liczba Fouriera

W badaniu przewodnictwa cieplnego liczba Fouriera jest stosunkiem czasu t do charakterystycznej skali czasowej dyfuzji ciepła t _d . Ta bezwymiarowa grupa została nazwana na cześć JBJ Fouriera , który sformułował współczesne rozumienie przewodzenia ciepła. Skala czasowa dyfuzji charakteryzuje czas potrzebny do ciepła na odległość, L . Dla ośrodka o współczynniku dyfuzyjności cieplnej α ta skala czasu wynosi t _d = L ² /α , tak że liczba Fouriera wynosi t/t _d = αt/L ² . Liczba Fouriera jest często oznaczana jako Fo lub Fo _L .

Liczbę Fouriera można również wykorzystać do badania dyfuzji masy , jeśli dyfuzyjność termiczna zostanie zastąpiona dyfuzyjnością masy .

Liczba Fouriera jest używana w analizie zjawisk związanych z transportem zależnym od czasu , ogólnie w połączeniu z liczbą Biota, jeśli występuje konwekcja . Liczba Fouriera powstaje naturalnie w bezwymiarowości równania ciepła .

Definicja

Ogólna definicja liczby Fouriera, $Fo$ , jest następująca:

\ Displaystyle \ operatorname {Fo} = {\ Frac {\ tekst {czas}}} {\ tekst {skala czasu dla dyfuzji}}} = {\ frac {t} t_{d}}}}

Dla dyfuzji ciepła o charakterystycznej skali długości L w ośrodku o dyfuzyjności cieplnej α , skala czasu dyfuzji wynosi $t d$ = $L 2 /α$ , więc

{\ Displaystyle \ operatorname {Fo} _ {L} = {\ Frac {\ alfa t} {L ^ {2}}}}

Gdzie:

α to dyfuzyjność cieplna ( m ² / s )
t to czas (y)
L to charakterystyczna długość, na której zachodzi przewodzenie (m)

Interpretacja liczby Fouriera

Rozważ przejściowe przewodzenie ciepła w płycie o grubości L , która początkowo ma jednakową temperaturę T ₀ . Jedna strona płyty jest nagrzana do wyższej temperatury, T _h w czasie t = 0. Druga strona jest adiabatyczna. Czas potrzebny do wykazania znaczącej zmiany temperatury po drugiej stronie obiektu to czas dyfuzji, t _d .

Gdy $Fo ≪ 1$ , nie upłynęło wystarczająco dużo czasu, aby druga strona zmieniła temperaturę. W tym przypadku znaczna zmiana temperatury występuje tylko w pobliżu ogrzewanej strony, a większość płyty pozostaje w temperaturze T ₀ .

Gdy $Fo ≅ 1$ , znaczna zmiana temperatury zachodzi na całej grubości L . Żadna płyta nie pozostaje w temperaturze T ₀ .

Kiedy $Fo ≫ 1$ , minęło wystarczająco dużo czasu, aby płyta osiągnęła stan ustalony. Cała płyta zbliża się do temperatury T _h .

Pochodzenie i użycie

₀ Liczbę Fouriera można wyprowadzić, niewymiarując równania dyfuzji zależnej od czasu . Jako przykład rozważmy pręt o długości L , który jest podgrzewany od temperatury początkowej T przez nałożenie w czasie t = 0 wyższej temperatury w punkcie x = L , T _L (gdzie x wzdłuż osi pręta) . Można zastosować równanie ciepła w jednym wymiarze przestrzennym x

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe T} {\ częściowe t}} = \ alfa {\ Frac {\ częściowe ^ {2} T} {\ częściowe x ^ { 2}}}}

gdzie T jest temperaturą dla 0 < x < L i t > 0. Równanie różniczkowe można przeskalować do postaci bezwymiarowej. Bezwymiarową temperaturę można zdefiniować jako Θ = $0 (T - T L)/(T - T L)$ , a równanie można podzielić przez $α/L 2$ :

{\ Displaystyle {\ Frac {\ częściowe \ Theta} {\ częściowe (\ alfa t / L ^ {2})}} = {\frac {\częściowy ^{2}\Theta}}{\częściowy (x/L)^{2}}}}

$Fo L = αt / L2 Otrzymaną$ bezwymiarową zmienną czasową jest liczba Fouriera . Charakterystyczna skala czasowa dla dyfuzji, $td równania$ = $L2 /α , pochodzi bezpośrednio z tego skalowania$ ciepła.

Liczba Fouriera jest często używana jako czas bezwymiarowy w badaniu przejściowego przewodnictwa ciepła w ciałach stałych. Drugi parametr, liczba Biota, powstaje w braku wymiarowania, gdy do równania ciepła stosuje się konwekcyjne warunki brzegowe. Razem liczba Fouriera i liczba Biota określają reakcję temperaturową ciała stałego poddanego konwekcyjnemu ogrzewaniu lub chłodzeniu.

Zastosowanie do przenoszenia masy

Analogiczną liczbę Fouriera można wyprowadzić z wymiarowania drugiego prawa dyfuzji Ficka . Wynikiem jest liczba Fouriera wymiany masy $Fo m$ zdefiniowana jako:

{\ Displaystyle \ operatorname {Fo} _ {m} = {\ Frac {Dt} {L ^ {2}}}}

Gdzie:

$Fo m$ to liczba Fouriera przenoszenia masy
D to dyfuzyjność masy (m ² /s)
t to czas (y)
L to interesująca skala długości (m)

Liczbę Fouriera przenoszenia masy można zastosować do badania pewnych zależnych od czasu problemów dyfuzji masy.

Zobacz też