Zapadający się kolektor

Aby zapoznać się z koncepcją homotopii, zobacz upadek (topologia) .

W geometrii Riemanna załamująca się lub zapadnięta rozmaitość jest n -wymiarową rozmaitością M , która dopuszcza sekwencję metryk riemannowskich g _i , taką, że gdy i dąży do nieskończoności, rozmaitość jest bliska k -wymiarowej przestrzeni, gdzie k < n , w zmysł odległości Gromowa -Hausdorffa . Generalnie istnieją pewne ograniczenia dotyczące krzywizn przekroju ( M , g _i ). Najprostszym przykładem jest płaska rozmaitość , której metrykę można przeskalować o 1/ i , tak że rozmaitość jest blisko punktu, ale jej krzywizna pozostaje równa 0 dla wszystkich i .

Przykłady

Ogólnie rzecz biorąc, istnieją dwa rodzaje załamań:

(1) Pierwszym typem jest zawalenie, przy zachowaniu jednostajnie ograniczonej krzywizny, powiedzmy ${\ Displaystyle | \ s (M_ {i}) | \ równoważnik 1}$ .

Niech $będzie$ ciągiem wymiarowych $}$$,$ ja \ i ta rozmaitość. Istnieje twierdzenie udowodnione przez $Cheegera$ , Kenjiego Fukayę i Michaiła Gromowa , które że: Istnieje taka stała, ​​jeśli ${\ Displaystyle |\ sec (M_ {i}) | \ równoważnik 1} i$$Displaystyle {\ rm {Inj}} (M_ {i}) <\ varepsilon (n)}$ jot , wtedy ${\ Displaystyle M_ {i}}$ dopuszcza strukturę N, gdzie ${\ Displaystyle {\ rm {Inj}} (M)}$ oznaczający promień wstrzykiwania rozmaitość M. _ Z grubsza mówiąc, N -struktura jest lokalnym działaniem nilrozmaitości , która jest uogólnieniem struktury F, wprowadzonej przez Cheegera i Gromowa. Twierdzenie to uogólniło poprzednie twierdzenia Cheegera-Gromowa i Fukayi, w których zajmują się one odpowiednio tylko przypadkami działania torusa i ograniczonej średnicy.

(2) Drugi typ to zapadanie się przy zachowaniu tylko dolnej granicy krzywizny, powiedzmy ${\ Displaystyle \ sec (M_ {i}) \ geq -1}$ .

Jest to ściśle związane z tak zwanym przypadkiem rozmaitości zakrzywionych prawie nieujemnie, który uogólnia rozmaitości nieujemnie zakrzywione, jak również rozmaitości prawie płaskie. Mówi się, że rozmaitość jest prawie ${\ Displaystyle \ sec (M$ sekwencję metryk taką, że $sol$ i ${\ Displaystyle {\ rm {średnica}} (M, g_ {i}) \ równoważnik 1/n }$ . Rola, jaką odgrywa rozmaitość prawie nieujemnie zakrzywiona w tym zapadającym się przypadku, gdy krzywizna jest ograniczona poniżej, jest taka sama, jaką odgrywa rozmaitość prawie płaska w przypadku ograniczonej krzywizną.

$krzywizna$ jest ograniczona tylko od dołu, przestrzeń graniczna zwana przestrzenią Aleksandrowa . Yamaguchi udowodnił, że na regularnej części przestrzeni granicznej istnieje lokalnie trywialne rozwłóknienie z postaci do $,$$\ displaystyle X}$ gdy jest wystarczająco $Displaystyle M_ {i} ^ {n}$ duże, włókno jest rozmaitością prawie nieujemnie zakrzywioną. Tutaj regularność oznacza, że $​​promień sitka jest równomiernie ograniczony od dołu liczbą dodatnią lub$ w przestrzeni

Co dzieje się w osobliwym punkcie ${\ displaystyle X}$ ? Ogólnie nie ma odpowiedzi na to pytanie. Ale w wymiarze 3 Shioya i Yamaguchi podają pełną klasyfikację tego typu zapadniętej rozmaitości. $,$ że istnieje i ${\ Displaystyle$$\ delta (n)}$${\ Displaystyle {\ rm {tom}} (M) <\ varepsilon (n)}$ trójwymiarowa o wtedy prawdziwe jest jedno z poniższych stwierdzeń: (i) M jest rozmaitością grafową lub (ii) $i$ ma średnicę mniejszą niż ${\ Displaystyle \ delta (n)}$ ma skończoną grupę podstawową.