unduloidalny

Wygenerowany komputerowo unduloid

W geometrii unduloid lub onduloid jest powierzchnią o stałej niezerowej średniej krzywiźnie otrzymanej jako powierzchnia obrotu eliptycznej sieci trakcyjnej : to znaczy przez toczenie elipsy wzdłuż ustalonej linii, śledzenie ogniska i obracanie powstałej krzywej wokół linia. W 1841 Delaunay udowodnił, że tylko powierzchnie rewolucji o stałej średniej krzywiźnie były powierzchnie otrzymane przez obracanie ruletek stożków. Są to płaszczyzna, walec, kula, katenoid , unduloid i nodoid .

Formuła

Niech ${\ Displaystyle \ operatorname {sn} (u, k)}$ reprezentuje normalną funkcję sinus Jacobiego i ${\ Displaystyle \ operatorname {dn} (u, k)}$ będzie normalną funkcją eliptyczną Jacobiego i niech reprezentuje normalną całkę eliptyczną ${\ Displaystyle \ operatorname {F} (z, k)}$ pierwszego $i$ normalną Niech a będzie długością głównej osi elipsy , a e ekscentrycznością elipsy . Niech k będzie stałą wartością z przedziału od 0 do 1, zwaną modułem.

Biorąc pod uwagę te zmienne,

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {x} (u) = - a (1-e) (\ nazwa operatora {F} (\ nazwa operatora {sn} (u, k), k)+\nazwa_operatora {F} (1,k))-a(1+e)(\nazwa_operatora {E} (\nazwa_operatora {sn} (u,k),k)+\nazwa_operatora {E} (1, k))\,}$

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {y} (u) = a (1 + e) ​​\ nazwa operatora {dn} (u, k) \,}$

Wzór na powierzchnię obrotową, która jest unduloidem, jest wtedy

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {X} (u, v) =\langle \nazwa_operatora {x} (u),\nazwa_operatora {y} (u)\cos(v),\nazwa_operatora {y} (u)\sin(v)\rangle \,}$

Nieruchomości

Jedną z interesujących właściwości unduloidu jest to, że średnia krzywizna jest stała. W rzeczywistości średnia krzywizna na całej powierzchni jest zawsze odwrotnością podwójnej długości osi głównej: 1/(2 a ).

Ponadto geodezja na unduloidzie jest zgodna z relacją Clairauta , a zatem ich zachowanie jest przewidywalne.

Występowanie w materiałoznawstwie

Unduloidy nie są powszechnym wzorem w przyrodzie. Istnieje jednak kilka okoliczności, w których się tworzą. Po raz pierwszy udokumentowane w 1970 r., przepuszczanie silnego prądu elektrycznego przez cienki (0,16-1,0 mm), zamontowany poziomo, ciągniony na twardo (niehartowany ) srebrny drut spowoduje powstanie unduloidów wzdłuż jego długości. Później odkryto, że zjawisko to występuje również w molibdenowym . Unduloidy zostały również utworzone z ferrofluidami . Przepuszczając prąd osiowo przez cylinder pokryty lepką warstwą płynu magnetycznego, dipole magnetyczne płynu oddziałuje z polem magnetycznym prądu, tworząc wzór kropelek wzdłuż długości cylindra.