Redukcja podprzestrzeni

W algebrze liniowej podprzestrzeń redukująca mapy liniowej z przestrzeni Hilberta do siebie jest niezmienniczą podprzestrzenią T. $V \ do V$$\ displaystyle T}$$}$$:$$,$ którego dopełnienie ortogonalne ${\ displaystyle T.}$ niezmienniczą podprzestrzenią To znaczy ${\ displaystyle T (W) \ subseteq W}$ i $,$ Mówi $się$ podprzestrzeń zmniejsza mapę ${\ displaystyle T.}$

Mówi się, że mapa liniowa jest redukowalna , jeśli ma nietrywialną podprzestrzeń redukującą. Inaczej mówi się, że jest nieredukowalna .

Jeśli ma skończony $wymiar$ i jest redukującą podprzestrzenią mapy $displaystyle$$T: V \ do V}$ reprezentowany jako podstawa ${\ Displaystyle B}$${\$ przez macierz ${\ Displaystyle M \ in \ mathbb {R} ^ {r \ razy r}}$ następnie ${\ displaystyle M}$ można wyrazić jako sumę

$${\ Displaystyle M = P_ {W} MP_ {W} + P_ {W ^ {\ sprawca}} MP_ {W ^ {\ sprawca}}}$$

gdzie jest macierzą rzutu ortogonalnego od ${\ displaystyle P_ {W} \ in \ mathbb {R} ^ {$$\$ razy $} } }$ i jest macierzą rzutu na W $\ displaystyle P _ {W ^ {\ perp}} = IP_ {W}$${\ Displaystyle W ^ {\ sprawca}.}$ (Tutaj ${\ displaystyle ja \ in \ mathbb {R} ^ {r \ razy r}}$ jest macierzą tożsamości .)

Ponadto ma $podzbiorem$ ortonormalną $z$$, który$ bazą ortonormalną Jeśli jest macierzą przejścia z $R} ^ {r \ razy r}}$$w$ in \ mathbb ${$ odniesieniu ${\ displaystyle B'}$ macierz ${\ displaystyle Q ^ {- 1} MQ}$ reprezentująca ${\ displaystyle T}$ jest macierzą blokowo-przekątną

$${\ Displaystyle Q ^ {- 1} MQ = \ lewo [{\ początek {tablica} {cc} A i 0 \\ 0 i B \ koniec {tablica}} \ prawo]}$$

z gdzie $,$$A \ in \ mathbb {R} ^ {d \ razy d$ } i ${\ Displaystyle B \ in \ mathbb {R} ^ {(rd) \ razy (rd)}.}$