Logika monoidalna t-normy

W logice matematycznej , monoidalna logika oparta na t-normach (lub w skrócie MTL ), logika t-norm ciągłych w lewo , jest jedną z logik rozmytych t-norm . Należy do szerszej klasy logiki podstrukturalnej lub logiki sieci resztkowych ; rozszerza logikę przemiennych ograniczonych integralnych krat resztkowych (znanych jako logika monoidalna Höhle'a, FL _{ew Ono} lub logika intuicjonistyczna bez kontrakcji) o aksjomat prelinearności.

Motywacja

W logice rozmytej zamiast uznawać zdania za prawdziwe lub fałszywe, łączymy każde stwierdzenie z liczbowym zaufaniem do tego stwierdzenia. Zgodnie $się$ w przedziale jednostkowym , gdzie maksymalna pewność klasycznej koncepcji prawdy, a minimalna pewność $1$$0$

T-normy to funkcje binarne w rzeczywistym przedziale jednostek [0, 1], które w logice rozmytej są często używane do reprezentowania spójnika koniunkcyjnego ; za ${\ Displaystyle a, b \ in [0,1]} są przekonaniami,$ przypisujemy odpowiednio stwierdzeniom i ${\ displaystyle A}$ i ${\ displaystyle B}$ t-norm ${\ Displaystyle *}$ obliczyć pewność ${\ Displaystyle a * b}$ przypisane do zdania złożonego „ ${\ displaystyle A}$ i ${\ displaystyle B}$ '. T-norma $właściwości$ spełniać

przemienność $\ Displaystyle a * b = b * a}$ asocjatywność

( ${\ Displaystyle (a * b) * c = a * ( b * c)}$ monotoniczność

- jeśli ${\ Displaystyle a \ leqslant b}$ i do ${\ Displaystyle c \ leqslant d},$ to ${\ Displaystyle a * c \ leqslant b * d}$ i

mając 1 jako element tożsamości $1 * a = a}$ .

Szczególnie nieobecna na tej liście jest właściwość idempotencji za $\ displaystyle a * a = a}$ ; najbliższy jest taki, że ${\ Displaystyle a * a \ leqslant 1 * a = a}$ . Może wydawać się dziwne, że jesteśmy mniej pewni siebie i $A}$$displaystyle$ niż po prostu ale generalnie chcemy pozwolić, aby pewność siebie była $mniejsza$${\ Displaystyle a * b}$ w połączonym ' $'$ b $\ Displaystyle B}$ być mniejsze niż zarówno pewność siebie $\ Displaystyle A},$ ZA ${\ Displaystyle A}$ jak i pewność siebie za ${\ Displaystyle b}$ w ${\ displaystyle B}$ , a następnie porządkowanie według monotoniczności wymaga za ${\ Displaystyle a * b <a \ leqslant$${\ Displaystyle a * a \ leqslant a * b <a}$ . Innym sposobem na to jest to, że norma t może uwzględniać tylko ufności jako liczby, a nie przyczyny, które mogą leżeć za przypisaniem tych ufności; w związku z tym nie może traktować inaczej niż „ ${\$$Displaystyle$$}$ i ${\ Displaystyle B}$ , gdzie jesteśmy równie pewni obu .

Ponieważ symbol $sieci$ jego zastosowanie w teorii jest bardzo ściśle powiązany z właściwością idempotentności, przydatne może być przełączenie się na inny symbol dla koniunkcji, który niekoniecznie jest idempotentny . W tradycji logiki rozmytej czasami używa się $tradycją$ „silnego” koniunkcji, ale ten artykuł jest zgodny z logiki podstrukturalnej polegającą na używaniu silnego $koniunkcji$ zatem ${\ displaystyle a * b} to pewność$$, którą$ przypisujemy stwierdzeniu (wciąż czytane „ $displaystyle$ b $B}$ być może z„ silnym lub „multiplikatywny” jako kwalifikacja „i”).

$sformalizowany$ spójnik , chce się kontynuować z innymi spójnikami. Jednym ze sposobów na to jest wprowadzenie negacji jako mapy odwracającej kolejność ${\ Displaystyle [0,1] \ longrightarrow [0,1]}$ , a następnie zdefiniowanie pozostałych spójników za pomocą praw De Morgana , implikacja materialna i tym podobne. Problem polega na tym, że wynikowe logiki mogą mieć niepożądane właściwości: mogą być zbyt bliskie logice klasycznej lub odwrotnie, nie obsługiwać oczekiwanych reguł wnioskowania . Alternatywą, która sprawia, że ​​​​konsekwencje różnych wyborów są bardziej przewidywalne, jest zamiast tego kontynuowanie implikacji $dedukcyjnymi$ drugiego łącznika: jest to ogólnie najczęstszy łącznik w aksjomatyzacjach logiki i ma bliższe powiązania z aspektami logiki niż większość innych spójników. Pewny odpowiednik ${\ displaystyle \ Strzałka w prawo}$ spójnika implikacji może być w rzeczywistości zdefiniowana bezpośrednio jako reszta t-normy.

Logiczny związek między koniunkcją a implikacją zapewnia coś tak fundamentalnego, jak reguła wnioskowania modus ponens ${\ Displaystyle A, A \ do B \ vdash B}$ : od ${\ Displaystyle A}$ i ${\ Displaystyle A \ do B}$ następuje ${\ Displaystyle B}$ . W przypadku logiki rozmytej, który jest bardziej rygorystycznie zapisany jako ${\ Displaystyle A \ otimes (A \ do B) \ vdash B}$ , ponieważ to wyraźnie pokazuje, że nasze zaufanie do przesłanek jest tutaj takie, że w ${\ Displaystyle A \ otimes (A \ do B)} , a nie$$A \ do B}$ w osobno $Displaystyle$ . Więc jeśli ${$ b $\ displaystyle b} i$ są naszymi zwierzeniami w $\ displaystyle A}$ i odpowiednio, to za $a \ Rightarrow b}$$Displaystyle$ jest poszukiwaną pewnością w ${\ Displaystyle A \ do B}$ i ${\ Displaystyle a * ( a \ Strzałka w prawo b)}$ to połączone zaufanie do ${\ Displaystyle A \ otimes (A \ do B)}$ . Tego wymagamy

${\ Displaystyle a * (a {\ mathbin {\ Strzałka w prawo}} b) \ leqslant b}$

ponieważ nasza pewność ${\ Displaystyle A \ otimes (A \ do b)},$ do ${\ displaystyle B}$$powinna$ być mniejsza niż nasza pewność stwierdzeniu $a * (a \ Rightarrow b$ z którego logicznie wynika. ${\ displaystyle B} .$ To ogranicza szukaną pewność ${\ displaystyle a \ Rightarrow b}$ i jednym ze sposobów przekształcenia $displaystyle$ w operację binarną, taką jak $*}$ , byłoby uczynienie go tak dużym, jak to możliwe, przy jednoczesnym przestrzeganiu tego ograniczenia: ∗ {\ displaystyle \ Rightarrow b}

${\ Displaystyle a {\ mathbin {\ Strzałka w prawo}} b \ równoważnik \ sup \ lewo \ {x \ w [0,1] \; {\ duży |} \; a * x \ leqslant b \prawo\}}$ .

Biorąc $x = 0}$$0}$ Displaystyle daje , zawsze niepustego zbioru ograniczonego, a zatem dobrze zdefiniowanego. Dla ogólnej normy t pozostaje możliwość, że $\ Displaystyle f_ {a} (x) = a * x}$ ma nieciągłość skoku w punkcie ${\ Displaystyle x = a {\ mathbin {\ Strzałka w prawo}} b}$ , w takim przypadku $prawo}} b)}$ w wychodzić znacznie większy niż, $Displaystyle a {\ mathbin {\ Strzałka w prawo}$ że $b}$ zdefiniowany jako najmniejsza górna granica s spełniająca $za$${\ Displaystyle a * x \ leqslant b}$ ; aby temu zapobiec i aby prace budowlane przebiegały zgodnie z oczekiwaniami, wymagamy, aby norma t $była$ w lewo . Resztę t-normy ciągłej w lewo można zatem scharakteryzować jako najsłabszą funkcję, która sprawia, że ​​rozmyty modus ponens jest ważny, co czyni ją odpowiednią funkcją prawdy do implikacji w logice rozmytej.

${\ Displaystyle$ operacja jest resztą t-normy $*}$ , jeśli dla wszystkich $a}$ Displaystyle , $b$$} styl wyświetlania c}$ spełnia

${\ Displaystyle a * b \ równoważnik c}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle a \ równoważnik (b {\ mathbin {\ Strzałka w prawo}} c)}$ .

Ta równoważność porównań numerycznych odzwierciedla równoważność implikacji

${\ Displaystyle A \ otimes B \ vdash C}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle A \ vdash B \ do C$

to istnieje, ponieważ każdy dowód z $} displaystyle A}$$można$ przekształcić w dowód z przesłanki ZA ${\ displaystyle A \ otimes B} na dowód$$\ displaystyle B \$ do $\ do C}$ wykonując dodatkowy krok wprowadzania implikacji i odwrotnie, każdy dowód z przesłanki można przekształcić w dowód ${\ displaystyle$$}$ z przesłanki , wykonując dodatkowy krok eliminacji implikacji ZA $\ czasami B}$ . Ciągłość lewostronna normy t jest warunkiem koniecznym i wystarczającym, aby zależność między koniunkcją t-normową a jej implikacją resztkową była zachowana.

Funkcje prawdziwościowe dalszych spójników zdaniowych można zdefiniować za pomocą t-normy i jej residuum, na przykład negacji resztkowej ${\ Displaystyle \ neg x = (x {\ mathbin {\ Strzałka w prawo}} 0).}$ W ten sposób norma t ciągła w lewo, jej reszta i funkcje prawdy dodatkowych spójników zdaniowych (patrz sekcja Standardowa semantyka poniżej) określają wartości prawdziwości złożonych formuł zdaniowych w [0, 1]. Następnie wywoływane są formuły, których wynikiem jest zawsze 1 tautologie $w$ lewostronnej do danej t- $.$ lub Zbiór wszystkich $∗$ jest logiką t-normy ${\ displaystyle *,}$ ponieważ te wzory reprezentują prawa logiki rozmytej (określone przez -norm), które obowiązują (do stopnia 1) niezależnie od stopni prawdziwości wzorów atomowych . Niektóre formuły są tautologiami w odniesieniu do wszystkich t-norm ciągnących w lewo: reprezentują ogólne prawa logiki rozmytej zdań, które są niezależne od wyboru określonej t-normy ciągłej w lewo. Wzory te tworzą logikę MTL, którą można zatem scharakteryzować jako logikę t-norm ciągłości w lewo.

Składnia

Język

Język logiki zdaniowej MTL składa się z przeliczalnie wielu zmiennych zdaniowych i następujących spójników logicznych pierwotnych :

• Implikacja ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ( binarnie )
• Silny spójnik $binarny$ ). Znak & jest bardziej tradycyjną notacją dla silnego połączenia w literaturze dotyczącej logiki rozmytej, podczas gdy notacja jest $zgodna$ tradycją logiki podstrukturalnej.
• Słaby spójnik $($ ), zwany także spójnikiem kratowym (jak zawsze jest realizowany przez operację kratową spotkania w semantyce algebraicznej). W przeciwieństwie do BL i silniejszych logik rozmytych, słabe koniunkcje nie są definiowalne w MTL i muszą być zaliczane do prymitywnych spójników.
• Dół ${\ displaystyle \ bot}$ ( nullary - stała zdaniowa ; ${\ displaystyle 0}$ lub ${\ displaystyle {\ overline {0}}}$ są powszechnymi alternatywnymi tokenami, a zero jest wspólną alternatywną nazwą dla stałej zdaniowej (jako stałe dno i zero logiki podstrukturalnej pokrywają się w MTL).

Poniżej przedstawiono najczęściej definiowane spójniki logiczne:

• Negacja ${\ Displaystyle \ neg}$ ( jednoargumentowa ), zdefiniowana jako

${\ Displaystyle \ neg A \ równoważnik A \ rightarrow \ bot}$

• Równoważność ${\ Displaystyle \ leftrightarrow}$ (binarna), zdefiniowana jako

${\ Displaystyle A \ strzałka w lewo B \ równoważnik (A \ strzałka w prawo B) \ klin (B \ strzałka w prawo A)}$

W MTL definicja jest równoważna ${\ Displaystyle (A \ rightarrow B) \ otimes (B \ rightarrow A).}$

• (Słaba) dysjunkcja ${\ Displaystyle \ vee}$ (binarna), zwana także dysjunkcją kratową (ponieważ jest zawsze realizowana przez operację łączenia w sieci w semantyce algebraicznej), zdefiniowany jako

${\ Displaystyle A \ vee B \ równoważnik ((A \ strzałka w prawo B) \ strzałka w prawo B) \ klin ((B \ strzałka w prawo A) \ strzałka w prawo A)}$

• Góra $displaystyle \ top} (pusty),$$zwany$ także jedynką i oznaczony przez lub (ponieważ stałe top i zero logiki podstrukturalnej pokrywają się $MTL$ , zdefiniowane jako

${\ Displaystyle \ top \ równoważnik \ bot \ strzałka w prawo \ bot}$

Dobrze sformułowane formuły MTL są definiowane jak zwykle w logice zdań . Aby uniknąć nawiasów, często stosuje się następującą kolejność pierwszeństwa:

• Spójniki jednoargumentowe (wiążą się najściślej)
• Spójniki binarne inne niż implikacja i równoważność
• Implikacja i równoważność (wiążą się najbardziej luźno)

Aksjomaty

System odliczeń w stylu Hilberta dla MTL został wprowadzony przez Estevę i Godo (2001). Jego jedyną regułą wyprowadzania jest modus ponens :

z ${\ Displaystyle A}$ i wyprowadzić ${\ Displaystyle B.}$${\ Displaystyle A \ rightarrow B}$

Oto jego schematy aksjomatów :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {ll} {\ rm {(MTL1)}} \ dwukropek i (A \ strzałka w prawo B) \ strzałka w prawo ((B \ strzałka w prawo C) \ strzałka w prawo (A \ strzałka w prawo C)) \\ {\rm {(MTL2)}}\colon &A\otimes B\rightarrow A\\{\rm {(MTL3)}}\colon &A\otimes B\rightarrow B\otimes A\\{\rm {(MTL4a) }}\colon &A\klin B\rightarrow A\\{\rm {(MTL4b)}}\colon &A\klin B\rightarrow B\klin A\\{\rm {(MTL4c)}}\colon &A\otimes (A\rightarrow B)\rightarrow A\klin B\\{\rm {(MTL5a)}}\dwukropek &(A\rightarrow (B\rightarrow C))\rightarrow (A\czasami B\rightarrow C)\\ {\rm {(MTL5b)}}\colon &(A\oraz B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow (B\rightarrow C))\\{\rm {(MTL6)}}\colon &(( A\rightarrow B)\rightarrow C)\rightarrow (((B\rightarrow A)\rightarrow C)\rightarrow C)\\{\rm {(MTL7)}}\colon &\bot \rightarrow A\end{array }}}$

podstawowej logiki rozmytej Hájka BL. Aksjomaty (MTL4a)–(MTL4c) zastępują aksjomat podzielności (BL4) z BL. Aksjomaty (MTL5a) i (MTL5b) wyrażają prawo rezyduacji, a aksjomat (MTL6) odpowiada warunkowi prelinearności. Wykazano, że aksjomaty (MTL2) i (MTL3) oryginalnego systemu aksjomatycznego są redundantne (Chvalovský, 2012) i (Cintula, 2005). Wszystkie pozostałe aksjomaty okazały się niezależne (Chvalovský, 2012).

Semantyka

Podobnie jak w innych logikach rozmytych z normą zdań t , semantyka algebraiczna jest głównie używana w MTL, z trzema głównymi klasami algebr , względem których logika jest kompletna :

• Semantyka ogólna , utworzona ze wszystkich algebr MTL - to znaczy wszystkich algebr, dla których logika jest rozsądna
• Semantyka liniowa , utworzona ze wszystkich liniowych algebr MTL - to znaczy wszystkich algebr MTL, których porządek sieci jest liniowy
• Semantyka standardowa , utworzona ze wszystkich standardowych algebr MTL - to znaczy wszystkich algebr MTL, których reduktem kratowym jest rzeczywisty przedział jednostkowy [0, 1] w zwykłym porządku; są jednoznacznie określone przez funkcję, która interpretuje silną koniunkcję, którą może być dowolna lewostronnie ciągła norma t

Semantyka ogólna

algebry MTL

Algebry, dla których logika MTL jest rozsądna, nazywane są algebrami MTL. Można je scharakteryzować jako przedliniowe przemienne ograniczone integralne kraty resztkowe. Bardziej szczegółowo, struktura algebraiczna $jeśli$ algebrą MTL,

• ${\ Displaystyle (L, \ klin, \ vee, 0,1)}$ jest ograniczoną siatką z górnym elementem 0 i dolnym elementem 1
• ${\ Displaystyle (L, \ ast, 1)}$ jest monoidem przemiennym
• ${\ Displaystyle \ ast}$$x$ ⇒ $\ Displaystyle \ Rightarrow}$$displaystyle z \ równoważnik x \ Strzałka w prawo y,}$ parę przylegającą to znaczy i tylko wtedy, gdy ${\$ gdzie ${\ Displaystyle \ leq}$ jest rzędem kraty ${\ Displaystyle (L, \ klin, \ vee)}$ dla wszystkich x , y i z w ( warunek resztkowy ) ${\ displaystyle L}$
• ${\ Displaystyle (x \ Strzałka w prawo y) \ vee (y \ Strzałka w prawo x) = 1}$ obowiązuje dla wszystkich x i y w L ( warunek przedliniowości )

Ważnymi przykładami algebr MTL są standardowe algebry MTL na rzeczywistym przedziale jednostek [0, 1]. Dalsze przykłady obejmują wszystkie algebry Boole'a , wszystkie algebry liniowe Heytinga (obie z $,$ wszystkie algebry MV , wszystkie BL itp. Ponieważ warunek resztkowy można równoważnie wyrazić , MTL-algebry tworzą odmianę .

Interpretacja logiki MTL w algebrach MTL

Spójniki MTL są interpretowane w algebrach MTL w następujący sposób:

• Silne połączenie przez operację monoidalną ${\ displaystyle \ ast}$
• Implikacja $)$ operację (która nazywa się resztą ${\ displaystyle \ ast$ }
• $i$ przez operacje kratowe ( zwykle oznaczane tymi samymi symbolami co spójniki, jeśli nie może dojść $pomyłki$
• Stałe prawdy zero (góra) i jeden (dół) przez stałe 0 i 1
• Spójnik równoważności jest interpretowany przez operację zdefiniowaną jako ${\ displaystyle \ Leftrightarrow}$

${\ Displaystyle x \ Strzałka w lewo y \ równoważnik (x \ Strzałka w prawo y) \ klin (y \ Strzałka w prawo x)}$

Ze względu na warunek nieliniowości ta definicja jest równoważna taki, który używa ${\ Displaystyle \ ast}$ zamiast ${\ Displaystyle \ klin,}$ więc

${\ Displaystyle x \ Strzałka w lewo y \ równoważnik (x \ Strzałka w prawo y) \ ast (y \ Strzałka w prawo x)}$

• Negacja jest interpretowana przez definiowalną operację ${\ Displaystyle -x \ równoważnik x \ Strzałka w prawo 0}$

Przy takiej interpretacji spójników każda ocena e _v zmiennych zdaniowych w L jednoznacznie rozciąga się na ocenę e wszystkich dobrze sformułowanych formuł MTL, przez następującą definicję indukcyjną (która uogólnia warunki prawdziwości Tarskiego ), dla dowolnych formuł A , B , i dowolna zmienna zdaniowa p :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {rcl} e (p) & = & e _ ​​{\ operatorname {v}} (p) \\ e (\ bot) & = & 0 \\ e (\ top )&=&1\\e(A\czasami B)&=&e(A)\ast e(B)\\e(A\strzałka w prawo B)&=&e(A)\Strzałka w prawo e(B)\\e (A\klin B)&=&e(A)\klin e(B)\\e(A\vee B)&=&e(A)\vee e(B)\\e(A\lewoprawa strzałka B)&= &e(A)\Strzałka w lewo e(B)\\e(\neg A)&=&e(A)\Strzałka w prawo 0\end{tablica}}}$

Nieformalnie wartość logiczna 1 reprezentuje pełną prawdę, a wartość logiczna 0 reprezentuje pełny fałsz; pośrednie wartości prawdy reprezentują pośrednie stopnie prawdy. Zatem formuła jest uważana za w pełni prawdziwą przy ocenie e , jeśli e ( A ) = 1. Mówi się, że formuła A jest ważna w algebrze MTL L , jeśli jest w pełni prawdziwa przy wszystkich ocenach w L , to znaczy, jeśli e ( A ) = 1 dla wszystkich ocen e w L . Niektóre formuły (np. p → p ) są ważne w dowolnej algebrze MTL; są to tak zwane tautologie MTL.

Pojęcie implikacji globalnej (lub: globalnej konsekwencji ) jest zdefiniowane dla MTL w następujący sposób: zestaw formuł Γ pociąga za sobą formułę A (lub: A jest globalną konsekwencją Γ) w symbolach ${\ Displaystyle \ Gamma \models A,}$ jeśli dla dowolnego obliczenia e w dowolnej algebrze MTL, gdy e ( B ) = 1 dla wszystkich wzorów B w Γ, to także e ( A ) = 1. Nieformalnie globalna relacja konsekwencji reprezentuje transmisję pełnej prawdy w dowolnej algebrze MTL wartości logicznych.

Ogólne twierdzenia o słuszności i zupełności

Logika MTL jest rozsądna i kompletna w odniesieniu do klasy wszystkich algebr MTL (Esteva i Godo, 2001):

Formuła jest dowodliwa w MTL wtedy i tylko wtedy, gdy jest ważna we wszystkich algebrach MTL.

Pojęcie algebry MTL jest w rzeczywistości tak zdefiniowane, że algebry MTL tworzą klasę wszystkich algebr, dla których logika MTL jest uzasadniona. Ponadto silne twierdzenie o kompletności posiada:

Formuła A jest globalną konsekwencją w MTL zbioru formuł Γ wtedy i tylko wtedy, gdy A można wyprowadzić z Γ w MTL.

Semantyka liniowa

Podobnie jak algebry dla innych logik rozmytych, algebry MTL mają następującą właściwość rozkładu liniowego pośredniego :

Każda algebra MTL jest podrzędnym iloczynem liniowo uporządkowanych algebr MTL.

( Iloczyn podrzędny jest podalgebrą iloczynu bezpośredniego , tak że wszystkie odwzorowania odwzorowań są surjekcyjne . Algebra MTL jest uporządkowana liniowo , jeśli jej porządek w sieci jest liniowy ).

W konsekwencji właściwości liniowego rozkładu pośredniego wszystkich algebr MTL, twierdzenie o zupełności w odniesieniu do algebr liniowych MTL (Esteva i Godo, 2001) zachodzi:

• Formuła jest dowodliwa w MTL wtedy i tylko wtedy, gdy jest ważna we wszystkich algebrach liniowych MTL.
• Formuła A jest wyprowadzalna w MTL ze zbioru formuł Γ wtedy i tylko wtedy, gdy A jest globalną konsekwencją we wszystkich liniowych algebrach MTL Γ.

Standardowa semantyka

Standardowe nazywane są tymi MTL-algebrami, których redukcją kratową jest rzeczywisty przedział jednostkowy [0, 1]. Są one jednoznacznie określone przez funkcję o wartościach rzeczywistych, która interpretuje silną koniunkcję, którą może być dowolna $lewostronna$ norma . Standardowa algebra MTL określona przez lewostronną normę t $jest$ oznaczana przez ${\ Displaystyle [0,1] _ {\ as}.}$ W ${\ Displaystyle [0,1] _ {\ ast},$$implikacja$ jest reprezentowana przez resztę koniunkcji i alternatywy odpowiednio przez minimum i maksimum, a stałe prawdy odpowiednio zero i przez liczby rzeczywiste 0 i 1.

Logika MTL jest kompletna w odniesieniu do standardowych algebr MTL; fakt ten wyraża standardowe twierdzenie o zupełności (Jenei i Montagna, 2002):

Formuła jest dowodliwa w MTL wtedy i tylko wtedy, gdy jest ważna we wszystkich standardowych algebrach MTL.

Ponieważ MTL jest kompletny w odniesieniu do standardowych algebr MTL, które są określone przez t-normy ciągłe lewostronnie, MTL jest często określane jako logika t-norm lewostronnych (podobnie jak BL jest logiką t-norm ciągłych lewostronnych ).

Bibliografia

• Hájek P., 1998, Metamatematyka logiki rozmytej . Dordrecht: Kluwer.
• Esteva F. i Godo L., 2001, „Monoidalna logika oparta na t-normach: w kierunku logiki t-norm ciągnących się w lewo”. Zbiory i systemy rozmyte 124 : 271–288.
• Jenei S. & Montagna F., 2002, „Dowód standardowej kompletności monooidalnej logiki MTL Estevy i Godo”. Studia Logica 70 : 184–192.
• Ono, H., 2003, „Logiki podstrukturalne i sieci resztkowe - wprowadzenie”. W FV Hendricks, J. Malinowski (red.): Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica, Trends in Logic 20 : 177–212.
• Cintula P., 2005, „Krótka notatka: O redundancji aksjomatu (A3) w BL i MTL”. Soft Computing 9 : 942.
• Cintula P., 2006, „Słabo implikatywne (rozmyte) logiki I: Podstawowe właściwości”. Archiwum logiki matematycznej 45 : 673–704.
• Chvalovský K., 2012, „ O niezależności aksjomatów w BL i MTL ”. Zbiory i systemy rozmyte 197 : 123–129, doi : 10.1016/j.fss.2011.10.018 .