T-normowe logiki rozmyte

T-normowe logiki rozmyte to rodzina logik nieklasycznych , nieformalnie ograniczonych semantyką , która przyjmuje rzeczywisty przedział jednostkowy [0, 1] dla systemu wartości logicznych i funkcji zwanych t-normami dla dopuszczalnych interpretacji koniunkcji . Są one używane głównie w stosowanej logice rozmytej i teorii zbiorów rozmytych jako teoretyczna podstawa wnioskowania przybliżonego.

Logiki rozmyte z normą T należą do szerszych klas logiki rozmytej i logiki wielowartościowej . Aby wygenerować dobrze wychowaną implikację , t-normy zwykle muszą być lewostronnie ciągłe ; logiki t-norm ciągłości lewostronnej należą ponadto do klasy logik podstrukturalnych , wśród których odznaczają się ważnością prawa prelinearności , ( A → B ) ∨ ( B → A ). Zarówno propozycjonalne, jak i pierwszego rzędu (lub wyższego rzędu ) logiki rozmyte z normą t, a także ich rozwinięcia za pomocą operatorów modalnych i innych. Logiki, które ograniczają semantykę t-normy do podzbioru rzeczywistego przedziału jednostkowego (na przykład logiki Łukasiewicza o skończonej wartości ) są zwykle również zaliczane do tej klasy.

Ważnymi przykładami logiki rozmytej t-normy są monooidalna logika t-normy MTL wszystkich t-norm ciągnących się w lewo, podstawowa logika BL wszystkich ciągłych t-norm, logika rozmyta iloczynu t-normy produktu lub nilpotentna logika minimum nilpotentna minimalna norma t. Niektóre logiki motywowane niezależnie należą również do logik rozmytych t-norm, na przykład logika Łukasiewicza (która jest logiką t-normy Łukasiewicza) lub logika Gödla-Dummetta (która jest logiką minimalnej t-normy).

Motywacja

Jako członkowie rodziny logiki rozmytej , t-normowe logiki rozmyte mają na celu przede wszystkim uogólnienie klasycznej logiki dwuwartościowej poprzez przyjęcie pośrednich wartości prawdy między 1 (prawda) a 0 (fałsz) reprezentujących stopnie prawdziwości zdań. Zakłada się, że stopnie są liczbami rzeczywistymi z przedziału jednostkowego [0, 1]. W logice rozmytej z normą zdań t, spójniki zdaniowe są określone jako prawdziwościowo funkcjonalne , to znaczy, że wartość logiczna zdania złożonego utworzonego przez spójnik zdaniowy z niektórych zdań składowych jest funkcją (zwaną funkcja prawdziwości łącznika) wartości logicznych zdań składowych. Funkcje prawdy operują na zbiorze stopni prawdy (w semantyce standardowej na przedziale [0, 1]); zatem funkcja prawdziwości n -arnego spójnika zdaniowego c jest funkcją F _c : [0, 1] ⁿ → [0, 1]. Funkcje prawdziwościowe uogólniają tablice prawdy spójników zdań znanych z logiki klasycznej do operowania na większym systemie wartości logicznych.

T-normowe logiki rozmyte nakładają pewne naturalne ograniczenia na funkcję prawdziwości koniunkcji . Zakłada się , że funkcja prawdy ${\ Displaystyle * \ dwukropek [0,1] ^ {2} \ do [0,1]}$ spełnia następujące warunki:

• y Przemienność , to $y$ wszystkich i w [
• Asocjatywność $(x*y)*z=x*(y*z)$ to for all x, y, and z in [0, 1]. This expresses the assumption that the order of performing conjunction is immaterial, even if intermediary truth degrees are admitted.
• Monotonia , $x*z\leq y*z$ jeśli dla wszystkich $x$ , w , and z in [0, 1]. This expresses the assumption that increasing the truth degree of a conjunct should not decrease the truth degree of the conjunction.
• Neutralność 1 , to znaczy ${\ Displaystyle 1 * x = x}$ dla wszystkich x w [0, 1]. Założenie to odpowiada uznaniu stopnia prawdziwości 1 za pełną prawdę, z którą koniunkcja nie zmniejsza wartości prawdziwości drugiej koniunkcji. Wraz z poprzednimi warunkami warunek ten zapewnia, że ​​również dla wszystkich $zawsze$ w [0, 1], co odpowiada uznaniu stopnia prawdy 0 za pełny fałsz, z którym koniunkcja jest FAŁSZ.
• Ciągłość funkcji ( $poprzednie$ ograniczają to wymaganie do ciągłości w każdym argumencie). Nieformalnie wyraża to założenie, że mikroskopijne zmiany stopni prawdziwości koniunktów nie powinny skutkować makroskopową zmianą stopnia prawdziwości ich koniunkcji. Warunek ten między innymi zapewnia dobre zachowanie implikacji (resztkowej) wyprowadzonej z koniunkcji; jednak, aby zapewnić dobre zachowanie, pozostawiono ciągłość (w każdym argumencie) funkcji ${\ displaystyle *}$ jest wystarczający. Dlatego w ogólnej logice rozmytej z normą t wymagana jest tylko ciągłość lewostronna $.$ co wyraża założenie, że mikroskopijne zmniejszenie stopnia prawdziwości koniunkcji nie powinno makroskopowo zmniejszać stopnia prawdziwości koniunkcji

Te założenia sprawiają, że funkcja prawdziwości koniunkcji jest lewostronnie ciągłą normą t , co wyjaśnia nazwę rodziny logiki rozmytej ( opartej na normie t ). Poszczególne logiki rodziny mogą przyjmować dalsze założenia dotyczące zachowania koniunkcji (na przykład logika Gödla wymaga jej idempotencji ) lub innych spójników (na przykład logika IMTL (inwolucyjna monoidalna logika t-normowa) wymaga inwolucji negacji ).

Wszystkie t-normy ciągłe w lewo $że$ unikalną residuum , to znaczy funkcję binarną $taką$ dla wszystkich x , y i z w [0, 1],

${\ Displaystyle x * y \ równoważnik z}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle x \ równoważnik y \ Strzałka w prawo z.}$

Resztę lewostronnie ciągłej normy t można wyraźnie zdefiniować jako

${\ Displaystyle (x \ strzałka w prawo y) = \ sup \ {z \ mid z * x \ równoważnik y \}.}$

Gwarantuje to, że reszta jest punktowo największą funkcją taką, że dla wszystkich x i y ,

${\ Displaystyle x * (x \ strzałka w prawo y) \ równoważnik y.}$

Tę ostatnią można interpretować jako rozmytą wersję reguły wnioskowania modus ponens . Resztę t-normy ciągłej w lewo można zatem scharakteryzować jako najsłabszą funkcję, która sprawia, że ​​rozmyty modus ponens jest ważny, co czyni ją odpowiednią funkcją prawdy do implikacji w logice rozmytej. Ciągłość lewostronna normy t jest warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby zależność między koniunkcją t-normową a jej implikacją resztkową była zachowana.

$bi$ zdefiniować za pomocą t-normy i jej residuum, na residual równoważność ${\ Displaystyle x \ Strzałka w lewo y = (x \ Strzałka w prawo y) * (y \ Strzałka w prawo x).}$ Funkcje prawdziwościowe spójników zdaniowych mogą być również wprowadzone przez dodatkowe definicje: najczęściej spotykane to minimum (pełni rolę innego spójnika koniunkcyjnego), maksimum (pełni rolę spójnika rozłącznego) lub operator Baaz Delta, zdefiniowane w [0, 1] jako ${\ Displaystyle \ Delta x = 1}$ jeśli ${\ Displaystyle x = 1}$ i ${\ Displaystyle \ Delta x = 0}$ W przeciwnym razie. W ten sposób lewostronnie ciągła norma t, jej residuum i funkcje prawdziwości dodatkowych spójników zdaniowych określają wartości prawdziwości złożonych formuł zdaniowych w [0, 1].

$}}$ Wzory , które zawsze oceniają na 1, nazywane są tautologiami w odniesieniu do danej tautologii t-normowej ciągłej w lewo $displaystyle *$ ∗ Zbiór wszystkich $∗$ jest logiką normy t ${\ displaystyle *,}$ ponieważ te wzory reprezentują prawa logiki rozmytej (określone przez -norma), które utrzymują (do stopnia 1) niezależnie od stopnia prawdy wzory atomowe . Niektóre formuły są tautologiami w odniesieniu do większej klasy t-norm ciągłości w lewo; zbiór takich formuł nazywany jest logiką klasy. Ważnymi logikami t-norm są logiki poszczególnych t-norm lub klas t-norm, na przykład:

• Logika Łukasiewicza jest logiką t-normy Łukasiewicza ${\ Displaystyle x * y = \ max (x + y-1,0)}$
• Logika Gödla-Dummetta jest logiką minimalnej normy t ${\ Displaystyle x * y = \ min (x, y)}$
• Logika rozmyta produktu to logika produktu t-normy ${\ Displaystyle x * y = x \ cdot y}$
• Monoidalna logika t-normy MTL jest logiką (klasy) wszystkich t-norm ciągłych w lewo
• Podstawowa logika rozmyta BL jest logiką (klasą) wszystkich ciągłych t-norm

Okazuje się, że wiele logik poszczególnych t-norm i klas t-norm jest aksjomatyzowalnych. Twierdzenie o kompletności systemu aksjomatycznego w odniesieniu do odpowiedniej semantyki t-normy na [0, 1] jest wtedy nazywane standardową kompletnością logiki. Oprócz standardowej semantyki o wartościach rzeczywistych na [0, 1], logika jest rozsądna i kompletna w odniesieniu do ogólnej semantyki algebraicznej, utworzonej przez odpowiednie klasy przedliniowych przemiennych ograniczonych integralnych resztkowych krat .

Historia

Niektóre szczególne logiki rozmyte z normą t zostały wprowadzone i zbadane na długo przed rozpoznaniem rodziny (nawet zanim pojawiły się pojęcia logiki rozmytej lub normy t ):

• Logika Łukasiewicza (logika t-normy Łukasiewicza) została pierwotnie zdefiniowana przez Jana Łukasiewicza (1920) jako logika trójwartościowa ; później został uogólniony na n -wartościowe (dla wszystkich skończonych n ) oraz nieskończenie wiele wartościowych wariantów, zarówno zdaniowych, jak i pierwszego rzędu.
• Logika Gödla-Dummetta (logika minimalnej normy t) była zawarta w dowodzie Gödla z 1932 r. Na nieskończoną wartość logiki intuicjonistycznej . Później (1959) został wyraźnie zbadany przez Dummetta , który udowodnił twierdzenie o zupełności dla logiki.

Systematyczne badanie poszczególnych t-normowych logik rozmytych i ich klas rozpoczęło się od monografii Hájka (1998) Metamathematics of Fuzzy Logic , w której przedstawiono pojęcie logiki t-normy ciągłej, logikę trzech podstawowych ciągłych t-norm normy (Łukasiewicz, Gödel, iloczyn) oraz „podstawowa” logika rozmyta BL wszystkich ciągłych t-norm (wszystkie zdaniowe i pierwszego rzędu). Książka zapoczątkowała również badanie logiki rozmytej jako logiki nieklasycznej z rachunkiem w stylu Hilberta, semantyką algebraiczną i właściwościami metamatematycznymi znanymi z innych logik (twierdzenie o zupełności, twierdzenie o dedukcji , złożoność itp.).

Od tego czasu wprowadzono mnóstwo logik rozmytych z normą t i zbadano ich właściwości metamatematyczne. Niektóre z najważniejszych logik rozmytych z normą t zostały wprowadzone w 2001 roku przez Estevę i Godo ( MTL , IMTL, SMTL, NM, WNM), Esteva, Godo i Montagna (zdaniowy ŁΠ) oraz Cintula (ŁΠ pierwszego rzędu) .

Język logiczny

Słownik logiczny logiki rozmytej zdaniowej t-normowej standardowo obejmuje następujące spójniki:

• Implikacja ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ( binarny ). W kontekście innych niż logiki rozmyte oparte na normie t, implikacja oparta na normie t jest czasami nazywana implikacją resztkową lub implikacją R , ponieważ jej standardowa semantyka jest resztą t -normy , która realizuje silną koniunkcję.
• Silny spójnik ${\ Displaystyle \ I}$ (binarny). W kontekście logiki podstrukturalnej znak i nazwy grupa , spójnik intensjonalny $są$ multiplikatywny lub równoległy często używane dla silnego koniunkcji.
• Słaby spójnik $($ ), zwany także spójnikiem kratowym (jak zawsze jest realizowany przez operację kratową spotkania w semantyce algebraicznej). W kontekście logiki podstrukturalnej nazwy koniunkcji addytywnej , ekstensjonalnej lub porównawczej są czasami używane dla koniunkcji kratowej. W logice BL i jej rozszerzeniach (choć ogólnie nie w logice t-normowej) słabe połączenie można zdefiniować w kategoriach implikacji i silnej koniunkcji przez
  $${\ Displaystyle A \ klin B \ równoważnik A {\ mathbin {\ I}} (A \ strzałka w prawo B).}$$
  Obecność dwóch spójników koniunkcyjnych jest powszechną cechą logiki podstrukturalnej wolnej od skurczów .
• dno ${\ Displaystyle \ bot}$ ( nieważne ); ${\ Displaystyle 0}$ lub ${\ Displaystyle {\ overline {0}}}$ są powszechnymi znakami alternatywnymi, a zero jest wspólną alternatywną nazwą stałej zdaniowej (ponieważ stałe dolne i zero logiki podstrukturalnej pokrywają się w logika rozmyta z normą t) . Propozycja $absurd$ fałsz lub i odpowiada klasycznej wartości prawdy false .
• Negacja ${\ displaystyle \ neg}$ ( jednoargumentowa ), czasami nazywana negacją resztkową , jeśli bierze się pod uwagę inne spójniki negacji, jak jest to określone na podstawie implikacji resztkowej przez reductio ad absurdum :
  $${\ Displaystyle \ neg A \ równoważnik A \ strzałka w prawo \ bot}$$
• Równoważność $binarna$ ), zdefiniowana jako
  $${\ Displaystyle A \ strzałka w lewo B \ równoważnik (A \ strzałka w prawo B) \ klin (B \ strzałka w prawo A)}$$
  W logice t-normowej definicja jest równoważna ${\ Displaystyle (A \ strzałka w prawo B) {\ mathbin {\ I}} (B \ strzałka w prawo A).}$
• $Słaba$ ) dysjunkcja ( ), zwana także dysjunkcją kratową (ponieważ jest to zawsze realizowane przez operację łączenia w sieci w semantyce algebraicznej). W logice t-normowej można to zdefiniować za pomocą innych spójników jako
  $${\ Displaystyle A \ vee B \ równoważnik ((A \ strzałka w prawo B) \ strzałka w prawo B) \ klin ((B \ strzałka w prawo A)\strzałka w prawo A)}$$
• Top $(pusty)$ , zwany także jedynką i oznaczony przez $Displaystyle$ ponieważ stałe góra i zero logiki podstrukturalnej pokrywają się w 1 $1}$ logiki rozmyte z normą t). Propozycja odpowiada klasycznej wartości prawdy $\ displaystyle \ top}$ i może być zdefiniowana w logice t-normowej jako ⊤ {
  $${\ Displaystyle \ top \ równoważnik \ bot \ strzałka w prawo \ bot.}$$

Niektóre logiki zdaniowe t-norm dodają do powyższego języka dalsze spójniki zdaniowe, najczęściej następujące:

• Łącznik delta $, który potwierdza klasyczną prawdziwość zdania, ponieważ formuły postaci$ łącznikiem $jednoargumentowym$ się w logice klasycznej. Nazywana również Baaz Delta , ponieważ została po raz pierwszy użyta przez Matthiasa Baaza dla logiki Gödela-Dummetta . Rozszerzenie logiki t-normy $przez$ spójnik Delta jest zwykle oznaczane ${\ Displaystyle L _ {\ trójkąt}.}$
• Stałe prawdy to spójniki zerowe reprezentujące określone wartości prawdy między 0 a 1 w standardowej semantyce o wartościach rzeczywistych. Dla liczby rzeczywistej $przez$ stała prawdy jest zwykle oznaczana ${\ displaystyle {\ overline {r}}.}$ Najczęściej dodaje się stałe prawdy dla wszystkich liczb wymiernych. Układ wszystkich stałych prawdziwościowych w języku ma spełniać aksjomaty księgowości :
  $${\ Displaystyle {\ overline {r {\ mathbin {\ I}} s}} \ leftrightarrow ({\ overline {r}} {\ mathbin {\ I}} {\overline {s}}),}$$
  $${\ Displaystyle {\ overline {r \ rightarrow s}} \ leftrightarrow ({\ overline {r}} {\ mathbin {\ strzałka w prawo}}} {\ overline {s} }),}$$
  itd. dla wszystkich spójników zdaniowych i wszystkich stałych prawdziwościowych definiowalnych w języku.
• Negację inwolucyjną $jednoargumentową$ ) można dodać jako dodatkową negację do logiki t-normowej, której resztkowa negacja sama w sobie nie jest inwolucyjna , to znaczy, jeśli nie jest zgodna z prawem podwójnej negacji ${\ Displaystyle \ neg \ neg A \ leftrightarrow A}$ . Logika t-normy $rozszerzona$ o negację inwolucyjną jest zwykle oznaczana przez ${\ Displaystyle L _ {\ sim}}$ i nazywana $\ displaystyle L}$ z inwolucją .
• Silna dysjunkcja $binarna$ ). W kontekście logiki substrukturalnej nazywa się to również dysjunkcją grupową , intensywną , multiplikatywną lub równoległą . Chociaż jest standardem w pozbawionych kontrakcji logikach podstrukturalnych, w logiki rozmytej z normą t jest zwykle używany tylko w obecności negacji inwolucyjnej, co czyni go definiowalnym (a więc aksjomatyzowalnym) przez prawo de Morgana z silnego koniunkcji:
  $${\ Displaystyle A \ oplus B \ równoważnik \ operatorname {\ sim} (\ operatorname {\ sim} A {\ mathbin {\ i}} \ operatorname {\ sim} B).}$$
• Dodatkowe koniunkcje t-normowe i implikacje resztkowe . Niektóre ekspresyjnie silne logiki t-norm, na przykład logika ŁΠ, mają więcej niż jedną silną koniunkcję lub implikację szczątkową w swoim języku. W standardowej semantyce o wartościach rzeczywistych wszystkie takie silne koniunkcje są realizowane przez różne t-normy, a implikacje resztkowe przez ich residua.

Dobrze sformułowane formuły zdaniowych logik t-norm są definiowane na podstawie zmiennych zdaniowych (zwykle przeliczalnie wielu) przez powyższe spójniki logiczne, jak zwykle w logice zdaniowej . Aby uniknąć nawiasów, często stosuje się następującą kolejność pierwszeństwa:

• Spójniki jednoargumentowe (wiążą się najściślej)
• Spójniki binarne inne niż implikacja i równoważność
• Implikacja i równoważność (wiążą się najbardziej luźno)

Warianty pierwszego rzędu logiki t-normowej wykorzystują zwykły język logiczny logiki pierwszego rzędu z powyższymi spójnikami zdań i następującymi kwantyfikatorami :

• ogólny kwantyfikator ${\ displaystyle \ forall}$
• kwantyfikator egzystencjalny ${\ Displaystyle \ istnieje}$

Wariant pierwszego rzędu logiki zdań t-normowych $zwykle$ oznaczany przez ${\ Displaystyle L \ forall.}$

Semantyka

Semantyka algebraiczna jest używana głównie w logikach rozmytych z normą t, z trzema głównymi klasami algebr , w odniesieniu do których logika rozmyta z normą t jest kompletna : ${\ displaystyle L}$

• Semantyka ogólna , utworzona ze wszystkich $jest$ - czyli wszystkich algebr, dla których logika rozsądna .
• Semantyka liniowa , $utworzona$ ze wszystkich algebr liniowych - to znaczy wszystkich -algebr, $porządek$ sieci jest liniowy
• Standardowa semantyka , utworzona ze wszystkich standardowych algebr - to znaczy wszystkich $kratową$$, których redukcją$ jest rzeczywisty przedział jednostkowy [0, 1] w zwykłym porządku W standardowych $interpretacja$ silnego koniunkcji jest lewostronnie ciągłą normą t , a interpretacja większości spójników zdaniowych jest określona przez normę t (stąd nazwy logiki oparte na normie t i t -norm ${\ displaystyle L}$ - algebry , który jest również używany do $siatce$ [0, 1]). Jednak w logice t-norm z dodatkowymi spójnikami interpretacja dodatkowych spójników w wartościach rzeczywistych może być ograniczona przez dalsze warunki, aby algebra t-normy mogła być nazywana standardem: na przykład w standardzie L ∼ {\ displaystyle $\ sim}}$${\ displaystyle \ sim}$ logiki z $inwolucją$ , interpretacja dodatkowej negacji inwolucyjnej musi być standardową inwolucją ${\ Displaystyle f _ {\ sim} (x) = 1-x,}$$zamiast$ innych inwolucji, które mogą również interpretować t-normą ${\ styl wyświetlania L_{\sim}}$ -algebry. Ogólnie rzecz biorąc, definicja standardowych algebr t-normowych musi być wyraźnie podana dla logik t-normowych z dodatkowymi spójnikami.

Bibliografia

• Esteva F. i Godo L., 2001, „Monoidalna logika oparta na t-normach: w kierunku logiki t-norm ciągnących się w lewo”. Zbiory i systemy rozmyte 124 : 271–288.
• Flaminio T. & Marchioni E., 2006, logiki oparte na normie T z niezależną negacją inwolucyjną. Zbiory i systemy rozmyte 157 : 3125–3144.
• Gottwald S. & Hájek P., 2005, Trójkątna norma oparta na matematycznej logice rozmytej. W EP Klement & R. Mesiar (red.), Logiczne, algebraiczne, analityczne i probabilistyczne aspekty norm trójkątnych , s. 275–300. Elsevier, Amsterdam 2005.
•   Hájek P., 1998, Metamatematyka logiki rozmytej . Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-5238-6 .