stronniczość Czebyszewa

Wykres funkcji

{\ Displaystyle \ pi (x; 4,3) - \ pi (x; 4,1)}

dla n ≤ 30000

W teorii liczb stronniczość Czebyszewa jest zjawiskiem polegającym na tym, że przez większość czasu jest więcej liczb pierwszych postaci 4 k + 3 niż postaci 4 k + 1 , aż do tej samej granicy. Zjawisko to zostało po raz pierwszy zaobserwowane przez rosyjskiego matematyka Pafnutija Czebyszewa w 1853 roku.

Opis

Niech π( x ; n , m ) oznacza liczbę liczb pierwszych postaci nk + m aż do x . Z twierdzenia o liczbach pierwszych (rozszerzonego na postęp arytmetyczny ),

{\ Displaystyle \ pi (x; 4,1) \ sim \ pi (x; 4,3) \ sim {\ Frac {1} {2}} {\ Frac {x} {\ log x}}.}

Oznacza to, że połowa liczb pierwszych ma postać 4 k + 1, a połowa postaci 4 k + 3. Rozsądnym założeniem byłoby, że π( x ; 4, 1) > π ( x ; 4, 3) i π( x ; 4, 1) < π ( x ; 4, 3) również występują w 50% przypadków. To jednak nie jest poparte dowodami liczbowymi — w rzeczywistości π( x ; 4, 3) > π ( x ; 4, 1) występuje znacznie częściej. Na przykład ta nierówność zachodzi dla wszystkich liczb pierwszych x <26833 z wyjątkiem 5, 17, 41 i 461, dla których π ( x ; 4, 1) = π ( x ; 4, 3). Pierwsze x takie, że π( x ; 4, 1) > π ( x ; 4, 3) wynosi 26861, czyli π ( x ; 4, 3) ≥ π ( x ; 4, 1) dla wszystkich x < 26861 .

Ogólnie, jeśli 0 < a , b < n są liczbami całkowitymi, NWD ( a , n ) = NWD ( b , n ) = 1, a jest resztą kwadratową mod n , b jest kwadratową resztą nieresztową mod n , to π ( x ; n , b ) > π( x ; n , a ) występuje częściej niż nie. Zostało to udowodnione jedynie przez przyjęcie mocnych postaci hipotezy Riemanna . Mocniejsze przypuszczenie Knapowskiego i Turána , że gęstość liczb x , dla których zachodzi π( x ; 4, 3) > π ( x ; 4, 1) wynosi 1 (czyli zachodzi dla prawie wszystkich x ), obróciło się okazać się fałszywe. Mają jednak gęstość logarytmiczną , która wynosi około 0,9959....

Uogólnienia

To jest dla k = −4, aby znaleźć najmniejszą liczbę pierwszą p taką, że ${\ Displaystyle \ suma _ {q \ równoważnik p, \ q \ {\ tekst {jest liczbą pierwszą} }} \ lewo ({\ Frac {k} {q}} \ prawej)> 0}$ (gdzie ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {m} {n}} \ prawej)}$ jest Kronecker symbol ), jednak dla danej niezerowej liczby całkowitej k (nie tylko k = −4) możemy również znaleźć najmniejszą liczbę pierwszą p spełniającą ten warunek. Zgodnie z twierdzeniem o liczbach pierwszych dla każdej niezerowej liczby całkowitej k istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych p spełniających ten warunek.

Dla dodatnich liczb całkowitych k = 1, 2, 3, ..., najmniejszymi liczbami pierwszymi p są

2, 11100143, 61981, 3, 2082927221, 5, 2, 11100143, 2, 3, 577, 61463, 2083, 11, 2, 3, 2, 11100121, 5, 2082927199, 1217, 3, 2, 5, 2, 17, 61981, 3, 719, 7, 2, 11100143, 2, 3, 23, 5, 11, 31, 2, 3, 2, 13, 17, 7, 2082927199, 3, 2, 61463, 2, 11100121, 7, 3, 17, 5, 2, 11, 2, 3, 31, 7, 5, 41, 2, 3, ... ( OEIS : A306499 jest podciągiem, dla k = 1, 5 , 8 , 12 , 13, 17, 21, 24, 28, 29, 33, 37, 40, 41, 44, 53, 56, 57, 60, 61, ... OEIS : A003658 )

Dla ujemnych liczb całkowitych k = −1, −2, −3, ..., najmniejsze liczby pierwsze p są

2, 3, 608981813029, 26861, 7, 5, 2, 3, 2, 11, 5, 608981813017, 19, 3, 2, 26861, 2, 643, 11, 3, 11, 31, 2, 5, 2, 3, 608981813029, 48731, 5, 13, 2, 3, 2, 7, 11, 5, 199, 3, 2, 11, 2, 29, 53, 3, 109, 41, 2, 608981813017, 2, 3, 13, 17, 23, 5, 2, 3, 2, 1019, 5, 263, 11, 3, 2, 26861, ... ( OEIS : A306500 jest podciągiem, dla k = −3 , −4, −7 , -8, -11, -15, -19, -20, -23, -24, -31, -35, -39, -40, -43, -47, -51, -52, -55, - 56, −59, ... OEIS : A003657 )

Dla każdej (dodatniej lub ujemnej) niekwadratowej liczby całkowitej k , jest więcej liczb pierwszych p z ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {k} {p}} \ prawej) = -1}$ niż z ${\ Displaystyle \ lewo ({\ Frac {k} {p}} \ prawej) = 1$ (do tego samego limitu) częściej niż nie.

Rozszerzenie do pozostałości o większej mocy

Niech m i n będą liczbami całkowitymi takimi, że m ≥0, n >0, NWD( m , n ) = 1, zdefiniujmy funkcję ${\ Displaystyle f (m, n) = \ suma _ {p \ {\ tekst {jest}} \ {\ tekst {pierwsza}}, \ p \ środkowy \ phi (n),\ x^{p}\equiv m(\mod n){\text{ma rozwiązanie}}}\left({\frac {1}{p}}\right)} , gdzie$ ϕ $\ displaystyle \phi }$ to funkcja totient Eulera .

Na przykład fa (1, 5) = fa (4, 5) = 1/2, fa (2, 5) = fa (3, 5) = 0, fa (1, 6) = 1/2, fa ( 5, 6) = 0, fa (1, 7) = 5/6, fa (2, 7) = fa (4, 7) = 1/2, fa (3, 7) = fa (5, 7) = 0, fa (6, 7) = 1/3, fa (1, 8) = 1/2, fa (3, 8) = fa (5, 8) = fa (7, 8) = 0, fa (1 , 9) = 5/6, fa (2, 9) = fa (5, 9) = 0, fa (4, 9) = fa (7, 9) = 1/2, fa (8, 9) = 1 /3.

Przypuszcza się, że jeśli 0 < a , b < n są liczbami całkowitymi, NWD( a , n ) = NWD( b , n ) = 1, f ( a , n ) > f ( b , n ), to π ( x ; n , b ) > π( x ; n , a ) występuje częściej niż nie.

PL Czebyszew: Lettre de M. le Professeur Tchébychev à M. Fuss sur un nouveaux théorème relatif aux nombres premiers contenus dans les formes 4 n + 1 et 4 n + 3, Bull. Fizyka klasy. Acad. Chochlik. nauka Petersburg , 11 (1853), 208.
Granville, Andrzej ; Martin, Greg (2006). „Wyścigi liczb pierwszych”. Amer. Matematyka Miesięczny . 113 (1): 1–33. doi : 10.1080/00029890.2006.11920275 . JSTOR 27641834 . S2CID 3846453 .
J. Kaczorowski: O rozkładzie liczb pierwszych (mod 4), Analiza , 15 (1995), 159–171.
S. Knapowski, Turan: Porównawcza teoria liczb pierwszych, I, Acta Math. Acad. nauka Zawieszony. , 13 (1962), 299-314.
Rubinstein, M.; Sarnak, P. (1994). „Stronniczość Czebyszewa”. Matematyka eksperymentalna . 3 (3): 173–197. doi : 10.1080/10586458.1994.10504289 .

Linki zewnętrzne

Weisstein, Eric W. „Odchylenie Czebyszewa” . MathWorld .
(sekwencja A007350 w OEIS ) (gdzie główna rasa 4n+1 kontra 4n+3 zmienia lidera)
(sekwencja A007352 w OEIS ) (gdzie główna rasa 3n+1 kontra 3n+2 zmienia lidera)