Przypuszczenie Leopolda

W algebraicznej teorii liczb hipoteza Leopolda , wprowadzona przez H.-W. Leopoldt ( 1962 , 1975 ) stwierdza, że ​​regulator p-adyczny pola liczbowego nie znika. Regulator p-adic jest analogiem zwykłego regulatora zdefiniowanego za pomocą logarytmów p-adycznych zamiast zwykłych logarytmów, wprowadzonych przez H.-W. Leopolda ( 1962 ).

Leopoldt zaproponował definicję regulatora p-adycznego R _p dołączonego do K i liczby pierwszej p . Definicja R _p używa odpowiedniego wyznacznika z wpisami logarytmu p-adic zespołu prądotwórczego jednostek K (do skręcania), na sposób zwykłego regulatora. Przypuszczenie, które dla ogólnego K jest nadal otwarte od 2009 roku, wychodzi następnie jako stwierdzenie, że R _p nie jest równe zeru.

Sformułowanie

Niech K będzie ciałem liczbowym i dla każdej liczby pierwszej P z K powyżej pewnej ustalonej wymiernej liczby pierwszej p , niech UP oznacza jednostki lokalne w _P i niech U _{1, P} oznacza podgrupę jednostek głównych _w UP . Ustawić

${\ Displaystyle U_ {1} = \ prod _ {P | p} U_ {1, P}.}$

Następnie niech E ₁ oznacza zbiór jednostek globalnych ε , które odwzorowują U ₁ poprzez ukośne osadzenie jednostek globalnych w E .

Ponieważ jest podgrupą jednostek globalnych o skończonym $displaystyle r_ {1} + r_ {2} -1 }$ , jest to grupa rangi r ${$ , gdzie jest liczbą rzeczywistych osadzeń $\$ r $Displaystyle r_ {2}}$ liczbą par $.$ Przypuszczenie Leopolda stwierdza, że ​​​​- $osadzony$ rangi zamknięcia mi $\ Displaystyle E_ {1}}$ po przekątnej w ${\ displaystyle U_ {1}}$ jest również Z p {\ displaystyle \ mathbb {Z ${\ Displaystyle r_ {1} + r_ {2} -1.}$

Przypuszczenie Leopolda jest znane w szczególnym przypadku, w którym jest abelowym rozszerzeniem lub abelowym rozszerzeniem urojonego kwadratowego pola liczbowego : Ax (1965) $\ mathbb {Q}}$ przypadek abelowy do $displaystyle$ p-adyczna wersja twierdzenia Bakera , którą wkrótce potem udowodnił Brumer (1967) . Mihailescu ( 2009 , 2011 ) ogłosił dowód hipotezy Leopolda dla wszystkich rozszerzeń CM z ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ .

Colmez ( 1988 ) wyraził resztę p - adycznej funkcji zeta Dedekinda całkowicie rzeczywistego pola przy s = 1 w kategoriach p -adicznego regulatora. W konsekwencji hipoteza Leopolda dla tych ciał jest równoważna ich p -adycznej funkcji zeta Dedekinda o prostym biegunie przy s = 1.

•     Ax, James (1965), „O jednostkach algebraicznego pola liczbowego” , Illinois Journal of Mathematics , 9 (4): 584–589, doi : 10.1215/ijm/1256059299 , ISSN 0019-2082 , MR 0181630 , Zbl 0132.28303
•     Brumer, Armand (1967), „O jednostkach algebraicznych pól liczbowych”, Mathematika , 14 (2): 121–124, doi : 10.1112 / S0025579300003703 , ISSN 0025-5793 , MR 0220694 , Zbl 0171.01105
•      Colmez, Pierre (1988), „Résidu en s = 1 des funkctions zeta p-adiques”, Inventiones Mathematicae , 91 (2): 371–389, Bibcode : 1988InMat..91..371C , doi : 10.1007/BF01389373 , ISSN 0020-9910 , MR 0922806 , S2CID 118434651 , Zbl 0651.12010
• Kolster, M. (2001) [1994], „Przypuszczenie Leopolda” , Encyklopedia matematyki , EMS Press
•      Leopoldt, Heinrich-Wolfgang (1962), „Zur Arithmetik in Abelschen Zahlkörpern” , Journal Für Die Reine unn und angewandte Mathematik , 1962 (209): 54–71, doi : 10.1515/crll.1962.209.54 , Issn 0075-4102 , Mr 0139602 , S2CID 117123955 , Zbl 0204.07101
•    Leopoldt, HW (1975), "Eine p-adische Theorie der Zetawerte II", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1975 (274/275): 224–239, doi : 10.1515/crll.1975.274-275.224 , S2CID 118013793 , Zbl 0309.12009 .
• Mihăilescu, Preda (2009), Komponenty T i T * modułów Λ i hipoteza Leopolda , arXiv : 0905.1274 , Bibcode : 2009arXiv0905.1274M
• Mihăilescu, Preda (2011), hipoteza Leopoldta dla pól CM , arXiv : 1105,4544 , Bibcode : 2011arXiv1105.4544M
•     Neukirch, Jürgen ; Schmidt, Aleksander; Wingberg, Kay (2008), Kohomologia pól liczbowych , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften , tom. 323 (wydanie drugie), Berlin: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-37888-4 , MR 2392026 , Zbl 1136.11001
•    Washington, Lawrence C. (1997), Wprowadzenie do pól cyklotomicznych (wyd. Drugie), Nowy Jork: Springer, ISBN 0-387-94762-0 , Zbl 0966.11047 .