Algebra MV

W algebrze abstrakcyjnej $displaystyle$ gałęzi czystej matematyki , algebra MV jest strukturą algebraiczną z operacją binarną , operacją jednoargumentową $i$ stałą $0}$ , spełniając pewne aksjomaty. algebry MV to semantyka algebraiczna logiki Łukasiewicza ; litery MV nawiązują do wielowartościowej logiki Łukasiewicza . Algebry MV pokrywają się z klasą ograniczonych algebr przemiennych BCK .

Definicje

Algebra MV jest $_$ algebraiczną _

• niepusty zbiór ${\ Displaystyle A,$ }
• operacja binarna ${\ Displaystyle \ oplus}$ na ${\ Displaystyle A,}$
• operacja jednoargumentowa ${\ Displaystyle \ lnot}$ na ${\ Displaystyle A,}$ i
• stała oznaczająca stały element ZA ${\ Displaystyle A$$,$

który spełnia następujące tożsamości :

• ${\ Displaystyle (x \ oplus y) \ oplus z = x \ oplus (y \ oplus z)}$
• ${\ Displaystyle x \ oplus 0 = x,}$
• ${\ Displaystyle x \ oplus y = y \ oplus x,}$
• ${\ Displaystyle \ lnot \ lnot x = x,}$
• ${\ Displaystyle x \ oplus \ lnot 0 = \ lnot 0,}$ i
• ${\ Displaystyle \ lnot (\ lnot x \ oplus y) \ oplus y = \ lnot (\ lnot y \ oplus x) \ oplus x.}$

Na $_$ pierwszych trzech _ Będąc zdefiniowanymi przez tożsamości, algebry MV tworzą różnorodne algebry. Różnorodność algebr MV jest podrozmaitością różnorodności algebr BL i zawiera wszystkie algebry Boole'a .

MV-algebrę można równoważnie zdefiniować ( Hájek 1998) jako przedliniową przemienną ograniczoną integralną resztkową kratę ${\ Displaystyle \ langle L, \ klin, \ vee, \ otimes, \rightarrow ,0,1\rangle }$ spełniające dodatkową tożsamość ${\ Displaystyle x \ vee y = (x \ strzałka w prawo y) \ strzałka w prawo y.}$

Przykłady algebr MV

Prostym przykładem liczbowym jest $+ y,1)}$ ⊕ $Displaystyle$$oplus y = \$ i ${\ Displaystyle \ lnot x = 1-x.}$ W matematycznej logice rozmytej ta algebra MV nazywana jest standardową algebrą MV , ponieważ tworzy standardową semantykę o wartościach rzeczywistych logiki Łukasiewicza .

trivial Trywialna algebra MV $lnot$$\lnot 0=0.$ { \

Dwuelementowa algebra MV jest w rzeczywistości dwuelementową algebrą Boole'a $\ Displaystyle$ przy czym $\ oplus}$ pokrywa się z dysjunkcją Boole'a $lnot }$$Displaystyle$ z negacją logiczną. W $skutkuje$ dodanie aksjomatu do aksjomatów definiujących algebrę MV

Jeśli zamiast tego dodanym aksjomatem jest ${\ Displaystyle x \ oplus x \ oplus x = x \ oplus x}$ , to aksjomaty definiują algebrę MV ₃ odpowiadającą trójwartościowej logice Łukasiewicza Ł ₃ . Inne skończone algebry MV uporządkowane liniowo są uzyskiwane przez ograniczenie $równoodległych$ i operacji standardowej algebry MV do zbioru liczb rzeczywistych z przedziału od 0 do 1 (oba w zestawie), to znaczy zbioru $}$${\ Displaystyle \ {0,1 / (n-1), 2 / (n-1), \ kropki, 1 \}$$\ lnot}$ , który jest zamknięty w operacjach i $displaystyle$ standardowej algebry MV; algebry te są zwykle oznaczane jako MV _n .

Innym ważnym przykładem jest MV-algebra Changa , składająca się tylko z nieskończenie małych (z typem rzędu ω) i ich współnieskończenie małych.

Chang skonstruował również algebrę MV z dowolnej, całkowicie uporządkowanej grupy abelowej G , ustalając dodatni element u i definiując odcinek [0, u ] jako { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u }, co staje się algebrą MV z x ⊕ y = min( u , x + y ) i ¬ x = u − x . Ponadto Chang wykazał, że każda liniowo uporządkowana algebra MV jest izomorficzna z algebrą MV zbudowaną w ten sposób z grupy.

Daniele Mundici rozszerzył powyższą konstrukcję na abelowe grupy uporządkowane w sieci . Jeśli G jest taką grupą o silnej (rzędowej) jednostce u , to „przedział jednostkowy” { x ∈ G | 0 ≤ x ≤ u } może być wyposażone w ¬ x = u − x , x ⊕ y = u ∧ _G (x + y), oraz x ⊗ y = 0 ∨ _G ( x + y − u ). Ta konstrukcja ustanawia kategoryczną równoważność między grupami abelowymi uporządkowanymi w sieci z silną jednostką i algebrami MV.

Algebra efektów , która jest uporządkowana w sieci i ma właściwość dekompozycji Riesza, jest algebrą MV. I odwrotnie, każda algebra MV jest algebrą efektów uporządkowaną w sieci z właściwością rozkładu Riesza.

Związek z logiką Łukasiewicza

CC Chang opracował algebry MV do badania logiki wielowartościowej , wprowadzone przez Jana Łukasiewicza w 1920 r. W szczególności algebry MV tworzą algebraiczną semantykę logiki Łukasiewicza , jak opisano poniżej.

Biorąc pod uwagę algebrę MV A , ocena A jest homomorfizmem z algebry formuł zdań (w języku składającym się z ${\ Displaystyle \ oplus, \ lnot,}$ i 0) na A . Formuły odwzorowane na 1 (to znaczy na $\lnot$0) for all A-valuations are called A-tautologies . Jeśli zastosuje się standardową MV-algebrę nad [0,1], to zbiór wszystkich [0,1]-tautologii określa tzw. logikę Łukasiewicza o nieskończoności .

Twierdzenie Changa (1958, 1959) o kompletności stwierdza, że ​​każde równanie algebry MV, które zachodzi w standardowej algebrze MV w przedziale [0,1], będzie obowiązywać w każdej algebrze MV. Algebraicznie oznacza to, że standardowa algebra MV generuje różnorodność wszystkich algebr MV. Równoważnie, twierdzenie Changa o zupełności mówi, że algebry MV charakteryzują nieskończenie wartościową logikę Łukasiewicza , zdefiniowaną jako zbiór [0,1]-tautologii.

Sposób, w jaki [0,1]-algebra MV charakteryzuje wszystkie możliwe algebry MV, odpowiada dobrze znanemu faktowi, że tożsamości utrzymujące się w dwuelementowej algebrze Boole'a zachowują się we wszystkich możliwych algebrach Boole'a. Co więcej, algebry MV charakteryzują logikę Łukasiewicza o wartościach nieskończonych w sposób analogiczny do sposobu, w jaki algebry Boole'a charakteryzują klasyczną logikę dwuwartościową (patrz algebra Lindenbauma – Tarskiego ).

W 1984 roku Font, Rodriguez i Torrens wprowadzili algebrę Wajsberga jako alternatywny model dla nieskończonej logiki Łukasiewicza. Algebry Wajsberga i algebry MV są równoważne terminom.

MV _n -algebry

₀ W latach czterdziestych Grigore Moisil przedstawił swoje algebry Łukasiewicza-Moisila (LM _n -algebry) w nadziei na podanie semantyki algebraicznej dla (skończenie) n -wartościowej logiki Łukasiewicza . Jednak w 1956 roku Alan Rose odkrył, że dla n ≥ 5 algebra Łukasiewicza-Moisila nie modeluje logiki n -wartościowej Łukasiewicza . Chociaż CC Chang opublikował swoją algebrę MV w 1958 roku, jest to wierny model tylko dla wartości ℵ (nieskończenie wielu wartości) Logika Łukasiewicza-Tarskiego . Dla aksjomatycznie bardziej skomplikowanych (skończenie) n -wartościowych logik Łukasiewicza odpowiednie algebry zostały opublikowane w 1977 r. przez Revaza Grigolię i nazwane MV _n -algebrami. MV _n -algebry są podklasą LM _n -algebr; włączenie jest ścisłe dla n ≥ 5.

₀ MV _n są algebrami MV, które spełniają pewne dodatkowe aksjomaty, podobnie jak logiki Łukasiewicza o wartościach n mają dodatkowe aksjomaty dodane do logiki o wartościach ℵ.

W 1982 roku Roberto Cignoli opublikował kilka dodatkowych ograniczeń, które dodane do _n -algebr LM dają właściwe modele dla n -wartościowej logiki Łukasiewicza; Cignoli nazwał swoje odkrycie właściwymi n-wartościowymi algebrami Łukasiewicza . _{n -algebry} LM , które są również _{n -algebrami} MV, są właśnie właściwymi n- algebrami Łukasiewicza Cignoliego .

Związek z analizą funkcjonalną

Daniele Mundici powiązał algebry MV z algebrami C * w przybliżeniu skończonymi wymiarami, ustanawiając bijekcyjną zgodność między wszystkimi klasami izomorfizmu C * algebr w przybliżeniu skończenie wymiarowych z grupą wymiarową uporządkowaną w sieci i wszystkimi klasami izomorfizmu policzalnych algebr MV. Niektóre przypadki tej korespondencji obejmują:

Przeliczalna algebra MV	w przybliżeniu skończenie wymiarowa C*-algebra
{0, 1}	ℂ
{0, 1/ n , ..., 1 }	M n (ℂ), tj. n × n macierzy zespolonych
skończone	skończenie wymiarowy
logiczna	przemienny

W oprogramowaniu

Dalsze informacje: Programowanie logiki wielosprzężonej

Istnieje wiele frameworków implementujących logikę rozmytą (typu II), a większość z nich implementuje tak zwaną logikę wielosprzężoną . To nic innego jak implementacja algebry MV.

• Chang, CC (1958) „Algebraiczna analiza logiki wielowartościowej”, Transactions of the American Mathematical Society 88 : 476–490.
• ------ (1959) „Nowy dowód kompletności aksjomatów Łukasiewicza”, Transactions of the American Mathematical Society 88 : 74–80.
• Cignoli, RLO, D'Ottaviano, IML , Mundici, D. (2000) Algebraiczne podstawy rozumowania wielowartościowego . Kluwer.
• Di Nola A., Lettieri A. (1993) „Charakterystyka równań wszystkich odmian algebr MV”, Journal of Algebra 221 : 463–474 doi : 10.1006 / jabr.1999.7900 .
• Hájek, Petr (1998) Metamatematyka logiki rozmytej . Kluwer.
• Mundici D.: Interpretacja algebr AF C* w rachunku zdaniowym Łukasiewicza. J. Funkcja. Analny. 65, 15–63 (1986) do : 10.1016/0022-1236(86)90015-7

Dalsza lektura

• Daniele Mundici, MV-ALGEBRAS. Krótki samouczek
•   D. Mundici (2011). Zaawansowany rachunek Łukasiewicza i algebry MV . Skoczek. ISBN 978-94-007-0839-6 .
• Mundici, D. C * -algebry logiki trójwartościowej. Logic Colloquium '88, Proceedings of the Colloquium, które odbyło się w Padwie 61–77 (1989). doi : 10.1016/s0049-237x(08)70262-3
• Cabrer, LM i Mundici, D. Twierdzenie Stone'a-Weierstrassa dla algebr MV i jednostkowych grup ℓ. Dziennik logiki i obliczeń (2014). doi : 10.1093/logcom/exu023
• Olivia Caramello , Anna Carla Russo (2014) Równoważność Mority między algebrami MV i abelowymi grupami ℓ z silną jednostką

Linki zewnętrzne

• Stanford Encyclopedia of Philosophy : „ Logika wielowartościowa ” - autorstwa Siegfrieda Gottwalda .