Norma T

W matematyce t -norm (również T-norm lub nieskrócona norma trójkątna ) jest rodzajem operacji binarnej stosowanej w ramach probabilistycznych przestrzeni metrycznych oraz w logice wielowartościowej , a konkretnie w logice rozmytej . Norma t uogólnia przecięcie w sieci i koniunkcję w logice . Nazwa trójkątna norma odnosi się do faktu, że w ramach probabilistycznych przestrzeni metrycznych t-normy są używane do uogólnienia nierówności trójkąta zwykłych przestrzeni metrycznych .

Definicja

Norma t to funkcja T: [0, 1] × [0, 1] → [0, 1], która spełnia następujące właściwości:

• Przemienność : T( a , b ) = T( b , a )
• Monotoniczność : T( a , b ) ≤ T( c , d ) jeśli a ≤ c i b ≤ d
• Łączność : T( a , T( b , c )) = T(T( a , b ), c ​​)
• Liczba 1 działa jako element tożsamości : T( a , 1) = a

Ponieważ norma t jest binarną operacją algebraiczną na przedziale [0, 1], notacja algebraiczna z wrostkami jest również powszechna, przy czym norma t jest zwykle oznaczana przez ${\ displaystyle *}$ .

Warunki definiujące normę t są dokładnie takie, jak częściowo uporządkowany monoid abelowy w rzeczywistym przedziale jednostkowym [0, 1]. (Patrz grupa uporządkowana .) Działanie monoidalne dowolnego częściowo uporządkowanego monoidu abelowego L jest zatem przez niektórych autorów nazywane normą trójkątną na L .

Klasyfikacja t-norm

Normę t nazywamy ciągłą , jeśli jest ciągła jako funkcja, w zwykłej topologii przedziałowej na [0, 1] ² . (Podobnie dla lewej i prawej ).

Normę t nazywamy ścisłą , jeśli jest ciągła i ściśle monotoniczna .

Norma t nazywana jest nilpotentna, jeśli jest ciągła, a każde x w przedziale otwartym (0, 1) jest nilpotentne , to znaczy istnieje liczba naturalna n taka, że ​​x ${\ Displaystyle *}$ ... ${\ styl wyświetlania *}$ x ( n razy) równa się 0.

T-normę $się$ Archimedesem , jeśli ma właściwość Archimedesa , to znaczy, jeśli dla każdego x , y w przedziale otwartym (0, 1) istnieje liczba naturalna n taka, że ​​x ${\ displaystyle *}$ ... ${\ displaystyle *}$ x ( n razy) jest mniejsze lub równe y .

Zwykłe częściowe uporządkowanie t-norm jest punktowe , to znaczy

T ₁ ≤ T ₂ jeśli T ₁ ( a , b ) ≤ T ₂ ( a , b ) dla wszystkich a , b w [0, 1].

Jako funkcje, punktowo większe t-normy są czasami nazywane silniejszymi niż te punktowo mniejsze. Jednak w semantyce logiki rozmytej im większa t-norma, tym słabszą (pod względem siły logicznej) koniunkcję reprezentuje.

Wybitne przykłady

Wykres minimalnej normy t (3D i kontury)

• Minimalna norma t ${\ Displaystyle \ top _ {\ operatorname {min}} (a, b) = \ min \ {a, b \}, }$ zwany także t-normą Gödla , ponieważ jest to standardowa semantyka koniunkcji w logice rozmytej Gödla . Poza tym występuje w większości logik rozmytych opartych na normie t jako standardowa semantyka słabego koniunkcji. Jest to punktowo największa t-norma (patrz właściwości t-norm poniżej).

Wykres produktu t-normy

• Produkt t-norm ${\ Displaystyle \ top _ {\ operatorname {prod}} (a, b) = a \ cdot b}$ (zwykły iloczyn liczb rzeczywistych) . Oprócz innych zastosowań, norma t produktu jest standardową semantyką silnego połączenia w logice rozmytej produktu . Jest to ścisła t-norma Archimedesa.

Wykres t-normy Łukasiewicza

• Łukasiewicz t-norma ${\ Displaystyle \ top _ {\ mathrm {Luk}} (a, b) = \ max \ {0, a + b-1 \}.} Nazwa pochodzi$ od faktu, że norma t jest standardową semantyką dla koniunkcja silna w logice rozmytej Łukasiewicza . Jest to nilpotentna t-norma Archimedesa, punktowo mniejsza niż iloczyn t-normy.

Wykres drastycznej normy t. Funkcja jest nieciągła na liniach 0 < x = 1 i 0 < y = 1.

• Drastyczna norma t

${\ Displaystyle \ top _ {\ operatorname {D}} (a, b) = {\ rozpocząć {przypadki} b & {\ mbox {jeśli}} a = 1 \\ a & {\ mbox {jeśli}} b = 1 \ \0&{\mbox{inaczej.}}\end{cases}}}$

Nazwa odzwierciedla fakt, że drastyczna t-norm jest punktowo najmniejszą t-normą (zobacz właściwości t-norm poniżej). Jest to t-norma Archimedesa ciągła w prawo.

Wykres nilpotentnego minimum. Funkcja jest nieciągła na linii 0 < x = 1 - y < 1.

• ⊤

${\ Displaystyle \ top _ {\ operatorname {nM}} (a, b) = {\ rozpocząć {przypadki$

lewostronna ciągły, ale nie ciągły. Pomimo swojej nazwy nilpotentne minimum nie jest nilpotentną t-normą.

Wykres produktu Hamacher

• Produkt Hamachera

${\ Displaystyle \ top _ {\ operatorname {H} _ {0}} (a, b) = {\ begin{cases}0&{\mbox{if }}a=b=0\\{\frac {ab}{a+b-ab}}&{\mbox{inaczej}}\end{cases}}}$

to ścisła t-norma Archimedesa i ważny przedstawiciel klas parametrycznych t-norm Hamachera i t-norm Schweizera – Sklara .

Własności t-norm

Drastyczna norma t to punktowo najmniejsza norma t, a minimum to punktowo największa norma t:

${\ Displaystyle \ top _ {\ operatorname {D}} (a, b) \ równoważnik \ top (a, b) \ leq \ operatorname {\ top _ {min}} (a, b),}$ dla dowolnej normy t ${\ Displaystyle \ top}$ i wszystkich za , b w [0, 1].

Dla każdej t-normy T liczba 0 działa jako element zerowy: T( a , 0) = 0 dla wszystkich a w [0, 1].

Norma t T ma dzielniki zera wtedy i tylko wtedy, gdy ma elementy nilpotentne ; każdy nilpotentny element T jest również dzielnikiem zera T. Zbiór wszystkich nilpotentnych elementów to przedział [0, a ] lub [0, a ), dla niektórych a w [0, 1].

Własności ciągłych t-norm

Chociaż rzeczywiste funkcje dwóch zmiennych mogą być ciągłe w każdej zmiennej, ale nie są ciągłe w [0, 1] ² , nie jest tak w przypadku t-norm: t-normowa T jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła w jednej zmiennej , tj. wtedy i tylko wtedy, gdy funkcje f _y ( x ) = T ( x , y ) są ciągłe dla każdego y w [0, 1]. Analogiczne twierdzenia obowiązują dla ciągłości lewej i prawej t-normy.

Ciągła norma t jest archimedesowa wtedy i tylko wtedy, gdy 0 i 1 są jej jedynymi idempotentami .

Ciągła norma t Archimedesa jest ścisła, jeśli 0 jest jej jedynym elementem nilpotentnym ; w przeciwnym razie jest nilpotentny. Co więcej, z definicji ciągła archimedesowa norma t T jest nilpotentna wtedy i tylko wtedy, gdy każdy x <1 jest nilpotentnym elementem T. Zatem przy ciągłej archimedesowej normie t T, albo wszystkie elementy ( 0 , 1) są nilpotentne. Jeśli jest tak, że wszystkie elementy w (0, 1) są nilpotentne, to norma t jest izomorficzna z normą t Łukasiewicza; tj. istnieje ściśle rosnąca funkcja f taka, że

${\ Displaystyle \ top (x, y) = f ^ {- 1} (\ top _ {\ operatorname {Luk}} (f (x), f (y)}).}$

Jeśli z drugiej strony jest tak, że nie ma nilpotentnych elementów T, norma t jest izomorficzna z normą t iloczynu. Innymi słowy, wszystkie nilpotentne t-normy są izomorficzne, a t-norma Łukasiewicza jest ich prototypowym przedstawicielem; a wszystkie ścisłe normy t są izomorficzne, a ich prototypowym przykładem jest norma t produktu. Norma t Łukasiewicza jest sama w sobie izomorficzna z iloczynem t-normy podciętej o 0,25, tj. z funkcją p ( x , y ) = max(0,25, x · y ) na [0,25, 1] ^​​2 .

Dla każdej ciągłej normy t zbiór jej idempotentów jest zamkniętym podzbiorem [0, 1]. Jego dopełnienie — zbiór wszystkich elementów, które nie są idempotentne — jest zatem sumą przeliczalnie wielu nienakładających się przedziałów otwartych. Ograniczenie t-normy do dowolnego z tych przedziałów (w tym jego punktów końcowych) jest archimedesowe, a zatem izomorficzne albo z t-normą Łukasiewicza, albo z iloczynową t-normą. Dla takich x , y , które nie mieszczą się w tym samym otwartym przedziale nie-idempotentów, t-norm ocenia do minimum x i y . Warunki te w rzeczywistości dają charakterystykę ciągłych norm t, zwanych twierdzeniem Mosterta-Shieldsa , ponieważ każda ciągła norma t może zostać w ten sposób rozłożona, a opisana konstrukcja zawsze daje ciągłą normę t. Twierdzenie można również sformułować w następujący sposób:

Norma t jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy jest izomorficzna z sumą porządkową minimum Łukasiewicza i iloczynu t-normy.

znaleziono jedynie niewyczerpujące metody konstruowania t-norm .

Pozostałość

Dla dowolnej lewej ciągłej normy t istnieje unikalna operacja binarna $\ displaystyle \$ [0, 1] taka, że ​​⊤ $top}$

${\ Displaystyle \ top (z, x) \ równoważnik y}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle z \ równoważnik (x \ Strzałka w prawo y)}$

dla wszystkich x , y , z w [0, 1]. Ta operacja jest nazywana resztą t-normy. W notacji przedrostkowej reszta normy t jest często oznaczana przez ${\ displaystyle \ top$ literę R. $}$

Przedział [0, 1] wyposażony w t-normę i jego resztę tworzy siatkę resztkową . Relacja między t-normą T a jej resztą R jest przykładem sprzężenia (konkretnie połączenia Galois ): reszta tworzy prawe przyleganie R ( x , –) do funktora T (–, x ) dla każdego x w krata [0, 1] przyjęta jako kategoria posetowa .

W standardowej semantyce logiki rozmytej opartej na normie t, gdzie koniunkcja jest interpretowana przez normę t, residuum pełni rolę implikacji (często nazywanej implikacją R ).

Podstawowe właściwości pozostałości

Jeśli jest resztą t-normy ciągłej w lewo ${\ Displaystyle \ top}$ , to ${\ Displaystyle \ Rightarrow}$

${\ Displaystyle (x \ Strzałka w prawo y) = \ sup \ {z \ mid \ top (z, x) \ równoważnik y \}.}$

W konsekwencji dla wszystkich x , y w przedziale jednostkowym,

${\ Displaystyle (x \ Strzałka w prawo y) = 1}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle x \ równoważnik y}$

I

${\ Displaystyle (1 \ Strzałka w prawo y) = y.}$

Jeśli jest lewostronną normą t i jej resztą, to $∗$$Displaystyle *}$

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {rcl} \ min (x, y) & \ geq & x * (x \ Strzałka w prawo y) \\\ max (x, y) & = & \ min ((x \ Strzałka w prawo y )\Strzałka w prawo y,(y\Strzałka w prawo x)\Strzałka w prawo x).\end{tablica}}}$

Jeśli jest $ciągła$ , to równość zachodzi w tym pierwszym

Pozostałości wybitnych lewostronnych t-norm

Jeśli x ≤ y , to R( x , y ) = 1 dla dowolnej reszty R. Poniższa tabela podaje zatem wartości widocznych reszt tylko dla x > y .

Pozostałość po	Nazwa	Wartość dla x > y	Wykres
Minimalna norma t	Standardowa implikacja Gödla	y	Standardowa implikacja Gödla. Funkcja jest nieciągła na linii y = x < 1.
Norma t produktu	Implikacja Goguena	y / x	Implikacja Goguena. Funkcja jest nieciągła w punkcie x = y = 0.
t-normę Łukasiewicza	Standardowa implikacja Łukasiewicza	1 – x + y	Standardowa implikacja Łukasiewicza.
Nilpotentne minimum	Implikacja Kleene-Dienesa	maks(1 – x , y )	Pozostałość nilpotentnego minimum. Funkcja jest nieciągła na linii 0 < y = x < 1.

T-konormy

T-conormy (zwane także S-normami ) są dualne do t-norm w ramach operacji odwracania kolejności, która przypisuje 1 – x do x na [0, 1]. Biorąc pod uwagę normę t , konorm uzupełniający jest zdefiniowany przez ${\ displaystyle \ top}$

${\ Displaystyle \ bot (a, b) = 1- \ top (1-a, 1-b).}$

To uogólnia prawa De Morgana .

Wynika z tego, że t-conorm spełnia następujące warunki, które można zastosować do równoważnej aksjomatycznej definicji t-conorm niezależnie od t-norm:

• Przemienność: ⊥( a , b ) = ⊥( b , a )
• Monotoniczność: ⊥( a , b ) ≤ ⊥( c , d ) jeśli a ≤ c i b ≤ d
• Łączność: ⊥( a , ⊥( b , c )) = ⊥(⊥( a , b ), c ​​)
• Element tożsamości: ⊥( a , 0) = a

T-konormy są używane do reprezentowania alternatywy logicznej w logice rozmytej i sumy w teorii mnogości rozmytych .

Przykłady t-konormów

Ważne t-conormy to te podwójne w stosunku do wybitnych t-norm:

Wykres maksymalnego t-konormu (3D i kontury)

• maksymalna t-conorm ${\ Displaystyle \ bot _ {\ operatorname {max}} (a, b) = \ max \ {a, b \}}$ , podwójna względem minimalnej t-normy, jest najmniejszą t-conormą (patrz właściwości t-conorms poniżej). Jest to standardowa semantyka dysjunkcji w logice rozmytej Gödla i słabej dysjunkcji we wszystkich logikach rozmytych opartych na normie t.

Wykres sumy probabilistycznej

• suma probabilistyczna ${\ Displaystyle \ bot _ {\ operatorname {suma}} (a, b )=a+ba\cdot b=1-(1-a)\cdot (1-b)}$ jest dualne do iloczynu t-normy. W teorii prawdopodobieństwa wyraża prawdopodobieństwo zjednoczenia niezależnych zdarzeń . Jest to również standardowa semantyka dla silnej dysjunkcji w takich rozszerzeniach iloczynowej logiki rozmytej , w których jest ona definiowalna (np. zawierających negację inwolucyjną).

Wykres sumy ograniczonej t-conorm

• suma ograniczona ${\ Displaystyle \ bot _ {\ operatorname {Luk}} (a, b) = \ min \ {a + b, 1 \} }$ jest dualny do t-normy Łukasiewicza. Jest to standardowa semantyka dla silnej dysjunkcji w logice rozmytej Łukasiewicza .

Wykres drastycznej t-conormy. Funkcja jest nieciągła na liniach 1 > x = 0 i 1 > y = 0.

• Drastyczny t-conorm

${\ Displaystyle \ bot _ {\ operatorname {D}} (a, b) = {\ rozpocząć {przypadki} b& {\mbox{if }}a=0\\a&{\mbox{if }}b=0\\1&{\mbox{inaczej,}}\end{cases}}} podwójny względem drastycznej normy t,$

to największy t-conorm (patrz właściwości t-conorms poniżej).

Wykres nilpotentnego maksimum. Funkcja jest nieciągła na prostej 0 < x = 1 – y < 1.

• Maksimum nilpotentne , podwójne do minimum nilpotentnego:

${\ Displaystyle \ bot _ {\ operatorname {nM}} (a, b) = {\ rozpocząć {przypadki} \ max (a, b) & {\ mbox {jeśli}} a + b <1 \\ 1 i {\ mbox{inaczej.}}\end{przypadki}}}$

Wykres sumy Einsteina

• Suma Einsteina (porównaj wzór na dodawanie prędkości w szczególnej teorii względności)

${\ Displaystyle \ bot _ {\ operatorname {H} _ {2}} (a, b )={\frac {a+b}{1+ab}}}$

jest liczbą podwójną do jednej z t-norm Hamachera .

Własności t-konormów

Wiele właściwości t-conorm można uzyskać poprzez dualizację właściwości t-norm, na przykład:

• Dla dowolnego t-konormu ⊥ liczba 1 jest elementem anihilującym: ⊥( a , 1) = 1, dla dowolnego a w [0, 1].
• Podwójnie do t-norm, wszystkie t-conormy są ograniczone przez maksimum i drastyczną t-conormę:

${\ Displaystyle \ operatorname {\ bot _ {max}} (a, b) \ równoważnik \ bot (a, b ) \ leq \ bot _ {\ operatorname {D}} (a, b)}$ dla dowolnego t-conorm ${\ Displaystyle \ bot}$ i wszystkich za , b w [0, 1].

Dalsze właściwości wynikają z relacji między t-normami i t-konormami lub ich wzajemnym oddziaływaniem z innymi operatorami, np.:

• T-normę T rozkłada się po konormie t ⊥, tj.

T( x , ⊥( y , z )) = ⊥(T( x , y ), T( x , z )) dla wszystkich x , y , z w [0, 1],

wtedy i tylko wtedy, gdy ⊥ jest maksymalną konormą t. Podwójnie, każda t-conorm rozkłada się na minimum, ale nie na żadną inną t-normę.

Niestandardowe negatory

Negator $,$ monotonicznie $n(0)=1$ że n ) and $n(1)=0$. A negator n is called

• ścisłe w przypadku ścisłej monotoniczności i
• silny $,$$jeśli$ jest ścisły inwolucyjny to w for all

Standardowym (kanonicznym) negatorem jest ${\ Displaystyle n (x) = 1-x, \ x \ in [0,1]}$ , który jest zarówno ścisły, jak i mocny. Ponieważ standardowy negator jest używany w powyższej definicji pary t-norm / t-conorm, można to uogólnić w następujący sposób:

Trójka De Morgana to trójka (T,⊥, n ) taka, że

1. T jest t-normą
2. ⊥ jest t-konormą zgodnie z aksjomatyczną definicją t-konorm, jak wspomniano powyżej
3. n jest silnym negatorem
4. ${\ Displaystyle \ forall a, b \ w [0,1] \ dwukropek \ n({\perp}(a,b))=\top (n(a),n(b))}$ .

Zobacz też

• Konstrukcja t-norm
• T-normowe logiki rozmyte

•   Klement, Erich Peter; Mesiar, Radko; i Pap, Endre (2000), Normy trójkątne . Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-6416-3 .
•   Hájek, Petr (1998), Metamatematyka logiki rozmytej . Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-5238-6
•   Cignoli, Roberto LO; D'Ottaviano, Włochy ML ; i Mundici, Daniele (2000), Algebraiczne podstawy wielowartościowego rozumowania . Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-6009-5
•   Fodor, János (2004), „Lewociągłe t-normy w logice rozmytej: przegląd”. Acta Polytechnica Hungarica 1 (2), ISSN 1785-8860 [1]