sześcienny Tschirnhausena

Sześcienny Tschirnhausena, przypadek a = 1

W geometrii algebraicznej sześcienny Tschirnhausena lub sześcienny Tschirnhausa jest płaską krzywą zdefiniowaną w postaci otwierającej się w lewo równaniem biegunowym

${\ Displaystyle R = a \ sek ^ {3} \ lewo ({\ Frac {\ teta} {3}} \ prawej)}$

gdzie s jest sieczną funkcją .

Historia

Krzywą badali von Tschirnhaus , de L'Hôpital i Catalan . Nazwę sześcienną Tschirnhausen nadano mu w artykule RC Archibalda z 1900 roku, chociaż czasami jest znany jako sześcienny de L'Hôpital lub trisectrix języka katalońskiego.

Inne równania

t ${\ Displaystyle t = \ tan (\ teta / 3)$ . Następnie zastosowanie formuł potrójnego kąta daje

${\ Displaystyle x = a \ cos \ theta \ sec ^ {3} {\ Frac {\ theta} {3}} = a \ lewo (\ cos ^ {3} {\ Frac {\ theta} {3}} - 3 \ cos {\ frac {\ theta }{3}} \ sin ^ {2}{\ frac {\ theta }{3}} \ right) \ sec ^ {3} \ frac {\ theta }{3} } = a \ lewo (1-3 \ tan ^ {2} {\ Frac {\ teta} {3}} \ prawo)}$

${\ Displaystyle = a (1-3 t ^ { 2})}$

${\ Displaystyle y = a \ sin \ teta \ sek ^ {3} {\ Frac {\ theta }{3}}=a\left(3\cos ^{2}{\frac {\theta }{3}}\sin {\frac {\theta}{3}}-\sin ^{3}{ \frac {\theta }{3}}\right)\sec ^{3}{\frac {\theta }{3}}=a\left(3\tan {\frac {\theta}{3}}- \tan ^{3}{\frac {\theta}{3}}\right)}$

${\ Displaystyle = w (3-t ^ {2})}$

nadając krzywej postać parametryczną . Parametr t można łatwo wyeliminować, dając równanie kartezjańskie

${\ Displaystyle 27ay ^ {2} = (ax) (8a + x) ^ {2}}$ .

Jeśli krzywa zostanie przesunięta poziomo o 8 a i znaki zmiennych zostaną zmienione, równania wynikowej krzywej otwierającej się w prawo są

${\ Displaystyle x = 3a (3-t ^ {2})}$

${\ Displaystyle y = w (3-t ^ {2} )}$

i we współrzędnych kartezjańskich

${\ Displaystyle x ^ {3} = 9a \ lewo (x ^ {2} -3y ^ {2} \ prawo)}$ .

Daje to alternatywną formę biegunową

${\ Displaystyle r = 9a \ lewo (\ sek \ teta -3 \ sek \ teta \ tan ^ {2} \ teta \ po prawej)}$ .

Uogólnienie

Sześcienny Tschirnhausena to spirala sinusoidalna o n = −1/3.

• JD Lawrence, Katalog specjalnych krzywych płaszczyzny . Nowy Jork: Dover, 1972, s. 87-90.

Linki zewnętrzne

• Weisstein, Eric W. „Tschirnhausen Cubic” . MathWorld .
• „Cubic Tschirnhausa” w archiwum MacTutor History of Mathematics
• Sześcienny Tschirnhausena na mathcurve.com