Kategoria pozalna

W matematyce , a konkretnie w teorii kategorii , kategoria pozalna lub kategoria cienka to kategoria , z której każdy zawiera co najwyżej jeden morfizm. Jako taka, kategoria pozalna jest równoznaczna z klasą z góry uporządkowaną (lub zbiorem z góry uporządkowanym , jeśli jej obiekty tworzą zbiór ). Jak sugeruje nazwa, kolejnym wymogiem jest, aby kategoria była szkieletowa jest często przyjmowany jako definicja „postala”; w przypadku kategorii, która jest posetalna, bycie szkieletowym jest równoważne wymaganiu, aby jedynymi izomorfizmami były morfizmy tożsamości, równoważnie, że klasa wstępnie uporządkowana spełnia antysymetrię, a zatem, jeśli jest zbiorem, jest posetem .

Wszystkie diagramy dojeżdżają do pracy w kategorii pozalnej. Kiedy przemienne diagramy kategorii są interpretowane jako typowana teoria równań, której obiektami są typy, współdyskretna pozalna odpowiada teorii niespójnej, rozumianej jako spełniająca aksjomat x = y we wszystkich typach.

Postrzegając kategorię 2 jako kategorię wzbogaconą , której obiektami hom są kategorie, obiektami hom dowolnego rozszerzenia kategorii pozalnej do kategorii 2 mającej te same komórki 1 są monoidy .

Niektóre struktury oparte na teorii sieci można zdefiniować jako pewnego rodzaju kategorie pozalne, zwykle z silniejszym założeniem, że są szkieletowe. Na przykład przy tym założeniu poset można zdefiniować jako małą kategorię posetalową, siatkę rozdzielczą jako małą kategorię rozdzielczą posetalową , algebrę Heytinga jako małą posetalową, skończenie kokompletną, kartezjańską kategorię zamkniętą , a algebrę Boole'a jako małą posetalową, skończenie cocomplete *-autonomiczna kategoria . I odwrotnie, kategorie, kategorie dystrybucyjne, skończenie kokompletne zamknięte kategorie kartezjańskie i skończenie kokompletne * -autonomiczne kategorie można uznać za odpowiednie kategoryzacje pozycji, krat rozdzielczych, algebr Heytinga i algebr Boole'a.