algebry BCK

W matematyce algebry BCI i BCK są strukturami algebraicznymi w algebrze uniwersalnej , które zostały wprowadzone przez Y. Imai, K. Iséki i S. Tanaka w 1966 r., Opisując fragmenty rachunku zdań obejmujące implikację, znane jako logiki BCI i BCK.

Definicja

algebry BCI

Algebra (w sensie algebry uniwersalnej) ${\ Displaystyle \ lewo (X; \ ast, 0 \ prawej)}$ typu ${\ Displaystyle \ lewo (2,0 \ prawo) }$$algebrą$ się BCI jeśli spełnia (Nieformalnie możemy czytać ${\ displaystyle 0}$ jako „prawdę” i jako „ ${\ displaystyle y}$$implikuje$$displaystyle x}$ .)

BCI-1

${\ Displaystyle \ lewo (\ lewo (x \ as y \ prawo) \ ast \ lewo (x \ as z \ prawo) ) \ prawo) \ ast \ lewo (z \ ast y \ prawo) = 0}$

BCI-2

${\ Displaystyle \ lewo (x \ ast \ lewo (x \ ast y \ prawej) \ prawej) \ ast y = 0}$

BCI-3

${\ Displaystyle x \ ast x = 0}$

BCI-4

${\ Displaystyle x \ ast y = 0 \ ziemia y \ ast x = 0 \ implikuje x = y}$

BCI-5

${\ Displaystyle x \ ast 0 = 0 \ implikuje x = 0}$

algebry BCK

Algebra BCI nazywana $jest$ BCK jeśli

BCK-1

${\ Displaystyle \ forall x \ w X: 0 \ ast x = 0.}$

Porządek częściowy można zatem zdefiniować jako x ≤ y iff x * y = 0.

O algebrze BCK mówi się, że jest przemienna , jeśli spełnia:

${\ Displaystyle x \ ast (x \ ast y) = y \ ast (y \ ast x)}$

W przemiennej algebrze BCK x * ( x * y ) = x ∧ y jest największą dolną granicą x i y pod rzędem częściowym ≤.

Mówi się, że algebra BCK jest ograniczona, jeśli ma największy element, zwykle oznaczony przez 1. W ograniczonej przemiennej algebrze BCK najmniejsza górna granica dwóch elementów spełnia x ∨ y = 1 * ((1 * x ) ∧ ( 1 * y )); co czyni ją siatką rozdzielczą .

Przykłady

Każda grupa abelowa jest algebrą BCI, z * zdefiniowanym jako odejmowanie grupy i 0 zdefiniowanym jako tożsamość grupy.

Podzbiory zbioru tworzą algebrę BCK, gdzie A*B to różnica A \B (elementy w A, ale nie w B), a 0 to zbiór pusty .

Algebra Boole'a jest algebrą BCK, jeśli A * B jest zdefiniowane jako A ∧¬ B ( A nie implikuje B ).

Ograniczone przemienne algebry BCK są właśnie algebrami MV .

•    Angell, RB (1970), „Przegląd kilku artykułów na temat BCI, BCK-Algebry”, The Journal of Symbolic Logic , 35 (3): 465–466, doi : 10.2307/2270728 , ISSN 0022-4812 , JSTOR 2270728
•   Arai, Yoshinari; Iséki, Kiyoshi; Tanaka, Shôtarô (1966), „Charakterystyki BCI, BCK-algebr” , Proc. Japonia Acad. , 42 (2): 105–107, doi : 10.3792/pja/1195522126 , MR 0202572
• Hoo, CS (2001) [1994], „Algebra BCH” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Hoo, CS (2001) [1994], „Algebra BCI” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Hoo, CS (2001) [1994], „Algebra BCK” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
• Iséki, K.; Tanaka, S. (1978), „Wprowadzenie do teorii algebr BCK”, Math. Japonia. , 23 : 1–26
• Y. Huang, BCI-algebra , Science Press, Pekin, 2006.
• Imai, Y.; Iséki, K (1966), „O systemach aksjomatów rachunku zdań, XIV” , Proc. Japonia Acad. Ser. A, matematyka. nauka , 42 : 19–22, doi : 10.3792/pja/1195522169
• Iséki, K. (1966), „Algebra związana z rachunkiem zdań” , Proc. Japonia Acad. Ser. A, matematyka. nauka , 42 : 26–29, doi : 10.3792/pja/1195522171