Ślad Dixmiera

W matematyce ślad Dixmiera , wprowadzony przez Jacquesa Dixmiera ( 1966 ), jest nienormalnym śladem w przestrzeni operatorów liniowych w przestrzeni Hilberta większej niż przestrzeń operatorów klas śladowych . Ślady Dixmiera są przykładami śladów pojedynczych .

Niektóre zastosowania śladów Dixmiera w geometrii nieprzemiennej opisano w ( Connes 1994 ).

Definicja

Jeśli H jest przestrzenią Hilberta, to L ^1,∞ ( H ) jest przestrzenią zwartych operatorów liniowych T na H takich, że norma

${\ Displaystyle \ | T \ | _ {1, \ infty} = \ sup _ {N} {\ Frac { \sum _{i=1}^{N}\mu _{i}(T)}{\log(N)}}}$

jest skończony, gdzie liczby μ _i ( T ) są wartościami własnymi | T | uporządkowane malejąco. Pozwalać

${\ Displaystyle a_ {N} = {\ Frac {\ suma _ {i = 1} ^ {N} \ mu _ {i} (T )}{\log(N)}}}$ .

Ślad Dixmiera Tr _ω ( T ) z T jest zdefiniowany dla dodatnich operatorów T z L ^1,∞ ( H ) być

${\ Displaystyle \ nazwa operatora {Tr} _ {\ omega} (T) = \ lim _ {\ omega} a_ {N}}$

gdzie lim _ω jest niezmiennym w skali dodatnim „przedłużeniem” zwykłej granicy na wszystkie ograniczone sekwencje. Innymi słowy, ma następujące właściwości:

• lim _ω ( α _n ) ≥ 0 jeśli wszystkie α _n ≥ 0 (pozytywność)
• lim _ω ( α _n ) = lim( α _n ) ilekroć istnieje granica zwyczajna
• lim _ω ( α ₁ , α ₁ , α ₂ , α ₂ , α ₃ , ...) = lim _ω ( α _n ) (niezmienność skali)

Istnieje wiele takich rozszerzeń (takich jak granica Banacha α ₁ , α ₂ , α ₄ , α ₈ ,...), więc istnieje wiele różnych śladów Dixmiera. Ponieważ ślad Dixmiera jest liniowy, rozciąga się liniowo na wszystkie operatory L ^1,∞ ( H ). Jeśli ślad Dixmiera operatora jest niezależny od wyboru lim _ω , wówczas operator nazywamy mierzalnym .

Nieruchomości

• Tr _ω ( T ) jest liniowe w T .
• Jeśli T ≥ 0 to Tr _ω ( T ) ≥ 0
• Jeśli S jest ograniczone, to Tr _ω ( ST ) = Tr _ω ( TS )
• Tr _ω ( T ) nie zależy od wyboru iloczynu wewnętrznego na H .
• Tr _ω ( T ) = 0 dla wszystkich operatorów klasy śladowej T , ale istnieją operatory zwarte, dla których jest on równy 1.

Ślad φ nazywamy normalnym , jeśli φ (sup x _α ) = sup φ ( x _α ) dla każdej ograniczonej rosnącej skierowanej rodziny operatorów dodatnich. Każdy normalny ślad na $śladowi$ nienormalnego.

Przykłady

Zwarty operator samosprzężony o wartościach własnych 1, 1/2, 1/3, ... ma ślad Dixmiera równy 1.

Jeśli wartości własne μ _i operatora dodatniego T mają taką właściwość, że

${\ Displaystyle \ zeta _ {T} (s) = \ nazwa operatora {Tr} (T ^ {s}) = \ suma {\ mu _ { i}^{s}}}$

jest zbieżny dla Re( s )>1 i rozciąga się na funkcję meromorficzną w pobliżu s = 1 z co najwyżej prostym biegunem w s = 1, to ślad Dixmiera T jest resztą w s = 1 (a w szczególności jest niezależny od wybór ω).

Connes (1988) wykazał, że nieprzemienna reszta Wodzickiego ( Wodzicki 1984 ) operatora pseudoróżnicowego na rozmaitości M rzędu -dim(M) jest równa jego śladowi Dixmiera.

• Albeverio S.; Guido, D.; Ponosow, A.; Scarlatti S.: Ślady pojedyncze i operatory zwarte. J. Funkcja. Analny. 137 (1996), nr. 2, 281-302.
•    Connes, Alain (1988), „Funkcjonał działania w geometrii nieprzemiennej” , Communications in Mathematical Physics , 117 (4): 673–683, doi : 10.1007 / BF01218391 , ISSN 0010-3616 , MR 0953826
•   Connes, Alain (1994), nieprzemienna geometria , Boston, MA: Academic Press , ISBN 978-0-12-185860-5
•    Dixmier, Jacques (1966), "Existence de traces non normales", Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série A et B , 262 : A1107-A1108, ISSN 0151-0509 , MR 0196508
•    Wodzicki, M. (1984), „Lokalne niezmienniki asymetrii widmowej”, Inventiones Mathematicae , 75 (1): 143–177, doi : 10.1007/BF01403095 , ISSN 0020-9910 , MR 0728144

Zobacz też

• Pojedynczy ślad