hiperstożek

Rzut stereograficzny linii tworzących stożka sferycznego (czerwony), równoleżników (zielony) i hipermeridianów (niebieski). Ze względu na konforemną właściwość projekcji stereograficznej, krzywe przecinają się prostopadle (w żółtych punktach) jak w 4D. Wszystkie krzywe są okręgami lub liniami prostymi. Generatrices i równoległości generują podwójny stożek 3D. Hipermeridiany generują zestaw koncentrycznych sfer.

W geometrii hiperstożek (lub stożek sferyczny ) jest figurą w 4-wymiarowej przestrzeni euklidesowej reprezentowaną przez równanie

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} -w ^ {2} = 0.}

Jest to powierzchnia kwadratowa i jest jedną z możliwych trójwymiarowych rozmaitości , które są czterowymiarowymi odpowiednikami powierzchni stożkowej w trzech wymiarach. Jest również nazywany „stożkiem sferycznym”, ponieważ jego przecięcia z hiperpłaszczyznami prostopadłymi do osi w są sferami . Czterowymiarowy prawy hiperstożek można traktować jako kulę, która rozszerza się w czasie, rozpoczynając swoją ekspansję od pojedynczego źródła punktowego, tak że środek rozszerzającej się kuli pozostaje nieruchomy. Ukośny hiperstożek byłaby kulą, która rozszerza się w czasie, ponownie rozpoczynając swoją ekspansję od źródła punktowego, ale tak, że środek rozszerzającej się kuli porusza się z jednostajną prędkością.

Forma parametryczna

Prawy sferyczny hiperstożek można opisać funkcją

{\ Displaystyle {\ vec {\ sigma}} (

z wierzchołkiem w początku i szybkością ekspansji s .

Prawy sferyczny hiperstożek o promieniu r i wysokości h można opisać funkcją

{\ Displaystyle {\ vec {\ sigma}} (\ phi ,\theta ,t)=\left(t\cos \phi \sin \theta ,t\sin \phi \sin \theta ,t\cos \theta ,{\frac {h}{r}}t\right) }

Ukośny sferyczny hiperstożek można by wtedy opisać funkcją

{\ Displaystyle {\ vec {\ sigma}} (\ fi, \ teta, t) = (v_ {x} t + ts \ cos \ teta \ cos \ fi, v_ {y} t + ts \ cos \ teta \ sin \phi ,v_{z}t+ts\sin \theta ,t)}

gdzie $_$ _ Przykładem takiego stożka byłaby rozszerzająca się fala dźwiękowa widziana z punktu widzenia poruszającego się układu odniesienia: np. fala dźwiękowa samolotu odrzutowego widziana z własnego układu odniesienia tego odrzutowca.

Zauważ, że powyższe powierzchnie 3D obejmują hiperobjętości 4D , które są właściwymi 4 stożkami.

Interpretacja geometryczna

Sferyczny stożek składa się z dwóch nieograniczonych płaszczy , które spotykają się na początku i są analogami płaszczy trójwymiarowej powierzchni stożkowej. Górny płaszcz odpowiada połowie o dodatnich współrzędnych w , a dolny płaszcz odpowiada połowie o ujemnych współrzędnych w .

Jeśli jest ograniczony między hiperpłaszczyznami w = 0 i w = r dla jakiegoś niezerowego r , to może być zamknięty przez trójkę o promieniu r , której środek znajduje się w punkcie (0,0,0, r ), tak że ogranicza skończona objętość 4-wymiarowa. Ta objętość jest dana wzorem 1 / 3 $π$ r ⁴ i jest czterowymiarowym odpowiednikiem pełnego stożka . Kula może być traktowana jako „pokrywka” u podstawy płaszcza 4-wymiarowego stożka, a początek staje się jej „wierzchołkiem”.

Ten kształt można rzutować na trójwymiarową przestrzeń na różne sposoby. Rzutowany na hiperpłaszczyznę xyz , jego obrazem jest kula . W przypadku rzutowania na xyw , xzw lub yzw jego obraz jest pełnym stożkiem . W przypadku rzutowania na ukośną hiperpłaszczyznę, jego obraz jest albo elipsoidą , albo pełnym stożkiem o elipsoidalnej podstawie (przypominającym wafelek do lodów ). Te obrazy są analogami możliwych obrazów stałego stożka rzutowanego na 2 wymiary.

Budowa

(Pół)hiperstożek może być zbudowany w sposób analogiczny do konstrukcji stożka 3D. Stożek 3D można traktować jako wynik układania coraz mniejszych dysków jeden na drugim, aż zwężają się do punktu. Alternatywnie, stożek 3D można uznać za objętość wymiataną przez pionowy trójkąt równoramienny , gdy obraca się on wokół swojej podstawy.

Hiperstożek 4D można zbudować analogicznie: układając coraz mniejsze kulki jedna na drugiej w czwartym kierunku, aż zwężają się do punktu, lub biorąc hiperobjętość wymiecioną przez czworościan stojący pionowo w czwartym kierunku, gdy obraca się swobodnie wokół swojego podstawy w hiperpłaszczyźnie 3D, na której spoczywa.

Pomiary

Hiperobjętość

Hiperobjętość czterowymiarowej piramidy i stożka wynosi

{\ Displaystyle H = {\ Frac {1} {4}} Vh}

gdzie V to objętość podstawy, a h to wysokość (odległość między środkiem podstawy a wierzchołkiem). Dla kulistego stożka o podstawowej objętości hiperobjętość wynosi ${\ textstyle V = {\ Frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$

{\ Displaystyle H = {\ Frac {1} {4}} Vh = {\ Frac {1} {4} }\left({\frac {4}{3}}\pi r^{3}\right)h={\frac {1}{3}}\pi r^{3}h}

Objętość powierzchni

Objętość powierzchni bocznej prawego sferycznego stożka wynosi ${\ textstyle LSV = {\ Frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} l}$ gdzie ${\ displaystyle r }$ to promień kulistej podstawy, a $pochyła$ wysokość stożka (odległość między dwuwymiarową powierzchnią kuli a wierzchołkiem). Objętość powierzchni sferycznej podstawy jest taka sama jak dla dowolnej kuli, ${\ textstyle {\ frac {4} {3}} \ pi r ^ {3}}$ . Dlatego całkowitą objętość powierzchni prawego stożka sferycznego można wyrazić w następujący sposób:

Promień i wysokość

${\ Displaystyle {\ Frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} + {\ Frac {4} {3}} \ pi r ^{2}{\sqrt {r^{2}+h^{2}}}}$

(objętość podstawy plus objętość bocznej powierzchni 3D; termin to wysokość po skosie ) ${\ displaystyle {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}}$

${\ Displaystyle {\ Frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} \ lewo (r + {\ sqrt {r ^ {2} + h ^ {2}}}\prawo)}$

gdzie jest $promieniem$ $wysokością$ .

Promień i wysokość nachylenia

${\ Displaystyle {\ Frac {4} {3}} \ pi r ^ {3} + {\ Frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} l}$

${\ Displaystyle {\ Frac {4} {3}} \ pi r ^ {2} \ lewo (r + l \ prawo)}$

gdzie jest promieniem $i$ $.$ nachylenia

Pole powierzchni, promień i wysokość nachylenia

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {3}} Ar + {\ Frac {1} {3}} Al}$

${\ Displaystyle {\ Frac {1} {3}} A \ lewo (r + l \ prawo)}$

gdzie $to$ $to$ powierzchni podstawy, $.$ a to wysokość nachylenia

Interpretacja czasowa

Jeśli współrzędna w równania stożka sferycznego jest interpretowana jako odległość ct , gdzie t to współrzędna czasu , a c to prędkość światła (stała), to jest to kształt stożka światła w szczególnej teorii względności . W takim przypadku równanie jest zwykle zapisywane jako:

{\ Displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} - (ct) ^ {2} = 0,}

co jest również równaniem sferycznych frontów falowych światła. Górny płaszcz jest zatem przyszłym stożkiem światła , a dolny płaszcz jest przeszłym stożkiem światła .

Zobacz też