Zmienna losowo-rozmyta

W przypadku pomiarów uzyskany pomiar może podlegać dwóm rodzajom niepewności. Pierwszym z nich jest niepewność przypadkowa, która wynika z szumu procesu i pomiaru. Drugi udział wynika z niepewności systematycznej, która może występować w przyrządzie pomiarowym. Błędy systematyczne, jeśli zostaną wykryte, można łatwo skompensować, ponieważ są one zwykle stałe w całym procesie pomiarowym, o ile przyrząd pomiarowy i proces pomiarowy nie są zmieniane. Ale podczas używania instrumentu nie można dokładnie określić, czy występuje błąd systematyczny a jeśli jest, to ile? W związku z tym niepewność systematyczną można uznać za wkład o charakterze rozmytym.

Ten błąd systematyczny można w przybliżeniu modelować na podstawie naszych wcześniejszych danych dotyczących przyrządu pomiarowego i procesu.

Metody statystyczne mogą być wykorzystywane do obliczania całkowitej niepewności zarówno z systematycznych, jak i losowych udziałów w pomiarze. Ale złożoność obliczeniowa jest bardzo wysoka i dlatego nie jest pożądana.

LAZadeh wprowadził pojęcia zmiennych rozmytych i zbiorów rozmytych. Zmienne rozmyte opierają się na teorii możliwości, a zatem są rozkładami możliwości. To czyni je odpowiednimi do obsługi każdego rodzaju niepewności, tj. zarówno systematycznego, jak i losowego wkładu w całkowitą niepewność.

Zmienna losowo-rozmyta (RFV) jest zmienną rozmytą typu 2 , zdefiniowaną za pomocą matematycznej teorii możliwości, używaną do reprezentacji wszystkich informacji związanych z wynikiem pomiaru. Ma wewnętrzny rozkład możliwości i zewnętrzny rozkład możliwości zwany funkcjami przynależności. Rozkład wewnętrzny to udziały niepewności wynikające z niepewności systematycznej, a granice RFV wynikają z udziałów losowych. Rozkład zewnętrzny daje granice niepewności ze wszystkich wkładów.

Definicja

Zmienna losowo-rozmyta

Zmienna losowo-rozmyta (RFV) jest zdefiniowana jako zmienna rozmyta typu 2, która spełnia następujące warunki:

• Można zidentyfikować zarówno wewnętrzne, jak i zewnętrzne funkcje RFV.
• Zarówno funkcje wewnętrzne, jak i zewnętrzne są modelowane jako rozkłady możliwości (pd).
• Zarówno funkcje wewnętrzne, jak i zewnętrzne mają wartość jednostkową dla możliwości tego samego przedziału wartości.

RFV można zobaczyć na rysunku. Zewnętrzna funkcja przynależności to rozkład na niebiesko, a wewnętrzna funkcja przynależności to rozkład na czerwono. Obie funkcje przynależności są rozkładami możliwości. Zarówno wewnętrzne, jak i zewnętrzne funkcje przynależności mają jednolitą wartość możliwości tylko w prostokątnej części RFV. Tak więc wszystkie trzy warunki zostały spełnione.

Jeśli w pomiarze występują tylko błędy systematyczne, wówczas RFV staje się po prostu zmienną rozmytą , która składa się tylko z wewnętrznej funkcji przynależności. Podobnie, jeśli nie ma błędu systematycznego, wówczas RFV staje się zmienną rozmytą z tylko losowymi wkładami, a zatem jest tylko rozkładem możliwości losowych wkładów.

Budowa

Zmienną losowo-rozmytą można skonstruować przy użyciu wewnętrznego rozkładu możliwości ( r _internal ) i losowego rozkładu możliwości ( r _random ).

Rozkład losowy( r _random )

r _losowy to rozkład możliwości losowych udziałów w niepewności. Każdy przyrząd pomiarowy lub proces obarczony jest przypadkowymi błędami wynikającymi z wewnętrznego szumu lub innych efektów.

Ma to całkowicie losowy charakter i jest normalnym rozkładem prawdopodobieństwa, gdy kilka przypadkowych składek jest połączonych zgodnie z centralnym twierdzeniem granicznym .

Ale mogą również występować losowe wkłady z innych rozkładów prawdopodobieństwa, takich jak rozkład jednolity , rozkład gamma i tak dalej.

Rozkład prawdopodobieństwa można modelować na podstawie danych pomiarowych. Następnie rozkład prawdopodobieństwa można wykorzystać do modelowania równoważnego rozkładu możliwości przy użyciu maksymalnie określonej transformacji prawdopodobieństwo-możliwość.

Niektóre typowe rozkłady prawdopodobieństwa i odpowiadające im rozkłady możliwości można zobaczyć na rysunkach.

Rozkład normalny prawdopodobieństwa i możliwości.

Jednostajny rozkład prawdopodobieństwa i możliwości.

Trójkątny rozkład prawdopodobieństwa i możliwości.

Dystrybucja wewnętrzna ( r _wewnętrzna )

r _wewnętrzny jest rozkładem wewnętrznym w RFV, który jest rozkładem możliwości systematycznego wkładu w całkowitą niepewność. Rozkład ten można zbudować na podstawie dostępnych informacji o przyrządzie pomiarowym i procesie.

Największy możliwy rozkład to jednolity lub prostokątny rozkład możliwości. Oznacza to, że każda wartość w podanym przedziale jest jednakowo możliwa. W rzeczywistości reprezentuje to stan całkowitej ignorancji zgodnie z teorią dowodów, co oznacza, że ​​reprezentuje scenariusz, w którym występuje maksymalny brak informacji.

Ten rozkład jest używany dla błędu systematycznego, gdy nie mamy absolutnie żadnego pojęcia o błędzie systematycznym poza tym, że należy on do określonego przedziału wartości. Jest to dość powszechne w pomiarach.

Ale w pewnych przypadkach może być wiadomo, że pewne wartości mają wyższy lub niższy stopień wiary niż pewne inne wartości. W takim przypadku, w zależności od stopnia przekonania o wartościach, można by skonstruować odpowiedni rozkład możliwości.

Budowa rozkładu zewnętrznego( r _zewnętrzna ) i RFV

można skonstruować zewnętrzną funkcję przynależności r _{RFV za pomocą następującego równania:}

${\ Displaystyle r_ {\ textit {zewnętrzny}} (x) = \ sup _{x^{\prime }}T_{min}[r_{\textit {losowo}}(xx^{\prime }+x^{*}),r_{\textit {wewn.}}(x^{\ główny })]}$

gdzie ${\ Displaystyle x ^ {*}}$ jest trybem ${\ Displaystyle R _ {\ textit {losowy}}}$ , który jest szczytem funkcji przynależności ${\ displaystyle r_{random}}$ , a T _min to minimalna norma trójkątna .

RFV można również zbudować z rozkładów wewnętrznych i losowych, biorąc pod uwagę cięcia α dwóch rozkładów możliwości (PD).

Odcięcie α zmiennej rozmytej F można zdefiniować jako

${\ Displaystyle F _ {\ alfa} = \ {a \, \ vert \, \ mu _ {\ rm {F}} (a) \ geq \ alfa \} \ qquad {\ textit {gdzie}} \ qquad 0 \ równoważnik \ alfa \ równoważnik 1}$

$rozmytej$ więc zasadniczo α - to zbiór wartości, dla których wartość funkcji przynależności niż α . Daje to więc górną i dolną granicę zmiennej rozmytej F dla każdego α .

Cięcie α RFV ma jednak 4 określone granice i jest określone przez ${\ Displaystyle RFV ^ {\ alfa} = [X_{a}^{\alfa},X_{b}^{\alfa},X_{c}^{\alfa},X_{d}^{\alfa}]}$ . ${\ Displaystyle X_ {a} ^ {\ alfa}}$ i ${\ Displaystyle X_ {d} ^ {\ alfa}}$ są odpowiednio dolną i górną granicą zewnętrznej funkcji przynależności ( r _external ), która sama w sobie jest zmienną rozmytą. ${\ Displaystyle X_ {b} ^ {\ alfa}}$ i ${\ Displaystyle X_ {c} ^ {\ alfa}}$ są odpowiednio dolnymi i górnymi granicami wewnętrznej funkcji przynależności ( r _wewnętrzna ), która sama w sobie jest zmienną rozmytą.

Aby zbudować RFV, rozważmy cięcia α dwóch PD, tj. r _losowe i r _wewnętrzne dla tej samej wartości α . Daje to dolną i górną granicę dla dwóch α . Niech będą ${\ Displaystyle [X_ {LR} ^ {\ alfa}, X_ {UR} ^ {\ alfa}]}$ i ${\ Displaystyle [X_ {LI} ^ {\ alfa}, X_ {UI} ^ {\ alfa}]}$ odpowiednio dla rozkładów losowych i wewnętrznych. ${\ Displaystyle [X_ {LR} ^ {\ alfa}, X_ {UR} ^ {\ alfa}]}$ można ponownie podzielić na dwa podprzedziały ${\ Displaystyle [X_ {LR} ^ {\ alfa}, x ^ {*}]$ i ${UR} ^ {\ alfa}]}$$gdzie$ jest trybem zmiennej rozmytej. Następnie α dla RFV dla tej samej wartości α , ${\ Displaystyle RFV ^ {\ alfa} = [X_ {a}^{\alfa},X_{b}^{\alfa},X_{c}^{\alfa},X_{d}^{\alfa}]}$ można określić wg

${\ Displaystyle X_ {a} ^ {\ alfa} = X_ {LI} ^ {\ alfa} - (x ^ {*} -X_ { LR}^{\alfa})}$

${\ Displaystyle X_ {b} ^ {\ alfa} = X_ {LI} ^ {\ alfa}}$

${\ Displaystyle X_ {c} ^ {\ alfa} = X_ {UI} ^ {\ alfa}}$

${\ Displaystyle X_ {d} ^ {\ alfa} = X_ {UI} ^ {\ alfa} - (X_ {UR} ^ {\ alfa }-x^{*})}$

Korzystając z powyższych równań, przecięcia α są obliczane dla każdej wartości α , co daje nam końcowy wykres RFV.

Zmienna losowo-rozmyta jest w stanie dać pełny obraz losowych i systematycznych wkładów do całkowitej niepewności z cięć α dla dowolnego poziomu ufności, ponieważ poziom ufności wynosi tylko 1-α .

Przykład konstrukcji odpowiedniej zewnętrznej funkcji przynależności ( r _zewnętrzna ) i RFV z losowego PD i wewnętrznego PD można zobaczyć na poniższym rysunku.

Konstrukcja zewnętrznej funkcji przynależności i RFV z wewnętrznych i losowych rozkładów możliwości.

Zobacz też

• Rozmyty zestaw
• Norma T
• Zbiory i systemy rozmyte typu 2
• Błąd obserwacyjny
• Teoria Dempstera-Shafera
• Teoria możliwości
• Teoria prawdopodobieństwa
• Rozkład prawdopodobieństwa