Zmienne antytetyczne

W statystyce metoda zmiennych antytetycznych jest techniką redukcji wariancji stosowaną w metodach Monte Carlo . Biorąc pod uwagę, że błąd w symulowanym sygnale (za pomocą metody Monte Carlo ) ma zbieżność pierwiastka kwadratowego jeden z drugiego , do uzyskania dokładnego wyniku wymagana jest bardzo duża liczba ścieżek próbki . Metoda zmiennych antytetycznych zmniejsza wariancję wyników symulacji.

Podstawowa zasada

$varepsilon _ {M}\}}$ jej antytetycznej ścieżki - czyli podanej ścieżki { , aby również wziąć ${\ Displaystyle \ {- \ varepsilon _ {1}, \ kropki, - \ varepsilon _ {M} \}}$ . Zaleta tej techniki jest dwojaka: zmniejsza liczbę normalnych próbek, które należy pobrać w celu wygenerowania N ścieżek, oraz zmniejsza wariancję ścieżek próbek, poprawiając precyzję.

Załóżmy, że chcielibyśmy oszacować

${\ Displaystyle \ teta = \ operatorname {E} (h (X)) = \ operatorname {E} (Y) \,}$

W tym celu wygenerowaliśmy dwie próbki

${\ Displaystyle Y_ {1} {\ tekst {i}} Y_ {2} \,}$

Bezstronne oszacowanie jest podane przez ${\ displaystyle {\ theta}}$

${\ Displaystyle {\ kapelusz {\ theta}} = {\ Frac {Y_ {1} + Y_ {2}} {2}}.}$

I

${\ Displaystyle {\ tekst {Var}} ({\ kapelusz {\ teta}}) = { \frac {{\text{Var}}(Y_{1})+{\text{Var}}(Y_{2})+2{\text{Cov}}(Y_{1},Y_{2}) {4}}}$

więc wariancja jest zmniejszona, jeśli ${\ Displaystyle {\ tekst {Cov}} (Y_ {1}, Y_ {2})}$ jest ujemny.

Przykład 1

Jeśli prawo zmiennej X ma rozkład jednolity wzdłuż [0, 1], pierwszą próbką będzie ${\ Displaystyle u_ {1}, \ ldots, u_ {n}}$ , gdzie dla dowolny dany ja , ${\ displaystyle u_ {i}}$ jest uzyskiwany z U (0, 1). Druga próbka $u$${\ displaystyle u'_ {i} = 1-u_ {i}}$ dla : . Jeśli zbiór $]$ , to i $displaystyle u'_ {i}$ . Ponadto kowariancja jest ujemna, co pozwala na początkową redukcję wariancji.

Przykład 2: obliczenia całkowe

Chcielibyśmy oszacować

${\ Displaystyle I = \ int _ {0} ^ {1} {\ Frac {1} {1 + x}} \ \ operatorname {d} x.}$

Dokładny wynik to ${\ Displaystyle I = \ ln 2 \ około 0,69314718}$ . Całkę tę można postrzegać jako oczekiwaną wartość , gdzie fa $\ Displaystyle f (U)}$

${\ Displaystyle f (x) = {\ Frac {1} {1 + x}}}$

a U ma rozkład równomierny [0, 1].

Poniższa tabela porównuje klasyczne oszacowanie Monte Carlo (wielkość próby: 2 n , gdzie n = 1500) z estymacją zmiennych antytetycznych (wielkość próby: n , uzupełniona o przekształconą próbę 1 − u _i ):

	Oszacować	Odchylenie standardowe
Oszacowanie klasyczne	0,69365	0,00255
Odmiany antytetyczne	0,69399	0,00063

Zastosowanie metody zmiennych antytetycznych do oszacowania wyniku pokazuje istotną redukcję wariancji.

Zobacz też

• Zmienne kontrolne