Kategoria dystrybucyjna

W matematyce kategoria jest rozdzielcza , jeśli ma skończone produkty i skończone koprodukty i takie , że dla każdego wyboru obiektów mapa kanoniczna $Displaystyle A, B, C}$

${\ Displaystyle [{\ mathit {id}} _ {A} \ razy \ jota _{1},{\mathit {id}}_{A}\times \iota _{2}]:A\!\times \!B\,+A\!\times \!C\to A\! \razy \!(B+C)}$

$A$ jest izomorfizmem i dla wszystkich obiektów $0\to A\times 0$ kanoniczna izomorfizmem (gdzie initial object). Equivalently, if for every object $A$ the endofunctor $A\times -$ defined by $B\mapsto A\times B$ preserves coproducts up to isomorphisms $f$. It follows that $f$ and aforementioned canonical maps are equal for each choice of objects.

W szczególności, jeśli funktor ma $)$ prawe tj. Jeśli kategoria jest domknięta kartezjańsko , to z konieczności zachowuje wszystkie , a zatem każdą zamkniętą kategorię kartezjańską ze skończonymi produktami koproduktów (tj . dowolna zamknięta kategoria bikartezjańska ) jest rozdzielna.

Przykład

Kategoria zbiorów jest rozdzielna. Niech A , B i C będą zbiorami . Następnie

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} A \ razy (B \ amalg C) & = \ {(a, d) \ mid a \ in A{\text{ and }}d\in B\amalg C\}\\&\cong \{(a,d)\mid a\in A{\text{ and }}d\in B\}\ amalg \{(a,d)\mid a\in A{\text{ and }}d\in C\}\\&=(A\times B)\amalg (A\times C)\end{aligned} }}$

gdzie $\ amalg}$ \ $displaystyle$ oznacza współprodukt w zbiorze , a mianowicie rozłączny związek , i bijekcję . W przypadku gdy A , B i C są zbiorami skończonymi , wynik ten odzwierciedla właściwość rozdzielności : każdy z powyższych zbiorów ma liczność ${\ Displaystyle | A | \ cdot (| B | + | C |) = | A | \ cdot | B | + | A | \ cdot | C |}$ .

Kategorie Grp i Ab nie są rozdzielcze, mimo że mają zarówno produkty, jak i koprodukty.

Jeszcze prostszą kategorią, która ma zarówno produkty, jak i koprodukty, ale nie jest rozdzielna, jest kategoria zbiorów wskazanych .

Dalsza lektura

• Cockett, JRB (1993). „Wprowadzenie do kategorii dystrybucyjnych” . Struktury matematyczne w informatyce . 3 (3): 277–307. doi : 10.1017/S0960129500000232 .
• Carboni, Aurelio (1993). „Wprowadzenie do kategorii ekstensywnych i dystrybucyjnych” . Dziennik algebry czystej i stosowanej . 84 (2): 145–158. doi : 10.1016/0022-4049(93)90035-R .