macierz Greena

W matematyce , aw szczególności w równaniach różniczkowych zwyczajnych , macierz Greena pomaga określić konkretne rozwiązanie niejednorodnego liniowego układu pierwszego rzędu ODE. Koncepcja nosi imię George'a Greena .

Weźmy na przykład ${\ Displaystyle x'= A (t) x + g (t) \,}$ gdzie ${\ Displaystyle x \,}$ jest wektorem i ${\ Displaystyle A (t) \,}$ jest funkcją macierzową ${\ displaystyle n \ razy n$${\ Displaystyle t \,}$ , która jest ciągła dla $w ja, a \ równoważnik t \ równoważnik b \,}$$,$ gdzie jest pewien przedział.

Teraz niech ${\ Displaystyle x ^ {1} (t), \ ldots, x ^ {n} (t) \,}$$\ Displaystyle n \,}$ { liniowo niezależne rozwiązania jednorodnego równania ${\ Displaystyle x'= A (t) x \,}$ i ułożyć je w kolumny, aby utworzyć podstawową macierz:

${\ Displaystyle X (t) = \ lewo [x ^ {1} (t), \ ldots, x ^ {n} (t) \ prawo]. \,}$

Teraz $Displaystyle X (t) \,}$$X'=AX \,}$$X$ macierzowym X .

Ta podstawowa macierz zapewni jednorodne rozwiązanie, a jeśli zostanie dodana do konkretnego rozwiązania, da ogólne rozwiązanie niejednorodnego równania.

Niech ${\ displaystyle x = Xy \,}$ będzie ogólnym rozwiązaniem. Teraz,

${\ Displaystyle {\ rozpocząć {wyrównane} x '& = X'y + Xy' \\& = AXy + Xy' \\& = Ax + Xy'. \ koniec {wyrównane}}}$

Oznacza to ${\ Displaystyle Xy' = g \,}$ lub ${\ Displaystyle y = c + \ int _ {a} ^ {t} X ^ {- 1} (s) g (s) \, ds \,}$$gdzie$ jest wektorem stałym.

Teraz ogólnym rozwiązaniem jest ${\ Displaystyle x = X (t) c + X (t) \ int _ {a} ^ {t} X ^ {-1} (s) g (s) \, ds. \,}$

Pierwszy termin to rozwiązanie jednorodne, a drugi to rozwiązanie szczególne.

Zdefiniujmy teraz macierz Greena ${\ Displaystyle G_ {0} (t, s) = {\ rozpocząć {przypadki} 0 i t \ równoważnik s \ równoważnik b \\ X (t) X ^ {- 1} (s) i a \ równoważnik s <t. \ koniec {sprawy}}\,}$

Rozwiązanie szczególne można teraz zapisać jako ${\ Displaystyle x_ {p} (t) = \ int _ {a} ^ {b} G_ {0} (t, s) g (s) \, ds. \,}$

Linki zewnętrzne

• Przykład zarchiwizowany 2006-03-28 w Wayback Machine rozwiązania niejednorodnego układu liniowych ODE i znalezienia macierzy Greena z www.exampleproblems.com.