Zasada proporcjonalności
W badaniach operacyjnych i wyborach społecznych zasada proporcjonalności-sprawiedliwości (PF) jest regułą mówiącą, że spośród wszystkich możliwych alternatyw należy wybrać alternatywę, której nie można poprawić, gdzie „poprawa” jest mierzona sumą względnych ulepszeń możliwych do każdego agenta z osobna. Ma na celu zapewnienie kompromisu między zasadą utylitarną – która kładzie nacisk na ogólną efektywność systemu, a zasadą egalitarną – która kładzie nacisk na indywidualną sprawiedliwość.
Reguła została po raz pierwszy przedstawiona w kontekście kontroli szybkości transmisji w sieciach komunikacyjnych. Jest to jednak ogólna zasada wyboru społecznego i może być również stosowana na przykład przy alokacji zasobów.
Definicja
Niech będzie możliwych „stanów świata” lub „alternatyw” Społeczeństwo chce wybrać jeden stan spośród . Na w wyborach jednym zwycięzcą może reprezentować zbiór kandydatów; w ustawieniu alokacji zasobów wszystkie możliwe alokacje zasobu.
Niech będzie reprezentującym zbiór indywiduów Dla każdego będzie funkcją użyteczności opisującą ilość szczęścia jednostki ja u i wywodzi się z każdego możliwego stanu.
Reguła wyboru społecznego to mechanizm który wykorzystuje dane, aby wybrać element (elementy są „najlepsze” dla społeczeństwa. Pytanie, co oznacza „najlepszy”, jest podstawowym pytaniem teorii wyboru społecznego . Reguła proporcjonalności wybiera element taki, że :
Zauważ, że termin wewnątrz sumy reprezentuje względny zysk agenta i podczas przełączania z x na y . Reguła PF preferuje stan x nad stanem y wtedy i tylko wtedy, gdy suma względnych wzmocnień podczas przełączania z x na y nie jest dodatni.
Porównanie z innymi przepisami
Reguła utylitarna wybiera element , który maksymalizuje sumę poszczególnych użyteczności, czyli dla każdego innego stanu: }
Zasada ta ignoruje bieżącą użyteczność jednostek. W szczególności może wybrać stan, w którym użyteczność niektórych osób wynosi zero, jeśli użyteczność niektórych innych osób jest wystarczająco duża. Reguła egalitarna wybiera element , który maksymalizuje najmniejsze indywidualne użyteczności, to znaczy dla każdego innego stanu : }
Ta reguła ignoruje całkowitą wydajność systemu. W szczególności może wybrać stan, w którym użyteczności większości osób są bardzo niskie, aby najmniejsza użyteczność była nieco większa.
Zasada proporcjonalności ma na celu zrównoważenie tych dwóch skrajności. Z jednej strony bierze pod uwagę sumę użyteczności, a nie tylko mniejszą użyteczność; z drugiej strony, wewnątrz sumy, przypisuje większą wagę agentom, których bieżąca użyteczność jest mniejsza. W szczególności, jeśli użyteczność jakiejś jednostki w x wynosi 0, a istnieje inny stan y , w którym jej użyteczność jest większa od 0, to reguła PF preferowałaby stan y, gdyż względna poprawa jednostki y jest nieskończona (jest to podzielone przez 0).
Nieruchomości
Kiedy zbiory użyteczności są wypukłe, zawsze istnieje proporcjonalne rozwiązanie. Ponadto maksymalizuje iloczyn użyteczności (znany również jako dobrobyt Nasha ).
Gdy zbiory użyteczności nie są wypukłe, nie ma gwarancji, że rozwiązanie będzie proporcjonalne. Jednak jeśli istnieje, nadal maksymalizuje iloczyn użyteczności.
Reguła PF w określonych ustawieniach
Proporcjonalna sprawiedliwość była badana w różnych ustawieniach.
- Planowanie sieciowe; patrz planowanie proporcjonalne-sprawiedliwe .
- Sprawiedliwy problem sumy podzbioru .
- Kolejkowanie.