Zamieszanie odwrotne

Pomieszanie odwrotności , zwane także błędem prawdopodobieństwa warunkowego lub błędem odwrotnym , jest błędem logicznym , w którym prawdopodobieństwo warunkowe jest utożsamiane z jego odwrotnością; to znaczy, biorąc pod uwagę dwa zdarzenia A i B , zakłada się, że prawdopodobieństwo zajścia A przy założeniu, że zaszło B jest mniej więcej takie samo jak prawdopodobieństwo B przy założeniu A , kiedy w rzeczywistości nie ma dowodów na to założenie. Bardziej formalnie przyjmuje się, że P ( A | B ) jest w przybliżeniu równe P ( B | A ).

Przykłady

Przykład 1

Względny rozmiar	Złośliwy	Łagodny	Całkowity
Test pozytywny	0,8 (prawdziwie dodatni)	9,9 (fałszywie dodatni)	10.7
Test negatywny	0,2 (fałszywie ujemny)	89,1 (prawdziwie ujemny)	89,3
Całkowity	1	99	100

W jednym z badań poproszono lekarzy o podanie prawdopodobieństwa wystąpienia nowotworu z 1% prawdopodobieństwem wystąpienia. Test może wykryć 80% nowotworów złośliwych i ma 10% fałszywie dodatnich wyników. Jakie jest prawdopodobieństwo złośliwości przy pozytywnym wyniku testu? Około 95 na 100 lekarzy odpowiedziało, że prawdopodobieństwo wystąpienia nowotworu wynosi około 75%, najwyraźniej dlatego, że lekarze wierzyli, że prawdopodobieństwo wystąpienia nowotworu przy pozytywnym wyniku testu jest w przybliżeniu takie samo, jak prawdopodobieństwo pozytywnego wyniku testu przy raku.

Prawidłowe prawdopodobieństwo złośliwości przy pozytywnym wyniku testu, jak podano powyżej, wynosi 7,5%, wyprowadzone z twierdzenia Bayesa :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} i {} \ qquad P ({\ tekst {złośliwy}} | {\ tekst {pozytywny}}) \\ [8pt] & = {\ Frac { P({\text{dodatni}}|{\text{złośliwy}})P({\text{złośliwy}})}{P({\text{dodatni}}|{\text{złośliwy}})P( {\text{złośliwy}})+P({\text{pozytywny}}|{\text{łagodny}})P({\text{łagodny}})}}\\[8pt]&={\frac { (0,80\cdot 0,01)}{(0,80\cdot 0,01)+(0,10\cdot 0,99)}}=0,075\end{wyrównane}}}$

Inne przykłady zamieszania to:

• Użytkownicy twardych narkotyków zwykle używają marihuany ; dlatego użytkownicy marihuany mają tendencję do używania twardych narkotyków (pierwsze prawdopodobieństwo to używanie marihuany w przypadku używania twardych narkotyków, drugie to używanie twardych narkotyków w przypadku używania marihuany).
• Większość wypadków ma miejsce w promieniu 25 mil od domu; dlatego jesteś najbezpieczniejszy, gdy jesteś daleko od domu.
• Terroryści mają zwykle wykształcenie inżynierskie; więc inżynierowie mają skłonność do terroryzmu.

Aby zapoznać się z innymi błędami prawdopodobieństwa warunkowego, zobacz problem Monty'ego Halla i błąd stopy bazowej . Porównaj z nielegalną konwersją .

Przykład 2

Zobacz też: Paradoks fałszywie dodatni

względna (%)	Chory	Dobrze	Całkowity
Test pozytywny	0,99 (prawdziwie dodatni)	0,99 (fałszywie dodatni)	1,98
Test negatywny	0,01 (fałszywie ujemny)	98,01 (prawdziwie ujemny)	98.02
Całkowity	1	99	100

W celu identyfikacji osób z poważną chorobą we wczesnej uleczalnej postaci można rozważyć przebadanie dużej grupy osób. Podczas gdy korzyści są oczywiste, argumentem przeciwko takim badaniom przesiewowym są zaburzenia powodowane przez fałszywie pozytywne wyniki badań przesiewowych: jeśli osoba, która nie jest chora, zostanie błędnie wykryta podczas wstępnego testu, najprawdopodobniej będzie zestresowana i nawet jeśli następnie poddadzą się dokładniejszemu testowi i powiedzą, że czują się dobrze, ich życie może nadal mieć negatywny wpływ. Jeśli podejmą niepotrzebne leczenie choroby, mogą zostać poszkodowani przez skutki uboczne i koszty leczenia.

Wielkość tego problemu najlepiej można zrozumieć w kategoriach prawdopodobieństw warunkowych.

Załóżmy, że 1% grupy cierpi na tę chorobę, a reszta ma się dobrze. Losowy wybór osoby,

${\ Displaystyle P ({\ tekst {ill}}) = 1 \$

Załóżmy, że gdy test przesiewowy zostanie zastosowany do osoby, która nie jest chora, istnieje 1% szans na uzyskanie wyniku fałszywie dodatniego (a zatem 99% szans na uzyskanie prawdziwie ujemnego wyniku, liczba znana jako specyficzność testu ), tj

${\ Displaystyle P ({\ tekst {dodatni}} | {\ tekst {dobrze}}) = 1 \$

Na koniec załóżmy, że gdy test zostanie zastosowany do osoby chorej, istnieje 1% szans na wynik fałszywie ujemny (i 99% szans na uzyskanie prawdziwie pozytywnego wyniku, znanego jako czułość testu), tj .

${\ Displaystyle P ({\ tekst {ujemny}} | {\ tekst {zł}}) = 1 \$

Obliczenia

Odsetek osób w całej grupie, które czują się dobrze i mają negatywny wynik testu (prawdziwie negatywny):

${\ Displaystyle P ({\ tekst {dobrze}} \ cap {\ tekst {ujemny}}) = P ({\ tekst {dobrze}}) \ razy P ({\ tekst {ujemny}} | {\ tekst {dobrze }})=99\%\razy 99\%=98,01\%.}$

Odsetek osób w całej grupie, które są chore i uzyskały pozytywny wynik testu (prawdziwie pozytywny):

${\ Displaystyle P ({\ text {ill}} \ cap {\ text {pozytywny}}) = P ({\ text {ill}}) \ razy P ({\ text {positive}} | {\ text {ill }})=1\%\razy 99\%=0,99\%.}$

Odsetek osób w całej grupie, które mają wyniki fałszywie dodatnie:

${\ Displaystyle P ({\ tekst {dobrze}} \ cap {\ tekst {pozytywny}}) = P ({\ tekst {dobrze}}) \ razy P ({\ tekst {dobrze}} | {\ tekst {dobrze }})=99\%\razy 1\%=0,99\%.}$

Odsetek osób w całej grupie, które mają wyniki fałszywie ujemne:

${\ Displaystyle P ({\ text {ill}} \ cap {\ text {ujemne}}) = P ({\ text {ill}}) \ razy P ({\ text {ujemne}} | {\ text {ill }})=1\%\razy 1\%=0,01\%.}$

Ponadto odsetek osób w całej grupie, które uzyskały wynik pozytywny:

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} P ({\ tekst {dodatni}}) & {} = P ({\ tekst {dobrze}} \ cap {\ tekst {dodatni}}) + P ({\ tekst {zły} }}\cap {\text{dodatni}})\\&{}=0,99\%+0,99\%=1,98\%.\end{wyrównane}}}$

Wreszcie prawdopodobieństwo, że dana osoba faktycznie jest chora, biorąc pod uwagę, że wynik testu jest pozytywny:

${\ Displaystyle P ({\ tekst {ill}} | {\ tekst {pozytywny}}) = {\ Frac {P ({\ tekst {ill}} \ cap {\ tekst {pozytywny}})} {P ({{ \text{pozytywne}})}}={\frac {0.99\%}{1.98\%}}=50\%.}$

Wniosek

W tym przykładzie powinno być łatwo odnieść się do różnicy między prawdopodobieństwem warunkowym P (pozytywne | złe), które przy założonych prawdopodobieństwach wynosi 99%, a P (złe | pozytywne), które wynosi 50%: pierwsze to prawdopodobieństwo, że osoba, która ma chorobę, ma pozytywny wynik testu; drugim jest prawdopodobieństwo, że osoba, która uzyska pozytywny wynik testu, faktycznie jest chora. Tak więc, przy prawdopodobieństwach wybranych w tym przykładzie, z grubsza taka sama liczba osób odnosi korzyści z wczesnego leczenia, jak cierpi z powodu fałszywie dodatnich wyników; te pozytywne i negatywne skutki można następnie wziąć pod uwagę przy podejmowaniu decyzji o przeprowadzeniu badania przesiewowego lub, jeśli to możliwe, o dostosowaniu kryteriów testu w celu zmniejszenia liczby wyników fałszywie dodatnich (być może kosztem większej liczby wyników fałszywie ujemnych).

Zobacz też

• Rozmowa (logika)
• Błąd prokuratora