sfera Bergera
W geometrii Riemanna , sfera Bergera , nazwana na cześć Marcela Bergera , jest standardową 3-kulą z metryką Riemanna z rodziny jednoparametrowej, którą można uzyskać ze standardowej metryki poprzez kurczenie się wzdłuż włókien włóknienia Hopfa . Jest to o tyle ciekawe, że jest to jeden z najprostszych przykładów upadku Gromowa .
Dokładniej, najpierw rozważymy algebrę Liego rozpiętą przez generatory x 1 , x 2 , x 3 z nawiasem Liego [ x i , x j ] = −2ε ijk x k . Wiadomo, że odpowiada to prosto połączonej grupie Liego S3 . Oznaczmy przez ω 1 , ω 2 , ω 3 lewy niezmiennik 1 na S 3 , który równa się dualnym kowektorom x 1 , x 2 , x 3 . Wtedy standardową metryką na S 3 jest ω 1 2 + ω 2 2 + ω 3 2 . Metryka Bergera to βω 1 2 + ω 2 2 + ω 3 2 , dla dowolnej stałej β>0.
Istnieją również wielowymiarowe analogi sfer Bergera.