BL (logika)

W logice matematycznej , podstawowa logika rozmyta (lub w skrócie BL ), logika ciągłych t-norm , jest jedną z t-normowych logik rozmytych . Należy do szerszej klasy logiki podstrukturalnej lub logiki resztkowych krat ; rozszerza logikę MTL wszystkich lewostronnych t-norm.

Składnia

Język

Język logiki zdaniowej BL składa się z przeliczalnie wielu zmiennych zdaniowych i następujących spójników logicznych pierwotnych :

• implikacja ${\ displaystyle \ rightarrow}$ ( binarnie )
• Silny spójnik $binarny$ ). Znak & jest bardziej $zgodna$ notacją oznaczającą silną koniunkcję w literaturze dotyczącej logiki rozmytej, podczas gdy notacja jest z tradycją logiki podstrukturalnej.
• Dół ${\ Displaystyle \ bot}$ ( zero - stała zdaniowa ); ${\ displaystyle 0}$$lub$ są powszechnymi znakami alternatywnymi, a zero jest wspólną alternatywną nazwą stałej zdaniowej (ponieważ stałe dno i zero logiki podstrukturalnej pokrywają się w MTL)

Poniżej przedstawiono najczęściej definiowane spójniki logiczne:

• Słaby spójnik $($ ), zwany także spójnikiem kratowym (jak zawsze jest realizowany przez operację kratową spotkania w semantyce algebraicznej). W przeciwieństwie do MTL i słabszych logik podstrukturalnych, słabe połączenie można zdefiniować w BL jako

${\ Displaystyle A \ klin B \ równoważnik A \ otimes (A \ rightarrow B)}$

• Negacja ${\ Displaystyle \ neg }$ ( jednoargumentowy ), zdefiniowany jako

${\ Displaystyle \ neg A \ równoważny A \ rightarrow \ bot}$

• Równoważność ${\ Displaystyle \ leftrightarrow}$ (binarny), zdefiniowany jako

${\ Displaystyle A \ strzałka w lewo B \ równoważnik (A \ strzałka w prawo B) \ klin (B \ strzałka w prawo A)}$

Podobnie jak w MTL, definicja jest równoważna ${\ Displaystyle (A \ rightarrow B) \ otimes (B \ rightarrow A).}$

• (Słaba) dysjunkcja ${\ Displaystyle \ vee}$ (binarna), zwana także dysjunkcją kratową (ponieważ jest zawsze realizowana przez operację łączenia w sieci w semantyce algebraicznej), zdefiniowane jako

${\ Displaystyle A \ vee B \ równoważnik ((A \ strzałka w prawo B) \ strzałka w prawo B) \ klin ((B \ rightarrow A) \ rightarrow A)}$

• Top ${\ Displaystyle \ top}$ (nieważny), zwany także jednym i oznaczony przez ${\ Displaystyle 1}$ lub ${\ Displaystyle {\ overline {1} }}$ (ponieważ stałe góra i zero logiki podstrukturalnej pokrywają się w MTL), zdefiniowane jako

${\ Displaystyle \ top \ równoważnik \ bot \ strzałka w prawo \ bot}$

Dobrze sformułowane formuły BL są zdefiniowane jak zwykle w logice zdań . Aby uniknąć nawiasów, często stosuje się następującą kolejność pierwszeństwa:

• Spójniki jednoargumentowe (wiążą się najściślej)
• Spójniki binarne inne niż implikacja i równoważność
• Implikacja i równoważność (wiążą się najbardziej luźno)

Aksjomaty

System dedukcji w stylu Hilberta dla BL został wprowadzony przez Petra Hájka (1998). Jego jedyną regułą wyprowadzania jest modus ponens :

z ${\ Displaystyle A}$ i wyprowadzić ${\ Displaystyle B.}$${\ Displaystyle A \ rightarrow B}$

Oto jego schematy aksjomatów :

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {tablica} {ll} {\ rm {(BL1)}} \ dwukropek i (A \ strzałka w prawo B) \ strzałka w prawo ((B \ strzałka w prawo C) \ strzałka w prawo (A \ rightarrow C))\\{\rm {(BL2)}}\colon &A\oraz B\rightarrow A\\{\rm {(BL3)}}\colon &A\oraz B\rightarrow B\oraz A\\{ \rm {(BL4)}}\colon &A\otimes (A\rightarrow B)\rightarrow B\otimes (B\rightarrow A)\\{\rm {(BL5a)}}\colon &(A\rightarrow (B \rightarrow C))\rightarrow (A\czasami B\rightarrow C)\\{\rm {(BL5b)}}\colon &(A\czasami B\rightarrow C)\rightarrow (A\rightarrow (B\rightarrow C) ))\\{\rm {(BL6)}}\dwukropek &((A\rightarrow B)\rightarrow C)\rightarrow (((B\rightarrow A)\rightarrow C)\rightarrow C)\\{\rm {(BL7)}}\dwukropek &\bot \rightarrow A\end{tablica}}}$

Wykazano, że aksjomaty (BL2) i (BL3) pierwotnego systemu aksjomatycznego są redundantne (Chvalovský, 2012) i (Cintula, 2005). Wszystkie pozostałe aksjomaty okazały się niezależne (Chvalovský, 2012).

Semantyka

Podobnie jak w innych logikach rozmytych zdaniowych t-normowych , semantyka algebraiczna jest używana głównie dla BL, z trzema głównymi klasami algebr , względem których logika jest kompletna :

• Semantyka ogólna , utworzona ze wszystkich algebr BL - to znaczy wszystkich algebr, dla których logika jest rozsądna
• Semantyka liniowa , utworzona ze wszystkich liniowych algebr BL - to znaczy wszystkich algebr BL, których porządek sieci jest liniowy
• Semantyka standardowa , utworzona ze wszystkich standardowych algebr BL - to znaczy wszystkich algebr BL, których reduktem kratowym jest rzeczywisty przedział jednostkowy [0, 1] w zwykłym porządku; są jednoznacznie określone przez funkcję, która interpretuje silną koniunkcję, którą może być dowolna ciągła norma t .

Bibliografia

• Hájek P., 1998, Metamatematyka logiki rozmytej . Dordrecht: Kluwer.
• Ono, H., 2003, „Logiki podstrukturalne i kraty resztkowe - wprowadzenie”. W FV Hendricks, J. Malinowski (red.): Trends in Logic: 50 Years of Studia Logica, Trends in Logic 20 : 177–212.
• Cintula P., 2005, „Krótka notatka: O redundancji aksjomatu (A3) w BL i MTL”. Soft Computing 9 : 942.
• Chvalovský K., 2012, „ O niezależności aksjomatów w BL i MTL ”. Zbiory i systemy rozmyte 197 : 123–129, doi : 10.1016/j.fss.2011.10.018 .