Łańcuch Pappus

Łańcuch Pappus

W geometrii łańcuch Pappus jest pierścieniem okręgów między dwoma stycznymi okręgami badanymi przez Pappusa z Aleksandrii w III wieku naszej ery .

Budowa

Arbelos _{jest zdefiniowany przez} dwa okręgi, CU i CV , które są styczne w punkcie A i gdzie CU _{jest ograniczone} przez CV . Niech promienie tych dwóch okręgów oznaczymy odpowiednio jako r _U i r _V , a ich odpowiednie środki niech będą punktami U i V . Łańcuch Pappus składa się z okręgów w zacienionym szarym obszarze, które są zewnętrznie styczne _do CU (okrąg wewnętrzny) i styczna wewnętrznie do C _V (okrąg zewnętrzny). Niech promień, średnica i środek n - ^tego okręgu łańcucha Pappusa oznaczymy odpowiednio jako r _n , d _n i P _n .

Nieruchomości

Centra kręgów

Elipsa

Wszystkie środki okręgów w łańcuchu Pappus znajdują się na wspólnej elipsie z następującego powodu. Suma odległości od n ^-tego okręgu łańcucha Pappus do dwóch centrów U i V okręgów arbelos jest równa stałej

${\ Displaystyle {\ overline {\ mathbf {P} _ {n} \ mathbf {U}}} + {\ overline {\ mathbf {P} _ {n} \ mathbf {V}}} = \ lewo (r_ {U} + r_ {n} \ prawej) + \ lewo(r_{V}-r_{n}\prawo)=r_{U}+r_{V}}$

Zatem ogniskami tej elipsy są U i V , środki dwóch okręgów definiujących arbelos; punkty te odpowiadają odpowiednio punktom środkowym odcinków linii AB i AC .

Jeśli r = AC / AB , to środek n- tego okręgu w łańcuchu to:

${\ Displaystyle \ lewo (x_ {n}, y_ {n} \ prawej) = \ lewo ({\ Frac {r (1 + r)}} {2 [n ^ {2} (1-r) ^ {2} + r]}} ~, ~ {\ Frac {nr (1-r)}} {n ^ {2} (1-r) ^ {2} + r}} \ prawej)}$

Promienie okręgów

Jeśli r = AC / AB , to promień n- tego okręgu w łańcuchu wynosi:

${\ Displaystyle r_ {n} = {\ Frac {(1-r) r} {2 [n ^ {2} (1-r) ^ {2} + r]}}}$

Odwrócenie koła

W ramach szczególnej inwersji wyśrodkowanej na A , cztery początkowe okręgi łańcucha Pappus są przekształcane w stos czterech okręgów jednakowej wielkości, umieszczonych pomiędzy dwiema równoległymi liniami. Uwzględnia to wzór na wysokość h _n = n d _n oraz fakt, że pierwotne punkty styczności leżą na wspólnym okręgu.

Wysokość h _n środka n ^-tego okręgu powyżej średnicy podstawy ACB jest równa n razy d _n . Można to pokazać przez odwrócenie w okręgu wyśrodkowanym na punkcie stycznej A . Okrąg inwersji jest wybrany tak, aby przecinał n- ^ty okrąg prostopadle, tak aby n- ^ty okrąg został przekształcony w siebie. Dwa okręgi arbelos _, CU i C _{V 0} , są przekształcane w linie równoległe styczne i leżące na n- ^tym okręgu; stąd inne kręgi łańcucha Pappusa są przekształcane w podobnie złożone kręgi o tej samej średnicy. Początkowy okrąg C i ostatni okrąg Cn składają się po ½ d _n na wysokość h _{n , podczas gdy} każdy z okręgów C ₁ – C _{n −1 składa się na} d _n . Dodanie tych wkładów razem daje równanie h _n = n re _n .

Tej samej inwersji można użyć, aby pokazać, że punkty, w których okręgi łańcucha Pappusa są styczne do siebie, leżą na wspólnym okręgu. Jak wspomniano powyżej, inwersja wyśrodkowana w punkcie A przekształca okręgi arbelos CU i C _V w dwie równoległe linie, a okręgi łańcucha Pappusa w stos okręgów jednakowej wielkości umieszczony pomiędzy dwiema równoległymi liniami _. Stąd punkty styczności między przekształconymi okręgami leżą na linii w połowie między dwiema równoległymi liniami. Cofając inwersję w okręgu, ta linia punktów stycznych jest przekształcana z powrotem w okrąg.

łańcuch Steinera

W tych właściwościach posiadania środków na elipsie i stycznych na okręgu, łańcuch Pappus jest analogiczny do łańcucha Steinera , w którym skończenie wiele okręgów jest stycznych do dwóch okręgów.

Bibliografia

•   Ogilvy, CS (1990). Wycieczki w geometrii . Dover. s. 54–55 . ISBN 0-486-26530-7 .
• Bankoff, L. (1981). „Jak Pappus to zrobił?”. W Klarner, DA (red.). Matematyczny Gardner . Boston: Prindle, Weber i Schmidt. s. 112–118.
•   Johnson, RA (1960). Zaawansowana geometria euklidesowa: elementarny traktat o geometrii trójkąta i koła (przedruk wydania z 1929 r. Wyd. Houghton Mifflin). Nowy Jork: Dover Publications. s. 116–117. ISBN 978-0-486-46237-0 .
•   Wells, D. (1991). Słownik pingwinów o ciekawej i interesującej geometrii . Nowy Jork: Penguin Books. s. 5–6 . ISBN 0-14-011813-6 .

Linki zewnętrzne

• Floer van Lamoen i Eric W. Weisstein. „Łańcuch papusa” . MathWorld .
• Tan, Stefan. „Arbelos” .