Algebra efektów

Algebry efektów to algebry cząstkowe , które abstrahują (częściowe) algebraiczne właściwości zdarzeń, które można zaobserwować w mechanice kwantowej . Struktury równoważne algebrom efektów zostały wprowadzone przez trzy różne grupy badawcze zajmujące się fizyką teoretyczną lub matematyką pod koniec lat 80. i na początku lat 90. XX wieku. Od tego czasu ich właściwości matematyczne oraz znaczenie fizyczne i obliczeniowe były badane przez naukowców zajmujących się fizyką teoretyczną , matematyką i informatyką .

Historia

W 1989 roku Giuntini i Greuling wprowadzili struktury do badania właściwości nieostrych , czyli tych zdarzeń kwantowych, których prawdopodobieństwo wystąpienia mieści się w przedziale od zera do jednego (a zatem nie jest to zdarzenie albo-albo). W 1994 roku Chovanec i Kôpka wprowadzili D-pozyty jako pozycje z częściowo określoną operacją różnicową . W tym samym roku opublikowano artykuł autorstwa Benneta i Foulisa Efekt algebry i nieostra logika kwantowa . Chociaż to właśnie w tym ostatnim artykule po raz pierwszy użyto terminu algebra efektów , wykazano, że wszystkie trzy struktury są równoważne. Dowód izomorfizmu kategorii D-pozytów i algebr efektów podaje np. Dvurecenskij i Pulmannova.

Motywacja

Podejście operacyjne do mechaniki kwantowej przyjmuje zbiór obserwowalnych (eksperymentalnych) wyników jako konstytutywne pojęcie układu fizycznego. Oznacza to, że system fizyczny jest postrzegany jako zbiór zdarzeń, które mogą wystąpić i tym samym mieć wymierny wpływ na rzeczywistość. Takie zdarzenia nazywane są efektami . Ta perspektywa nakłada już pewne ograniczenia na strukturę matematyczną opisującą system: musimy być w stanie powiązać prawdopodobieństwo z każdym efektem.

W formalizmie przestrzeni Hilberta efekty odpowiadają dodatnim, półokreślonym samosprzężonym operatorom, które leżą poniżej operatora tożsamości w następującym porządku częściowym: ${\ Displaystyle A \ równoważnik B}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle BA}$ jest dodatnio półokreślony. Warunek bycia dodatnim półokreślonym gwarantuje, że wartości oczekiwane są nieujemne, a bycie poniżej operatora tożsamości daje prawdopodobieństwa. Teraz możemy zdefiniować dwie operacje na efektach przestrzeni Hilberta: ${\ Displaystyle A': = IA}$ i ${\ displaystyle A + B}$ , jeśli ${\ displaystyle A + B \ równoważnik I}$$,$ oznacza operator tożsamości. Zauważ, że $jest$$półokreślony$ i poniżej $ponieważ$ jest zawsze zdefiniowany. Można myśleć o tym ${$ o zaprzeczeniu $\ displaystyle A}$ . Chociaż $półokreślony , nie$ zdefiniowany dla wszystkich par: musimy ograniczyć dziedzinę definicji dla tych par efektów, których suma pozostaje poniżej Takie pary nazywane są ortogonalnymi ; ortogonalność odzwierciedla równoczesną mierzalność obserwowalnych.

Definicja

Algebra efektów to algebra $displaystyle ': E \ rightarrow E}$ składająca się ze zbioru , stałych i $\ Displaystyle 1}$${$$w$ , całkowitej operacji $jednoargumentowej$$′$ , relacja binarna ${\ Displaystyle \ bot \ subseteq E \ razy E}$ i operacja binarna ${\ Displaystyle \ oplus: \ bot \ rightarrow E }$ , tak że dla wszystkich obowiązują następujące ${\ Displaystyle a, b, c \ in E}$ :

• przemienność : jeśli za ${\ Displaystyle a \ perp b}$ , to ${\ Displaystyle b \ perp a}$ za $\ Displaystyle a \ oplus b = b \ oplus a$ }
• asocjatywność : jeśli i ${\ Displaystyle a \ perp b}$ i ${\ Displaystyle (a \ oplus b) \ perp c}$ , to ${\ Displaystyle b \ perp c}$ i ${\ Displaystyle a \ perp (b \ oplus c)}$ jak również ${\ Displaystyle (a \ oplus b) \ oplus c =a\dodatek (b\dodatek c),}$
• ortosuplementacja : ${\ Displaystyle a \ sprawca a'}$ i ${\ Displaystyle a \ oplus a' = 1}$ i jeśli ${\ Displaystyle a \ sprawca b}$ tak, że ${\ Displaystyle a \ oplus b = 1}$ , wtedy ${\ Displaystyle b = a'}$ ,
• ${\ displaystyle a = 0$$za$ prawo : jeśli to }

Operacja $}$ nazywana jest ortosuplementacją a $ortosuplementacją$ za { $displaystyle$ . Dziedzina definicji ${\ Displaystyle \ bot}$${\ Displaystyle a, b \ in E$ { $\$$Displaystyle \ oplus}$ nazywa się relacją ortogonalności na i nazywa się ortogonalny wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle a \ perp b}$ . Operacja jest określana jako $lub$ ortogonalna po prostu suma .

Nieruchomości

$do {\ Displaystyle a$ algebry efektów można wykazać, co następuje $\$$perp b, c}: za , b {\ Displaystyle a, b} i do$ displaystyle }

• ${\ Displaystyle a'' = a}$ ,
• ${\ Displaystyle 0' = 1}$ ,
• ${\ Displaystyle a \ sprawca 0}$ i ${\ Displaystyle a \ oplus 0 = a$ }
• $\ Displaystyle a \ oplus b = 0}$ implikuje ${\ Displaystyle a = b = 0}$ ,
• $do {\ Displaystyle a \ oplus b = a \ oplus c}$ implikuje $Displaystyle b = c}$ .

Zamów właściwości

$Displaystyle$ efektów jest częściowo uporządkowana w następujący sposób: $a \ leq b}$ wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje za ${\ displaystyle c \ in E}$ takie, że ${ \ Displaystyle a \ sprawca c}$ i $\ Displaystyle a \ oplus c = b}$ . To częściowe zamówienie spełnia:

• ${\ Displaystyle a \ równoważnik b}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $b'\ równoważnik a'}$ Displaystyle
• ${\ Displaystyle a \ sprawca b}$ wtedy i tylko wtedy, gdy ${\ Displaystyle a \ leq b'}$ .

Przykłady

Ortoalgebry

Jeśli ostatni aksjomat w definicji algebry efektów zostanie zastąpiony przez:

• jeśli ${\ Displaystyle a \ sprawca a}$ , to ${\ Displaystyle a = 0}$ ,

otrzymujemy definicję ortoalgebry . Ponieważ ten aksjomat implikuje ostatni aksjomat dla algebr efektów (w obecności innych aksjomatów), każda ortoalgebra jest algebrą efektów. Przykłady ortoalgebr (a więc algebr efektu) obejmują:

• Algebry Boole'a z negacją jako ortosuplementacją i łączeniem ograniczonym do elementów rozłącznych jako sumą,
• pozycje ortomodularne,
• kraty ortomodularne ,
• σ -algebry z dopełnieniem jako ortosuplementacją i sumą ograniczoną do elementów rozłącznych jako sumą,
• Projekcje przestrzenne Hilberta z ortosuplementacją i sumą określoną jak dla efektów przestrzennych Hilberta.

Algebry MV

Każda algebra MV jest algebrą efektów (ale ogólnie nie ortoalgebrą) z operacją jednoargumentową jako ortosuplementacją i operacją binarną ograniczoną do elementów ortogonalnych jako sumą. $Displaystyle a'\ oplus b'=$ kontekście algebr MV ortogonalność pary elementów $′$ definiowana jako za } Zbiega się to z ortogonalnością, gdy algebra MV jest postrzegana jako algebra efektów.

$_$ MV jednostkowy z $max$ za ${\ Displaystyle a \ oplus b = \ max (a + b, 1)}$ . Postrzegane jako algebra efektów, $\ oplus b$ jednostkowego są ortogonalne wtedy i tylko wtedy, gdy $+$ następnie .

Zbiór efektów jednostkowej C*-algebry

Nieznacznie uogólniając motywujący przykład efektów przestrzennych Hilberta, weźmy zestaw efektów na algebrę jednostkową $C$ * -algebry czyli elementy ${\ Displaystyle a \ w {\ mathfrak {A}}}$ satysfakcjonujące ${\ Displaystyle 0 \ równoważnik a \ równoważnik 1}$ . Operacja dodawania na ${\ Displaystyle a, b \ w [0,1] _ {\ mathfrak {A}}}$ jest zdefiniowana, gdy ${\ Displaystyle a + b \ leq 1}$ , a następnie ${\ Displaystyle a \ oplus b = a + b}$ . Ortosuplementację podaje się za ${\ Displaystyle a'=1-a$ .

Rodzaje algebr efektów

Zbadano różne rodzaje algebr efektów.

• Algebry $,$$które$ jako grupy abelowej .
• Algebry z efektem wypukłym $mają$ działanie rzeczywistego na Twierdzenie Guddera o reprezentacji pokazuje, że wszystkie one powstają jako algebra efektów interwałowych rzeczywistej uporządkowanej przestrzeni wektorowej.
• Algebry z efektem kratowym, w których struktura porządku tworzy siatkę.
• Algebry efektów spełniające własność dekompozycji Riesza : algebra MV jest dokładnie algebrą efektu kratowego z właściwością dekompozycji Riesza.
• Algebry efektów sekwencyjnych mają dodatkową sekwencyjną operację produktową, która modeluje iloczyn Lüdersa na C*-algebrze .
• Monoidy efektów to monoidy z kategorii algebr efektów. Są to algebry efektów, które mają dodatkową asocjacyjną operację mnożenia rozdzielczo-jednostkowego.

Morfizmy

Morfizm z algebry efektów $jest$ algebry efektów określony przez funkcję taką, że $fa$ ( ${\ Displaystyle f (1) = 1}$$Displaystyle f: E \ rightarrow F$ i dla wszystkich ${\ Displaystyle a, b \ in E}$

${\ Displaystyle a \ perp b}$ implikuje ${\ Displaystyle f (a) \ perp f (b)}$ i ${\ Displaystyle f (a \ oplus b) = f (a) \ oplus f (b)}$ .

Wynika z tego, że morfizmy zachowują ortosuplementy.

Wyposażone w takie morfizmy algebry efektów tworzą kategorię , która ma następujące właściwości:

• kategoria algebr Boole'a jest pełną podkategorią kategorii algebr efektów,
• każda algebra efektów jest współgranicą skończonych algebr Boole'a.

Pozytywne środki z korzyścią dla operatora

Jako przykład wykorzystania algebr efektów do wyrażania pojęć w teorii kwantowej, definicję miary o wartościach operatora dodatniego można przedstawić w kategoriach morfizmów algebry efektów w następujący sposób. Niech $będzie$ algebrą $-algebrą$$.$ i _ _ _ Dodatnia $zachowuje$ operatora ( efektem morfizmu algebry, połączenia policzalnych łańcuchów POVM jest miarą o wartości projekcji dokładnie wtedy $,$ gdy jej obraz jest zawarty w ortoalgebrze rzutów w przestrzeni .

Linki zewnętrzne

• Algebra efektów w laboratorium n