Odległość punktu od płaszczyzny

W przestrzeni euklidesowej odległość od punktu do płaszczyzny to odległość między danym punktem a jego rzutem ortogonalnym na płaszczyznę, odległość prostopadła do najbliższego punktu na płaszczyźnie.

to znaleźć zaczynając od zmiany zmiennych , która przesuwa początek tak, aby pokrywał się z danym punktem, a następnie znajdując punkt na przesuniętej płaszczyźnie ${\ Displaystyle ax + by + cz = d}$ jest najbliżej pochodzenia . Wynikowy punkt ma współrzędne kartezjańskie ${\ Displaystyle (x, y, z)}$ :

\ Displaystyle \ Displaystyle x = {\ Frac {ad }{a^{2}+b^{2}+c^{2}}},\quad \quad \displaystyle y={\frac {bd}{a^{2}+b^{2}+c ^ {2}}}, \ quad \ quad \ displaystyle z = {\ frac {cd} {a ^ {2} + b ^ {2} + c ^ {2}}}}

.

${\ Displaystyle (x, y, z)}$ wynosi ${\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2}+z^{2}}}}$ + .

Przekształcenie problemu ogólnego w problem odległości od początku

$, że chcemy znaleźć najbliższy punkt$ ${\ Displaystyle aX + bY + cZ = D}$ płaszczyźnie do punktu ( , gdzie płaszczyzna . $x = X-X_ {0}}$ Displaystyle , ${\ Displaystyle y = Y-Y_ {0}}$ , ${\ Displaystyle z = Z- Z_ {0}}$ i re ${\ Displaystyle d = D-aX_ {0} -bY_ {0} -cZ_ {0}}$ aby otrzymać ${\ Displaystyle ax + by + cz = d}$ jako płaszczyzna wyrażona za pomocą przekształconych zmiennych. Teraz problemem stało się znalezienie punktu na tej płaszczyźnie najbliższego początku układu współrzędnych i jego odległości od początku układu współrzędnych. Punkt na płaszczyźnie pod względem oryginalnych współrzędnych można znaleźć z tego punktu, korzystając z powyższych relacji między i $X }$ { $displaystyle$ , między ${\ displaystyle y}$ i ${\ displaystyle Y}$ i między a $Displaystyle$ $Z}$ ; odległość pod względem pierwotnych współrzędnych jest taka sama jak odległość pod względem zmienionych współrzędnych.

Przekształcenie za pomocą algebry liniowej

Wzór na punkt najbliższy początku układu współrzędnych można wyrazić bardziej zwięźle za pomocą notacji z algebry liniowej . Wyrażenie $)}$ definicji $jest$ $iloczynem$ skalarnym $b$ i wyrażenie w rozwiązaniem jest kwadratowa norma ${\ Displaystyle | (a, b, c) | ^ {2}}$ . Tak $wektorem , płaszczyznę$ jeśli jest danym ${w}}$ $\$ dla którego ${\ Displaystyle \ mathbf {v} \ cdot \ mathbf {w} = d}$ a najbliższym punktem na tej płaszczyźnie jest wektor

{\ Displaystyle \ mathbf {p} = {\ Frac {\ mathbf {v} d} {| \ mathbf {v} | ^ {2}}}}

.

odległość euklidesowa od początku do płaszczyzny,

{\ Displaystyle {\ Frac {| d |} {| \ mathbf {v} |}} = {\ Frac {| d |} {\ sqrt {a ^ {2} + b ^ {2}+c^{2}}}}}

.

Dlaczego jest to najbliższy punkt

We wzorach współrzędnych lub wektorowych można sprawdzić, czy dany punkt leży na danej płaszczyźnie, podstawiając punkt do równania płaszczyzny.

Aby zobaczyć, że jest to punkt najbliższy początku na płaszczyźnie, zauważ, że jest skalarną wielokrotnością wektora ${p}}$ płaszczyznę i jest ${\ displaystyle \ mathbf$ więc prostopadły do płaszczyzny. Tak więc, jeśli $\$ ${$ \ Displaystyle ${$ $p}$ p {\ Displaystyle \ mathbf { $do$ $}}$ tworzą trójkąt prostokątny , a według twierdzenia Pitagorasa odległość od początku do $displaystyle q}$

{\ Displaystyle {\ sqrt {|\ mathbf {p} | ^ {2} + | \ mathbf {p} - \ mathbf {q} | ^ {2}}}

}

Od $niż$ musi być liczbą dodatnią, ta odległość jest ${\ Displaystyle |\ mathbf {p} |}$ , odległość od początku do ${\ displaystyle \ mathbf {p}}$ .

Alternatywnie możliwe jest przepisanie równania płaszczyzny za pomocą iloczynów skalarnych z zamiast oryginalnego iloczynu skalarnego $z$ (ponieważ te dwa wektory są $\ displaystyle \ mathbf {p}}}$ skalarne wielokrotności siebie), po czym fakt, że $nierówności$ najbliższym punktem, staje się bezpośrednią konsekwencją Cauchy'ego-Schwarza .

Najbliższy punkt i odległość dla hiperpłaszczyzny i dowolnego punktu

Równanie wektorowe dla hiperpłaszczyzny w -wymiarowej przestrzeni euklidesowej $\ mathbb {R} ^ {n}}$ $Displaystyle$ przez punkt z wektorem normalnym ${\ Displaystyle \ mathbf {a} \ neq \ mathbf {0}}$ $\ displaystyle \ mathbf {p}}$ jest ${\ Displaystyle (\ mathbf {x} - \ mathbf {p}) \ cdot \ mathbf {a} = 0 }$ lub ${\ Displaystyle \ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {a} = d}$ gdzie ${\ Displaystyle d = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {a}}$ . Odpowiednią formą kartezjańską jest $cdots + a_ {n } x_ {n} = d}$ gdzie ${\ Displaystyle d = \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {a} = a_ { 1}p_{1}+a_{2}p_{2}+\cdots a_{n}p_{n}}$ .

Najbliższy punkt na tej hiperpłaszczyźnie do dowolnego punktu to y $\ displaystyle \ mathbf {y}}$

\ Displaystyle \ mathbf {x} = \ mathbf {y} - \ lewo [{{ \dfrac {(\mathbf {y} -\mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} =\mathbf {y} -\lewo[{\dfrac {\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d}{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} }

a odległość od hiperpłaszczyzny wynosi ${\ displaystyle \ mathbf {y}}$

{\ Displaystyle \ lewo \ |\ mathbf {x} - \ mathbf {y} \ prawo \ | = \ lewo \ | \ lewo [{\ dfrac {(\ mathbf {y} - \ mathbf {p}) \cdot \mathbf {a} }{\mathbf {a} \cdot \mathbf {a} }}\right]\mathbf {a} \right\|={\dfrac {\left|(\mathbf {y} - \mathbf {p} )\cdot \mathbf {a} \right|}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}={\dfrac {\left|\mathbf {y} \cdot \mathbf {a} -d\right|}{\left\|\mathbf {a} \right\|}}}

.

Zapisany w postaci kartezjańskiej najbliższy punkt jest podany przez $\ Displaystyle x_ {i} = y_ {i} -ka_ {i}}$ dla ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik i\równik n}$ gdzie