmy, że te terminy wyższego rzędu można zaniedbać. Ten punkt można wyprowadzić za pomocą twierdzenia o funkcji uwikłanej; w następnej sekcji podsumowujemy użycie tego twierdzenia w celu uzyskania rozwinięcia pierwszego rzędu.

Wyprowadzenie teoretyczne

Zaburzenie funkcji uwikłanej.

W następnym akapicie użyjemy twierdzenia o funkcji uwikłanej (Stwierdzenie twierdzenia ); zauważamy, że dla funkcji różniczkowalnej w sposób ciągły ${\ Displaystyle f: \ mathbb {R} ^ {n + m} \ do \ mathbb {R} ^ {m}, \; f: (x, y) \ mapsto f (x, y)} , z odwracalną$ macierzą Jakobianu ${\ Displaystyle J_ {f, b} (x_ {0}, y_ {0})}$ , z punktu ${\ Displaystyle (x_ {0}, y_ {0})}$ rozwiązanie ${\ Displaystyle f (x_ {0}, y_ {0}) = 0$ , otrzymujemy rozwiązania ${\ Displaystyle f (x, y) = 0}$ z ${\ Displaystyle x}$ blisko ${ \displaystyle x_ {0}}$ w postaci ${\ Displaystyle y = g (x)}$$jest$ funkcją różniczkowalną w sposób ciągły; ponadto jakobian marix of ${\ displaystyle g}$ jest zapewniany przez system liniowy

${\ Displaystyle J_ {f, y} (x, g ( x))J_{g,x}(x)+J_{f,x}(x,g(x))=0\quad (6)}$ . 

Gdy tylko hipoteza twierdzenia zostanie spełniona, macierz Jakobiana $obliczyć$ z rozwinięciem pierwszego rzędu ${\ Displaystyle f (x_ {} 0}+\delta x,y_{0}+\delta y)=0}$ , otrzymujemy

${\ Displaystyle J_ {f, x} (x, g (x)) \ delta x +J_{f,y}(x,g(x))\delta y=0}$ ; δ ${\ Displaystyle \ delta y = J_ {g, x} (x) \ delta x} , jest$ równoważne równaniu ${\ Displaystyle (6)}$ .

Zaburzenie wartości własnej: podstawa teoretyczna.

Używamy poprzedniego akapitu (Zaburzenie funkcji uwikłanej) z nieco innymi notacjami dostosowanymi do zaburzenia wartości własnej; wprowadzamy ${\ Displaystyle {\ tylda {f}}: \ mathbb {R} ^ {2n ^ {2}} \ razy \ mathbb {R} ^{n+1}\to \mathbb {R} ^{n+1}}$ , z

• ${\ Displaystyle {\ tylda {f}} (K, M, \ lambda, x )={\binom {f(K,M,\lambda,x)}{f_{n+1}(x)}}}$ gdzie

${\ Displaystyle f (K, M, \ lambda, x) = Kx- \lambda x,f_{n+1}(M,x)=x^{T}Mx-1}$ . Aby skorzystać z twierdzenia o funkcji uwikłanej , badamy odwracalność jakobianu ${\ Displaystyle J _ {{\ tylda {f}}; \ lambda, x} (K, M; \ lambda _ {0i}, x_ {0i})}$ z

${\ Displaystyle J_ { {\tylda {f}};\lambda,x}(K,M;\lambda _{i},x_{i})(\delta \lambda,\delta x)={\binom {-Mx_{i} }{0}}\delta \lambda +{\binom {K-\lambda M}{2x_{i}^{T}M}}\delta x_{i}}$ . Rzeczywiście, rozwiązanie

${\ Displaystyle J _ {{\ tylda {f}}; \ lambda _ {0i}, x_ {0i} } (K, M; \ lambda _ {0i}, x_ {0i}) (\ delta \ lambda _ {i}, \ delta x_ {i}) =} ( r y n +$$binom {y}{y_{n+1}}}}$ można wyprowadzić za pomocą obliczeń podobnych do wyprowadzenia rozwinięcia.

$${\ Displaystyle \ delta \ lambda _ {i} = - x_ {0i} ^ {T} y, \; {\ tekst {i}} (\ lambda _ {0i} - \ lambda _ {0j}) x_ {0j }^{T}M\delta x_{i}=x_{j}^{T}y,j=1,\kropki ,n,j\neq i\;;}$$

$}} x_ {0j} ^{T}M\delta x_{i}=x_{j}^{T}y/(\lambda _{0i}-\lambda _{0j}),{\text{i }}\;2x_{0i }^{T}M\delta x_{i}=y_{n+1}}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {i}}$ ja jest prostą wartością własną, ponieważ wektory własne tworzą $= 1, \ kropki, n}$ j baza ortonormalna, dla dowolnej prawej strony, otrzymaliśmy jedno rozwiązanie, zatem jakobian jest odwracalny.

Twierdzenie o funkcji uwikłanej zapewnia funkcję różniczkowalną w sposób ciągły ${\ Displaystyle (K, M) \ mapsto (\ lambda _ {i} ( K, M), x_ {i} (K, M)}}$ stąd rozwinięcie z małą notacją o : ${\ Displaystyle \ lambda _{i}=\lambda _{0i}+\delta \lambda _{i}+o(\|\delta K\|+\|\delta M\|)}$${\ Displaystyle x_ {i} = x_ {0i} + \ delta x_ {i} + o (\|\ delta K \|+\|\ delta M \| )}$ . z

${\ Displaystyle \ delta \ lambda _ {i} = \ mathbf {x} _ {0i} ^ {T} \ delta \ mathbf {K} \ mathbf {x} _ {0i} - \ lambda _ {0i} \ mathbf {x} _ {0i} ^ {T} \ delta \ mathbf {M} \ operatorname {x} _ {0i};} δ x ja = x jot$${ i}=\mathbf {x} _{0j}^{T}\mathbf {M} _{0}\delta \mathbf {x} _{i}\mathbf {x} _{0j}{\text{z }}}$${\ Displaystyle \ mathbf {x} _ {0j} ^ {T} \ mathbf {M} _ {0} \ delta \ mathbf {x} _ {i} = {\ Frac {- \ mathbf {x} _ {0j }^{T}\delta \mathbf {K} \mathbf {x} _{0i}+\lambda _{0i}\mathbf {x} _{0j}^{T}\delta \mathbf {M} \mathrm {x} _{0i}}{(\lambda _{0j}-\lambda _{0i})}},i=1,\dots n;j=1,\dots n;j\neq i.}$ To jest rozwinięciem pierwszego rzędu zaburzonych wartości własnych i wektorów własnych. co jest udowodnione.

Wyniki analizy wrażliwości w odniesieniu do wpisów w macierzach

Wyniki

Oznacza to, że możliwe jest sprawne przeprowadzenie analizy wrażliwości na λ _i w funkcji zmian wpisów w macierzach. (Przypomnijmy, że macierze są symetryczne, więc zmiana K _{k ℓ} zmieni również K _{ℓ k} , stąd wyraz (2 - δ _{k ℓ} ) .)

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {\ częściowe \ lambda _ {i}} {\ częściowe \ mathbf {K} _ {(k \ ell)}}} & = {\ Frac {\ częściowe}} \partial \mathbf {K} _{(k\ell )}}}\left(\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\delta \mathbf {K } -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\right)=x_{0i(k)}x_{0i(\ell)}\left(2 -\delta _{k\ell }\right)\\{\frac {\częściowe \lambda _{i}}{\częściowe \mathbf {M} _{(k\ell)}}}&={\frac {\częściowy}}{\częściowy \mathbf {M} _{(k\ell)}}}\left(\lambda _{0i}+\mathbf {x} _{0i}^{\top }\left(\ delta \mathbf {K} -\lambda _{0i}\delta \mathbf {M} \right)\mathbf {x} _{0i}\right)=-\lambda _{i}x_{0i(k)} x_{0i(\ell )}\left(2-\delta _{k\ell }\right).\end{wyrównane}}}$

podobnie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} {\ Frac {\ częściowe \ mathbf {x} _ {i}} {\ częściowe \ mathbf {K} _ {(k \ ell)}}} & = \ suma _ {j =1 \na szczycie j\neq i}^{N}{\frac {x_{0j(k)}x_{0i(\ell )}\left(2-\delta _{k\ell }\right)}{ \lambda _{0i}-\lambda _{0j}}}\mathbf {x} _{0j}\\{\frac {\częściowy \mathbf {x} _{i}}{\częściowy \mathbf {M} _{(k\ell)}}}&=-\mathbf {x} _{0i}{\frac {x_{0i(k)}x_{0i(\ell)}}{2}}(2-\ delta _{k\ell })-\sum _{j=1 \na szczycie j\neq i}^{N}{\frac {\lambda _{0i}x_{0j(k)}x_{0i(\ell )}}{\lambda _{0i}-\lambda _{0j}}}\mathbf {x} _{0j}\left(2-\delta _{k\ell }\right).\end{aligned} }}$

Wrażliwość na wartość własną, mały przykład

Prostym przypadkiem jest ${\ Displaystyle K = {\ rozpocząć {bmatrix} 2 & b \\ b & 0 \ koniec {bmatrix}}}$ ; można jednak obliczyć wartości własne i wektory własne za pomocą narzędzi online, takich jak [1] (patrz wprowadzenie w Wikipedii WIMS ) lub za pomocą Sage SageMath . Otrzymujesz najmniejszą wartość własną i jawne obliczenie λ $\ Displaystyle \ lambda = - \ lewo [{\ sqrt {b ^ {2} + 1}} + 1 \ prawo]$${\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ lambda} {\ częściowe b}} = {\ Frac {-x} {\ sqrt {x ^ {2} + 1}}} }$ ; co więcej, powiązany wektor własny to ${\ Displaystyle {\ tylda {x}} _ {0} = [x, - ({\ sqrt {x ^{2}+1}}+1))]^{T}}$ ; nie jest wektorem jednostkowym; więc ${\ Displaystyle x_ {01} x_ {02} = {\ tylda {x}} _ {01} {\ tylda {x}} _ { 02}/\|{\tylda {x}}_{0}\|^{2}}$ ; otrzymujemy ${\ Displaystyle \| {\ tylda {x}} _ {0} \|^ {2} = 2 {\ sqrt {x ^ {2}+1}} ({\ sqrt {x ^ {2}+1}} +1)}$ i ${\ Displaystyle {\ tylda {x}}_{01}{\tylda {x}}_{02}=-x({\sqrt {x^{2}+1}}+1)}$ ; stąd ${\ Displaystyle x_ {01} x_ {02} = - {\ Frac {x} {2 {\ sqrt {x ^ {2} + 1}}}}}$ ; w tym przykładzie sprawdziliśmy, że $\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ lambda} {\ częściowe b}} = 2x_ {01}$${\ Displaystyle \ delta \ lambda = 2x_ {01} x_ {02} \ delta b}$ x_ .

Istnienie wektorów własnych

$. Nie ma gwarancji, że problem z wartością własną dotyczący$ że w powyższym przykładzie założyliśmy, że zarówno systemy niezakłócone, jak i zaburzone obejmowały macierze symetryczne , co gwarantowało istnienie liniowo niezależnych wektorów własnych $i$ macierzy będzie miał liniowo niezależne wektory własne, chociaż wystarczającym warunkiem jest to, że M $\ Displaystyle \ mathbf {$$}$ być jednocześnie diagonalizowalne .

Przypadek powtarzających się wartości własnych

Raport techniczny Rellicha dotyczący perturbacji problemów z wartością własną zawiera kilka przykładów. Podstawowe przykłady znajdują się w rozdziale 2. Raport można pobrać ze strony archive.org . Rysujemy przykład, w którym wektory własne zachowują się nieprzyjemnie.

Przykład 1

Rozważ następującą macierz ${\ Displaystyle B (\ epsilon )=\epsilon {\begin{bmatrix}\cos(2/\epsilon )&,\sin(2/\epsilon )\\\sin(2/\epsilon )&,s\cos(2/\epsilon )\ koniec{bmacierz}}}$ i ${\ Displaystyle A (\ epsilon) = Ie ^ {- 1 / \ epsilon ^ {2}} B;}$${\ Displaystyle A (0) = I.}$ Dla ${\ Displaystyle \ epsilon \ neq 0}$ , macierz ${\ Displaystyle A (\ epsilon)}$ ma wektory własne ${\ Displaystyle \ Phi ^ {1} = [\ cos (1 / \ epsilon), - \ sin (1 / \ epsilon )]^{T};\Phi ^{2}=[\sin(1/\epsilon ),-\cos(1/\epsilon )]^{T}} należące do wartości$ własnych $\ lambda _ {1} = 1-e ^ {- 1 / \ epsilon ^ {2}}}, \ lambda _ {2} =1+e^{-1/\epsilon^{2})}}$ . $_ {2}}$ ≠ dla ${\ Displaystyle \ epsilon \ neq 0},$ jeśli ${ \ Displaystyle u ^ {j} (\ epsilon), j = 1,2,}$ to dowolne znormalizowane wektory własne należące do ${\ Displaystyle \ lambda _ {j} (\ epsilon), j = 1,2}$ odpowiednio wtedy ${\ Displaystyle u ^ {j} = e ^ {\ alfa _ {j} (\ epsilon)} \ Phi ^ {j } (\ epsilon)}$ gdzie ${\ Displaystyle \ alpha _ {j}, j = 1,2}$ są rzeczywiste dla ${\ Displaystyle \ epsilon \ neq 0.}$ oczywiście niemożliwe do zdefiniowania, $,$ w taki sposób, że $(\ epsilon$ {1} do granicy, ponieważ ϵ $\ Displaystyle \ epsilon \ rightarrow 0,$${\ Displaystyle | u ^ {1} (\ epsilon) | = | \ cos (1/\ epsilon) |}$ nie ma ograniczeń, ponieważ ${\ Displaystyle \ epsilon \ rightarrow 0.}$

$,$ że w tym przykładzie wszystkich rzędów. Rellich wyciąga następującą ważną konsekwencję. $ale$ wektory własne nie zależą w sposób ciągły od parametru zaburzenia, mimo że operator to , konieczna jest praca nie z wektorem własnym, przestrzeń rozpięta przez wszystkie wektory własne należące do tej samej wartości własnej. >>

Przykład 2

Ten przykład jest mniej przykry niż poprzedni. Załóżmy, $że$ jest macierzą tożsamości 2x2, każdy wektor jest wtedy ${\ Displaystyle u_ {0} = [1,1] ^ {T} / {\ sqrt {2}}}$ jest jednym z możliwych wektorów własnych. Ale jeśli ktoś zrobi małe zamieszanie, np

${\ Displaystyle [K] = [K_ {0}] + {\ rozpocząć {bmatrix} \ epsilon & 0 \\ 0 i 0 \ koniec {bmatrix}}}$

Wtedy wektory własne to ${\ Displaystyle v_ {1} = [1,0] ^ {T}}$ i ${\ Displaystyle v_ {2} = [0, 1]^{T}}$ ; są stałe względem $},$$tak$ że i nie dążą

Zobacz też

• Teoria zaburzeń (mechanika kwantowa)
• Twierdzenie Bauera-Fike'a

Dalsza lektura

Książki

•   Ren-Cang Li (2014). „Teoria zaburzeń macierzowych”. W Hogben, Leslie (red.). Podręcznik algebry liniowej (wyd. Drugie). ISBN 978-1466507289 .
• Rellich, F. i Berkowitz, J. (1969). Perturbacyjna teoria problemów z wartościami własnymi. CRC Naciśnij . {{ cite book }} : CS1 maint: wiele nazwisk: lista autorów ( link ) .
• Bhatia, R. (1987). Granice perturbacji dla wartości własnych macierzy. SYJAM.

Raport

• Rellich Franz (1954). Perturbacyjna teoria problemów z wartościami własnymi . Nowy Jork: Courant Institute of Mathematical Sciences, New-York University.

Artykuły dziennikarskie

• Simon, B. (1982). Duże rzędy i sumowalność teorii zaburzeń wartości własnej: przegląd matematyczny. International Journal of Quantum Chemistry, 21(1), 3-25.
• Crandall, MG i Rabinowitz, PH (1973). Bifurkacja, zaburzenie prostych wartości własnych i zlinearyzowana stabilność. Archiwum racjonalnej mechaniki i analizy, 52 (2), 161-180.
• Stewart, GW (1973). Granice błędów i perturbacji dla podprzestrzeni związanych z pewnymi problemami wartości własnych. Przegląd SIAM, 15(4), 727-764.
• Lowdin, PO (1962). Studia z teorii zaburzeń. IV. Rozwiązanie problemu wartości własnej przez formalizm operatora projekcji. Journal of Mathematical Physics, 3(5), 969-982.