odmiana Scorza

W matematyce rozmaitość a k - Scorza jest gładką rozmaitością rzutową, o maksymalnym wymiarze wśród tych, których k –1 sieczne rozmaitości nie stanowią całej przestrzeni rzutowej. Odmiany Scorza zostały wprowadzone i sklasyfikowane przez Zaka ( 1993 ), który nazwał je na cześć Gaetano Scorza . Szczególny przypadek odmian 2-Scorza jest czasami nazywany odmianami Severi , na cześć Francesco Severi .

Klasyfikacja

Zak pokazał, że rozmaitości k -Scorza są rozmaitościami rzutowymi macierzy rzędu 1 prostych algebr Jordana .

odmian Severi

Rozmaitości Severiego to nieosobliwe rozmaitości o wymiarze n (parzystym) w PN ^, które można rzutować izomorficznie na hiperpłaszczyznę i spełniać N =3 n /2+2.

Severi wykazał w 1901 r., że jedyną odmianą Severiego z n = 2 jest powierzchnia Veronese w P ⁵ .
Jedyną odmianą Severiego z n = 4 jest osadzanie P ² × P ² w P ^{8 przez Segre} , znalezione przez Scorzę w 1908 roku.
Jedyną odmianą Segre z n = 8 jest 8-wymiarowy Grassmannian G (1,5) linii w P ⁵ osadzonych w P ¹⁴ , znaleziony przez Johna Greenleesa Semple'a w 1931 roku.
Jedyną odmianą Severi z n = 16 jest 16-wymiarowa odmiana E ₆ / Spin (10) U (1) w P ²⁶ znaleziona przez Roberta Lazarsfelda w 1981 roku.

Te 4 odmiany Severi można skonstruować w jednolity sposób, jako orbity grup działających na złożoność macierzy hermitowskich 3 na 3 na czterech rzeczywistych (być może nieasocjacyjnych) algebrach podziału o wymiarach 2 k = 1, 2, ⁴ , 8. Reprezentacje te mają wymiary zespolone 3(2 ^k +1) = 6, 9, 15 i 27, dając odmiany wymiaru 2 ^{k +1} = 2, 4, 8, 16 w przestrzeniach rzutowych o wymiarach 3(2 ^k ) +2 = 5, 8, 14 i 26.

Zak udowodnił, że jedynymi odmianami Severi są 4 wymienione powyżej, o wymiarach 2, 4, 8, 16.

Hartshorne, Robin (1974), „Odmiany małych kodów w przestrzeni rzutowej”, Biuletyn Amerykańskiego Towarzystwa Matematycznego , 80 (6): 1017–1032, doi : 10.1090 / S0002-9904-1974-13612-8 , ISSN 0002- 9904 , MR 0384816
Zak, FL (1981), „Projekcje odmian algebraicznych”, Matematicheskii Sbornik , Novaya Seriya, 116 (158) (4): 593–602, 608, ISSN 0368-8666 , MR 0665860
Lazarsfeld, Robert; Van de Ven, Antonius (1984), Tematy z geometrii przestrzeni rzutowej , Seminarium DMV, tom. 4, Birkäuser Verlag, doi : 10.1007/978-3-0348-9348-0 , ISBN 978-3-7643-1660-0 , MR 0808175
Zak, FL (1985), „odmiany Severi”, Matematicheskii Sbornik , Novaya Seriya, 126 (168) (1): 115–132, 144, ISSN 0368-8666 , MR 0773432
Zak, FL (1993), Styczne i sieczne rozmaitości algebraicznych , Tłumaczenia monografii matematycznych, tom. 127, Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne , ISBN 978-0-8218-4585-1 , MR 1234494