Konstrukcja t-norm

W matematyce t-normy są szczególnym rodzajem operacji binarnych na rzeczywistym przedziale jednostkowym [0, 1]. Różne konstrukcje t-norm , czy to przez jawną definicję, czy przez transformację z wcześniej znanych funkcji, dostarczają obfitości przykładów i klas t-norm. Jest to ważne np. przy znajdowaniu kontrprzykładów lub dostarczaniu t-norm o określonych właściwościach do wykorzystania w inżynierskich zastosowaniach logiki rozmytej . Główne sposoby konstruowania t-norm obejmują użycie generatorów , definiowanie klas parametrycznych t-norm, obrotów lub sum porządkowych t-norm.

Odpowiednie tło można znaleźć w artykule na temat t-norm .

Generatory t-norm

Metoda konstruowania t-norm przez generatory polega na wykorzystaniu funkcji jednoargumentowej ( generator ) do przekształcenia jakiejś znanej funkcji binarnej (najczęściej dodawania lub mnożenia) w t-normę.

Aby umożliwić stosowanie generatorów niebijektywnych, które nie mają funkcji odwrotnej , stosuje się następujące pojęcie funkcji pseudoodwrotnej :

  Niech f : [ a , b ] → [ c , d ] będzie funkcją monotoniczną między dwoma domkniętymi podprzedziałami rozciągniętej prostej rzeczywistej . Funkcja pseudoodwrotna do f jest funkcją f ⁽⁻¹⁾ : [ c , re ] → [ a , b ] zdefiniowaną jako

${\ Displaystyle f ^ {(-1)} (y) = {\ rozpocząć {przypadki} \ sup \ {x \ w [a, b] \ mid f (x) <y \} i {\ tekst {dla} }f{\text{ niemalejący}}\\\sup\{x\in [a,b]\mid f(x)>y\}&{\text{for }}f{\text{ nie- rośnie.}}\end{przypadki}}}$

Generatory addytywne

Konstruowanie t-norm przez generatory addytywne opiera się na następującym twierdzeniu:

Niech f : [0, 1] → [0, +∞] będzie ściśle malejącą funkcją taką, że f (1) = 0 i f ( x ) + f ( y ) mieści się w przedziale f lub jest równe f (0 ⁺ ) lub +∞ dla wszystkich x , y w [0, 1]. Wtedy funkcja T : [0, 1] ² → [0, 1] zdefiniowana jako

  T ( x , y ) = f ^(-1) ( f ( x ) + f ( y ))

jest t-normą.

Alternatywnie, można uniknąć używania pojęcia funkcji pseudo-odwrotnej, mając ${\ Displaystyle T (x ,y)=f^{-1}\left(\min \left(f(0^{+}),f(x)+f(y)\right)\right)}$ . Odpowiednią resztę można następnie wyrazić jako ${\ Displaystyle (x \ Strzałka w prawo y) = f ^ {- 1} \ lewo (\max \left(0,f(y)-f(x)\right)\right)}$ . A biresiduum jako ${\ Displaystyle (x \ Leftrightarrow y) = f ^ {- 1} \ lewo (\ lewo | f ( x)-f(y)\prawo|\prawo)}$ .

Jeśli t-normę T wynika z tej ostatniej konstrukcji przez funkcję f , która jest prawostronnie ciągła w 0, to f nazywamy generatorem addytywnym T .

Przykłady:

• Funkcja f ( x ) = 1 – x dla x w [0, 1] jest addytywnym generatorem t-normy Łukasiewicza.
• Funkcja f zdefiniowana jako f ( x ) = –log ( x ) jeśli 0 < x ≤ 1 i f (0) = +∞ jest addytywnym generatorem iloczynu t-normy.
• Funkcja f zdefiniowana jako f ( x ) = 2 – x jeśli 0 ≤ x < 1 i f (1) = 0 jest addytywnym generatorem drastycznej t-normy.

Podstawowe właściwości generatorów addytywnych podsumowuje następujące twierdzenie:

Niech f : [0, 1] → [0, +∞] będzie addytywnym generatorem t-normy T . Następnie:

• T jest t-normą Archimedesa.
• T jest ciągłe wtedy i tylko wtedy, gdy f jest ciągłe.
• T jest ściśle monotoniczne wtedy i tylko wtedy, gdy f (0) = +∞.
• Każdy element (0, 1) jest nilpotentnym elementem T wtedy i tylko wtedy, gdy f (0) < + ∞.
• Wielokrotność f przez stałą dodatnią jest również generatorem addytywnym T .
• T nie ma nietrywialnych idempotentów. (W konsekwencji np. minimalna norma t nie ma generatora dodatków).

Generatory multiplikatywne

Izomorfizm między dodawaniem na [0, + ∞] i mnożeniem na [0, 1] przez logarytm i funkcję wykładniczą pozwala na dwukierunkowe przekształcenia między addytywnymi i multiplikatywnymi generatorami t-normy. Jeśli f jest addytywnym generatorem t-normy T , to funkcja h : [0, 1] → [0, 1] zdefiniowana jako h ( x ) = e ^{− f ( x )} jest multiplikatywnym generatorem T , że jest funkcją h taką, że

• h ściśle rośnie
• godz (1) = 1
• h ( x ) · h ( y ) mieści się w zakresie h lub jest równe 0 lub h (0+) dla wszystkich x , y w [0, 1]
• h jest prawostronnie ciągła w 0
•   T ( x , y ) = godz ^(-1) ( godz ( x ) · godz ( y )).

I odwrotnie, jeśli h jest multiplikatywnym generatorem T , to f : [0, 1] → [0, +∞] określone przez f ( x ) = −log ( h (x)) jest generatorem addytywnym T .

Klasy parametryczne t-norm

Wiele rodzin powiązanych t-norm można zdefiniować za pomocą jawnej formuły w zależności od parametru p . W tej sekcji wymieniono najbardziej znane sparametryzowane rodziny t-norm. W wykazie będą stosowane następujące definicje:

• Rodzina t-norm T _p sparametryzowana przez p jest rosnąca , jeśli T _p ( x , y ) ≤ T _q ( x , y ) dla wszystkich x , y w [0, 1] zawsze, gdy p ≤ q (podobnie dla malejących i ściśle rosnący lub malejący).
• Rodzina t-norm T _p jest ciągła względem parametru p if

${\ Displaystyle \ lim _ {p \ do p_ {0}} T_ {p} = T_ {p_ {0}}}$

₀ dla wszystkich wartości p parametru.

Normy t Schweizera-Sklara

Wykres (3D i kontury) t-normy Schweizera – Sklara z p = 2

Rodzina t-norm Schweizera – Sklara , wprowadzona przez Bertholda Schweizera i Abe Sklara na początku lat 60. XX wieku, jest określona przez definicję parametryczną

${\ Displaystyle T_ {p} ^ {\ operatorname {SS}} (x, y) = {\ rozpocząć {przypadki} T_ {\ min} (x, y) i {\ tekst {jeśli}} p = - \ infty \\(x^{p}+y^{p}-1)^{1/p}&{\text{if }}-\infty <p<0\\T_{\mathrm {prod} }(x ,y)&{\text{jeśli }}p=0\\(\max(0,x^{p}+y^{p}-1))^{1/p}&{\text{jeśli } }0<p<+\infty \\T_{\mathrm {D}}(x,y)&{\text{if }}p=+\infty .\end{przypadki}}}$

T $operatorname {SS}}}$ jest

• Archimedesa wtedy i tylko wtedy, gdy p > −∞
• Ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy p < +∞
• Ścisłe wtedy i tylko wtedy, gdy −∞ < p ≤ 0 (dla p = −1 jest to iloczyn Hamachera)
• Nilpotentny wtedy i tylko wtedy, gdy 0 < p < +∞ (dla p = 1 jest to t-normą Łukasiewicza).

Rodzina jest ściśle malejąca dla p ≥ 0 i ciągła względem p w [−∞, +∞]. Generator addytywny dla - ∞ < p < + ∞ jest ${\ Displaystyle T_ {p} ^ {\ operatorname {SS}}}$

${\ Displaystyle f_ {p} ^ {\ operatorname {SS}} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} - \ log x & {\ tekst {jeśli}} p = 0 \\ {\ frac {1-x ^ { p}}{p}}&{\text{inaczej.}}\end{przypadki}}}$

T-normy Hamachera

Rodzina t-norm Hamachera , wprowadzona przez Horsta Hamachera pod koniec lat 70., jest dana następującą definicją parametryczną dla 0 ≤ p ≤ + ∞:

${\ Displaystyle T_ {p} ^ {\ operatorname {H}} (x, y) = {\ rozpocząć {przypadki} T _ {\ operatorname {D}} (x, y) i {\ tekst {jeśli}} p = +\infty \\0&{\text{jeśli }}p=x=y=0\\{\frac {xy}{p+(1-p)(x+y-xy)}}&{\text{w przeciwnym razie .}}\end{przypadki}}}$

Norma t $.$ produktem Hamachera

T-normy Hamachera to jedyne t-normy, które są funkcjami wymiernymi. Norma t Hamachera $<$ wtedy i tylko wtedy, gdy + ∞ (dla p = 1 jest to norma t iloczynu). Rodzina jest ściśle malejąca i ciągła względem p . Generator addytywny dla p < +∞ to ${\ displaystyle T_ {p} ^ {\ operatorname {H}}}$

${\ Displaystyle f_ {p} ^ {\ operatorname {H}} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} {\ Frac {1-x} {x}} i {\ tekst {jeśli}} p = 0 \\ \log {\frac {p+(1-p)x}{x}}&{\text{inaczej.}}\end{przypadki}}}$

T-normy Franka

Rodzina t-norm Franka , wprowadzona przez MJ Franka pod koniec lat siedemdziesiątych, jest dana definicją parametryczną dla 0 ≤ p ≤ +∞ następująco:

${\ Displaystyle T_ {p} ^ {\ operatorname {F}} (x, y) = {\ rozpocząć {przypadki} T _ {\ operatorname {min}} (x, y) i {\ tekst {jeśli}} p = 0\\T_{\mathrm {prod}}(x,y)&{\text{if }}p=1\\T_{\mathrm {Luk}}(x,y)&{\text{if }} p=+\infty \\\log _{p}\left(1+{\frac {(p^{x}-1)(p^{y}-1)}{p-1}}\right) &{\text{inaczej.}}\end{przypadki}}}$

Norma t Franka $p$ , jeśli < ∞. Rodzina jest ściśle malejąca i ciągła względem p . Generator addytywny dla jest ${\ displaystyle T_ {p} ^ {\ operatorname {F}}}$

${\ Displaystyle f_ {p} ^ {\ operatorname {F}} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} - \ log x & {\ tekst {jeśli}} p = 1 \\ 1-x & {\ tekst {jeśli} }p=+\infty \\\log {\frac {p-1}{p^{x}-1}}&{\text{inaczej.}}\end{przypadki}}}$

T-normy Yagera

Wykres t-normy Yagera z p = 2

Rodzina t-norm Yagera , wprowadzona na początku lat 80. przez Ronalda R. Yagera , jest dana dla 0 ≤ p ≤ +∞ przez

${\ Displaystyle T_ {p} ^ {\ operatorname {Y}} (x, y) = {\ rozpocząć {przypadki} T _ {\ operatorname {D}} ( x,y)&{\text{if }}p=0\\\max \left(0,1-((1-x)^{p}+(1-y)^{p})^{1 /p}\right)&{\text{if }}0<p<+\infty \\T_{\mathrm {min}}(x,y)&{\text{if }}p=+\infty \ zakończyć {przypadki}}}$

$jest$ -norma Yagera nilpotentna wtedy i tylko wtedy, gdy 0 < p <+∞ (dla p 1 jest to t-normą Łukasiewicza) Rodzina jest ściśle rosnąca i ciągła względem p . $p <$ -norma Yagera dla 0 < wynika z t normy Łukasiewicza poprzez podniesienie jej generatora dodatków do potęgi p . Generator addytywny dla 0 < p < + ∞ to ${\ displaystyle T_ {p} ^ {\ operatorname {Y}}}$

${\ Displaystyle f_ {p} ^ {\ operatorname {Y}} (x) = (1-x) ^ {p}.}$

T-normy Aczéla – Alsiny

Rodzina t-norm Aczéla – Alsiny , wprowadzona na początku lat 80. przez Jánosa Aczéla i Claudiego Alsinę, jest dana dla 0 ≤ p ≤ + ∞ przez

${\ Displaystyle T_ {p} ^ {\ operatorname {AA}} (x, y) = {\ rozpocząć {przypadki} T _ {\ operatorname {D}} (x, y )&{\text{if }}p=0\\e^{-\left(|\log x|^{p}+|\log y|^{p}\right)^{1/p}} &{\text{if }}0<p<+\infty \\T_{\mathrm {min}}(x,y)&{\text{if }}p=+\infty \end{przypadki}}}$

Norma t Aczéla – Alsiny $p$ i tylko wtedy, gdy 0 < < + ∞ (dla p = 1 jest to iloczyn norma). Rodzina jest ściśle rosnąca i ciągła względem p . $iloczynu$ norma Aczéla – Alsiny 0 < p < + ∞ wynika z -normy poprzez podniesienie jego generatora dodatków do potęgi str . Generator addytywny dla 0 < p < + ∞ to ${\ Displaystyle T_ {p} ^ {\ operatorname {AA}}}$

${\ Displaystyle f_ {p} ^ {\ operatorname {AA}} (x) = (- \ log x) ^ {p}.}$

Dombi t-normy

Rodzina t-norm Dombi , wprowadzona przez Józsefa Dombiego (1982), jest dana dla 0 ≤ p ≤ +∞ przez

${\ Displaystyle T_ {p} ^ {\ operatorname {D}} (x, y) = {\ rozpocząć {przypadki} 0 i {\ tekst {jeśli}} x = 0 {\ tekst {lub}} y = 0 \\ T_{\mathrm {D}}(x,y)&{\text{jeśli }}p=0\\T_{\mathrm {min}}(x,y)&{\text{jeśli }}p=+ \infty \\{\frac {1}{1+\left(\left({\frac {1-x}{x}}\right)^{p}+\left({\frac {1-y} {y}}\right)^{p}\right)^{1/p}}}&{\text{inaczej.}}\\\end{przypadki}}}$

Norma t $<$ ścisła wtedy i tylko wtedy, gdy 0 < + ∞ (dla p = 1 jest to produkt Hamachera). Rodzina jest ściśle rosnąca i ciągła względem p . $iloczynu$ -norma dla 0 < p < t -normy Hamachera poprzez podniesienie jego generatora dodatków do potęgi p . Generator dodatków dla 0 < p < + ∞ to ${\ displaystyle T_ {p} ^ {\ operatorname {D}}}$

${\ Displaystyle f_ {p} ^ {\ operatorname {D}} (x) = \ lewo ({\ Frac {1-x} {x}} \ prawej) ^ {p}.}$

T-normy Sugeno – Webera

Rodzina t-norm Sugeno – Webera została wprowadzona na początku lat 80. przez Siegfrieda Webera; podwójne t-conormy zostały zdefiniowane już na początku lat 70. przez Michio Sugeno. Jest dane dla −1 ≤ p ≤ +∞ przez

${\ Displaystyle T_ {p} ^ {\ operatorname {SW}} (x, y) = {\ rozpocząć {przypadki} T _ {\ operatorname {D}} (x, y)&{\text{if }}p=-1\\\max \left(0,{\frac {x+y-1+pxy}{1+p}}\right)&{\text{if }}-1<p<+\infty \\T_{\mathrm {prod} }(x,y)&{\text{if }}p=+\infty \end{przypadki}}}$

Sugeno – Webera t-norma $<$ wtedy i tylko wtedy, gdy -1 < + ∞ (dla p 0 jest to Łukasiewicz t -norma). Rodzina jest ściśle rosnąca i ciągła względem p . Generator dodatków dla 0 < p < + ∞ [sic] to ${\ Displaystyle T_ {p} ^ {\ operatorname {SW}}}$

${\ Displaystyle f_ {p} ^ {\ operatorname {SW}} (x) = {\ rozpocząć {przypadki} 1-x & {\ tekst {jeśli}} p = 0 \\ 1-\ log _ {1 + p} (1+px)&{\text{inaczej.}}\end{przypadki}}}$

Sumy porządkowe

Suma porządkowa konstruuje t-normę z rodziny t-norm, zmniejszając je do rozłącznych podprzedziałów przedziału [0, 1] i uzupełniając t-normę, używając minimum na pozostałej części kwadratu jednostkowego. Opiera się na następującym twierdzeniu:

Niech T _i dla i w zbiorze indeksów I będzie rodziną t-norm oraz ( ai , b _i ) rodziną parami rozłącznych (niepustych) otwartych podprzedziałów [0, 1] _. Wtedy funkcja T : [0, 1]

${\ Displaystyle T (x, y) = {\ rozpocząć {przypadki} a_ {i }+(b_{i}-a_{i})\cdot T_{i}\left({\frac {x-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}},{\frac { y-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}}\right)&{\text{if }}x,y\in [a_{i},b_{i}]^{2} \\\min(x,y)&{\text{inaczej}}\end{przypadki}}}$

^→ [0, 1] zdefiniowana jako

jest t-normą.

Suma porządkowa t-normy Łukasiewicza na przedziale [0,05, 0,45] i iloczynu t-normy na przedziale [0,55, 0,95]

Wynikowa norma t nazywana jest sumą porządkową sum ( T _i , ai _, b _i ) dla i w I , oznaczoną przez

${\ Displaystyle T = \ bigoplus \ nolimits _ {i \ w ja} (T_ {i}, a_ {i}, b_ {i}), }$

lub ${\ Displaystyle (T_ {1}, a_ {1}, b_ {1}) \ oplus \ kropki \ oplus ( T_{n},a_{n},b_{n})}$ jeśli I jest skończony.

Sumy porządkowe t-norm mają następujące właściwości:

• Każda norma t jest trywialną sumą porządkową samej siebie w całym przedziale [0, 1].
• Pusta suma porządkowa (dla pustego zestawu indeksów) daje minimalną normę t T _min . Sumy z minimalną normą t można dowolnie dodawać lub pomijać bez zmiany wynikowej normy t.
• Bez utraty ogólności można założyć, że zbiór indeksów jest policzalny , ponieważ prosta rzeczywista może zawierać co najwyżej przeliczalnie wiele rozłącznych podprzedziałów.
• Suma porządkowa t-normy jest ciągła wtedy i tylko wtedy, gdy każda suma jest ciągłą t-normą. (Analogicznie dla ciągłości lewej).
• Suma porządkowa jest archimedesowa wtedy i tylko wtedy, gdy jest trywialną sumą jednej t-normy Archimedesa w całym przedziale jednostkowym.
• Suma porządkowa ma dzielniki zera wtedy i tylko wtedy , gdy dla pewnego indeksu i ai = 0 i T _i ma dzielniki zera _. (Analogicznie dla elementów nilpotentnych).

${\ Displaystyle T = \ bigoplus \ nolimits _ {i \ w ja} (T_ {i}, a_ {i}, b_ {i})$ ja jest lewostronnie ciągłą normą t, to jej reszta R jest dana następująco:

${\ Displaystyle R (x, y) = {\ rozpocząć {przypadki} 1 i {\ tekst {jeśli}} x \ równoważnik y \\ a_ {i} + (b_ {i} -a_ {i}) \ cdot R_ { i}\left({\frac {x-a_{i}}{b_{i}-a_{i}}},{\frac {y-a_{i}}{b_{i}-a_{i} }}\right)&{\text{if }}a_{i}<y<x\leq b_{i}\\y&{\text{inaczej.}}\end{przypadki}}}$

gdzie R _i jest resztą T _i dla każdego i w I .

Sumy porządkowe ciągłych t-norm

Suma porządkowa rodziny ciągłych t-norm jest ciągłą t-normą. Na mocy twierdzenia Mosterta-Shieldsa każda ciągła norma t jest wyrażalna jako suma porządkowa ciągłych t norm Archimedesa. Ponieważ te ostatnie są albo nilpotentne (a wtedy izomorficzne z t-normą Łukasiewicza) albo ścisłe (wtedy izomorficzne z iloczynową t-normą), każda ciągła t-normowa jest izomorficzna z sumą porządkową Łukasiewicza i iloczynowych t-norm.

Ważnymi przykładami sum porządkowych ciągłych t-norm są następujące:

• Normy t Dubois-Prade , wprowadzone przez Didiera Dubois i Henri Prade'a na początku lat 80. XX wieku, są sumami porządkowymi iloczynu t-normy na [0, p ] dla parametru p w [0, 1] i (domyślnie) minimalna norma t w pozostałej części przedziału jednostkowego. Rodzina t-norm Dubois-Prade jest malejąca i ciągła względem p ..
• Normy t Mayora-Torrensa , wprowadzone przez Gaspara Mayora i Joan Torrens na początku lat 90., są sumami porządkowymi normy t Łukasiewicza dla [0, p ] dla parametru p w [0, 1] i (domyślnie) minimalna norma t w pozostałej części przedziału jednostkowego. Rodzina t-norm Mayora-Torrensa jest malejąca i ciągła względem p ..

Rotacje

Konstrukcja t-norm przez rotację została wprowadzona przez Sándora Jenei (2000). Opiera się na następującym twierdzeniu:

Niech T będzie ciągłą w lewo normą t bez dzielników zera , N : [0, 1] → [0, 1] funkcją, która przypisuje 1 − x do x i t = 0,5. Niech T ₁ będzie liniową transformacją T w [ t , 1] i ${\ Displaystyle R_ {T_ {1}} (x, y) = \ sup \ {z \ mid T_ {1} (z, x) \ równoważnik y \}.} Wtedy$ funkcja

${\ Displaystyle T _ {\ operatorname {rot}} = {\ rozpocząć {przypadki} T_{1}(x,y)&{\text{jeśli }}x,y\in (t,1]\\N(R_{T_{1}}(x,N(y)))&{\ text{if }}x\in (t,1]{\text{ i }}y\in [0,t]\\N(R_{T_{1}}(y,N(x)))&{ \text{if }}x\in [0,t]{\text{ i }}y\in (t,1]\\0&{\text{if }}x,y\in [0,t]\ end{cases}}}$

jest ciągłą w lewo normą t, zwaną rotacją normy t T .

Nilpotentne minimum jako rotacja minimalnej t -normy

Geometrycznie konstrukcję można opisać jako najpierw skurczenie t-normy T do przedziału [0,5, 1], a następnie obrócenie jej o kąt 2π/3 w obu kierunkach wokół linii łączącej punkty (0, 0, 1) i (1, 1, 0).

Rotacje Łukasiewicza , iloczyn , minimum nilpotentne i drastyczna t-norma

Twierdzenie można uogólnić, przyjmując za N dowolną silną negację , to znaczy inwolucyjną ściśle malejącą funkcję ciągłą na [0, 1], a dla t przyjmując unikalny punkt stały N .

Wynikowa norma t ma następującą właściwość niezmienności rotacji w odniesieniu do N :

T ( x , y ) ≤ z wtedy i tylko wtedy, gdy T ( y , N ( z )) ≤ N ( x ) dla wszystkich x , y , z w [0, 1].

Negacją wywołaną przez T _rot jest funkcja N , to znaczy N ( x ) = R _rot ( x , 0) dla wszystkich x , gdzie R _rot jest resztą z Tro _rot .

Zobacz też

• Norma T
• T-normowe logiki rozmyte

•   Klement, Erich Peter; Mesiar, Radko; i Pap, Endre (2000), Normy trójkątne . Dordrecht: Kluwer. ISBN 0-7923-6416-3 .
• Fodor, János (2004), „Lewo-ciągłe t-normy w logice rozmytej: przegląd” . Acta Polytechnica Hungarica 1 (2), ISSN 1785-8860 [1]
• Dombi, József (1982), „Ogólna klasa operatorów rozmytych, klasa operatorów rozmytych DeMorgana i miary rozmytości indukowane przez operatorów rozmytych” . Zbiory i systemy rozmyte 8 , 149–163.
• Jenei, Sándor (2000), „Struktura lewostronnych t-norm z silnymi indukowanymi negacjami. (I) Konstrukcja rotacyjna”. Journal of Applied Non-Classical Logics 10 , 83–92.
• Navara, Mirko (2007), „Trójkątne normy i konormy” , Scholarpedia [2] .