postać normalna Hessego

Odległość od początku O do linii E obliczona z postaci normalnej Hessego. Wektor normalny na czerwono, linia na zielono, punkt O na niebiesko.

Postać normalna Hessego , nazwana na cześć Otto Hessego , jest równaniem używanym w geometrii analitycznej i opisuje linię w lub płaszczyznę w przestrzeni euklidesowej $^ {2}}$$\ displaystyle \ mathbb {$ lub hiperpłaszczyzna w wyższych wymiarach. Jest używany głównie do obliczania odległości (patrz odległość punkt-płaszczyzna i odległość punkt-linia ).

Jest zapisany w notacji wektorowej jako

${\ Displaystyle {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {n}} _ {0} -d = 0. \,}$

Kropka wskazuje $skalarny$ lub iloczyn skalarny . Wektor $wskazuje$ od początku układu współrzędnych O do dowolnego punktu P który leży dokładnie w płaszczyźnie lub na linii . Wektor $płaszczyzny$ wektor normalny lub prostej E . Odległość ${\ Displaystyle d \ geq 0}$ to najkrótsza odległość od początku O do płaszczyzny lub linii.

Wyprowadzenie/obliczenie z postaci normalnej

Uwaga: dla uproszczenia poniższe wyprowadzenie omawia przypadek 3D. Jednak ma również zastosowanie w 2D.

W normalnej formie,

${\ Displaystyle ({\ vec {r}} - {\ vec {a}}) \ cdot {\ vec {n}} = 0 \,}$

płaszczyzna jest dana przez wektor normalny ${\ displaystyle$$także$ dowolny wektor położenia punktu $A\w E}$${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ . Kierunek jest wybrany, aby spełnić następującą nierówność ${\ displaystyle {\ vec {n}}}$

${\ Displaystyle {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {n}} \ geq 0 \,}$

Dzieląc ${\ Displaystyle | {\ vec {n}} |}$$|$ jego wielkość otrzymujemy jednostkowy (lub znormalizowany) wektor normalny

${\ Displaystyle {\ vec {n}} _ {0} = {{\ vec {n}} \ ponad {| {\ vec {n}}|}} \,}$

a powyższe równanie można zapisać jako

${\ Displaystyle ({\ vec {r}} - {\ vec {a}}) \ cdot {\ vec {n}} _ {0} = 0. \ ,}$

Zastępowanie

${\ Displaystyle d = {\ vec {a}} \ cdot {\ vec {n}} _ {0} \ geq 0 \,}$

otrzymujemy postać normalną Hessego

${\ Displaystyle {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {n}} _ {0} -d = 0. \,}$

Na tym diagramie d jest odległością od początku. Ponieważ ${\ Displaystyle {\ vec {r}} \ cdot {\ vec {n}} _ {0} = d}$ zachodzi dla każdego punktu na płaszczyźnie, jest to również prawdziwe w punkcie Q ( punkt, w którym wektor z początku styka się z płaszczyzną E ), przy czym ${\ Displaystyle {\ vec {r}} = {\ vec {r}} _ {s}}$ , zgodnie z definicją Produkt skalarny

${\ Displaystyle d = {\ vec {r}} _ {s} \ cdot {\ vec {n}} _ {0} = | {\ vec {r}} _ {s} | \ cdot | {\ vec { n}}_{0}|\cdot \cos(0^{\circ})=|{\vec {r}}_{s}|\cdot 1=|{\vec {r}}_{s} |.\,}$

Wielkość ${\ Displaystyle | {\ vec {r}} _ {s}|}$ z ${\ Displaystyle {{\ vec {r}} _ {s}}}$ to najkrótsza odległość od początku do płaszczyzny.

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Hessian Forma normalna” . MathWorld .