Pojedynczy ślad

W matematyce pojedynczy ślad to ślad na przestrzeni operatorów liniowych separowalnej przestrzeni Hilberta , który znika na operatorach skończonego rzędu . Ślady osobliwe są cechą nieskończenie wymiarowych przestrzeni Hilberta, takich jak przestrzeń sekwencji sumowalnych do kwadratu i przestrzenie funkcji całkowalnych do kwadratu . Operatory liniowe w skończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta mają tylko funkcjonał zera jako pojedynczy ślad, ponieważ wszystkie operatory mają skończony rząd. Na przykład algebry macierzowe nie mają nietrywialnych pojedynczych śladów, a ślad macierzy jest unikalnym śladem aż do skalowania.

Amerykański matematyk Gary Weiss, a później brytyjski matematyk Nigel Kalton , zaobserwowali w przypadku nieskończenie wymiarowym, że na ideale operatorów klas śladowych istnieją nietrywialne pojedyncze ślady . Dlatego w odróżnieniu od przypadku skończenie wymiarowego, w nieskończonych wymiarach ślad operatora kanonicznego nie jest śladem unikalnym aż do skalowania. Ślad operatora jest ciągłym rozszerzeniem śladu macierzy od operatorów skończonego rzędu do wszystkich operatorów klasy śladu, a termin liczba pojedyncza wywodzi się z faktu, że ślad liczby pojedynczej znika tam, gdzie obsługiwany jest ślad macierzy, analogicznie do miara osobliwa znikająca tam, gdzie obsługiwana jest miara Lebesgue'a.

Pojedyncze ślady mierzą asymptotyczne zachowanie widmowe operatorów i znalazły zastosowanie w nieprzemiennej geometrii francuskiego matematyka Alaina Connesa . W kategoriach heurystycznych ślad liczby pojedynczej odpowiada sposobowi sumowania liczb a ₁ , a ₂ , a ₃ , ... czyli całkowicie ortogonalnemu lub „pojedynczemu” w odniesieniu do zwykłej sumy a ₁ + a ₂ + a ₃ + . .. . Pozwala to matematykom sumować sekwencje, takie jak ciąg harmoniczny (i operatory o podobnym zachowaniu widmowym), które są rozbieżne dla zwykłej sumy . W podobny sposób można zbudować (nieprzemienną) teorię miary lub teorię prawdopodobieństwa dla rozkładów takich jak rozkład Cauchy'ego (i operatorów o podobnym zachowaniu widmowym), które nie mają skończonej wartości oczekiwanej w zwykłym sensie.

Pochodzenie

W 1950 roku francuski matematyk Jacques Dixmier , twórca teorii półskończoności algebr von Neumanna , uważał, że ślad po operatorach ograniczonych separowalnej przestrzeni Hilberta będzie automatycznie normalny ^{[ potrzebne wyjaśnienie ]} aż do kilku trywialnych kontrprzykładów. W ciągu 15 lat Dixmier, wspomagany sugestią Nachmana Aronszajna i nierównościami udowodnionymi przez Josepha Herscha, opracował przykład nietrywialnego, ale nienormalnego [wymagane wyjaśnienie] ^{śladu na słabych} operatorach klas śladowych , obalając jego wcześniejszy pogląd. Pojedyncze ślady oparte na konstrukcji Dixmiera nazywane są śladami Dixmiera .

Niezależnie i różnymi metodami niemiecki matematyk Albrecht Pietsch (de) badał ślady na ideałach operatorów w przestrzeniach Banacha. W 1987 roku Nigel Kalton odpowiedział na pytanie Pietscha, pokazując, że ślad operatora nie jest unikalnym śladem na quasi-znormalizowanych właściwych ideałach operatorów klas śladowych w przestrzeni Hilberta. József Varga niezależnie przestudiował podobne pytanie. Aby rozwiązać kwestię wyjątkowości śladu na pełnym ideale operatorów klas śladowych, Kalton opracował warunek widmowy dla podprzestrzeni komutatora operatorów klas śladowych na podstawie wyników Gary'ego Weissa. Konsekwencją wyników Weissa i stanu widmowego Kaltona było istnienie nietrywialnych śladów osobliwych na operatorach klas śladowych.

Również niezależnie iz innego kierunku Mariusz Wodzicki badał nieprzemienną resztę , ślad na klasycznych pseudoróżnicowych operatorach na zwartej rozmaitości, który znika na śladowych pseudo-różnicowych operatorach rzędu mniejszego od ujemnego wymiaru rozmaitości.

Definicja

${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ dwustronnym ideale J ograniczonych operatorów liniowych B ( H ) na rozdzielnej przestrzeni Hilberta H jest funkcjonałem liniowym φ : J → do , że φ ( AB ) = φ( BA ) dla wszystkich operatorów A z J i B z B ( H ). Oznacza to, że ślad jest liniowym funkcjonałem na J , który znika w podprzestrzeni komutatora Com( J ) z J .

Ślad φ jest osobliwy , jeśli φ ( A ) = 0 dla każdego A z subideału operatorów rang skończonych F ( H ) w obrębie J .

Istnienie i charakterystyka

Pojedyncze ślady charakteryzują się widmową zgodnością Calkina między dwustronnymi ideałami ograniczonych operatorów w przestrzeni Hilberta i niezmiennymi przestrzeniami sekwencji przegrupowania. Korzystając z charakterystyki widmowej podprzestrzeni komutatora Kena Dykemy, Tadeusza Figiela, Gary'ego Weissa i Mariusza Wodzickiego, do każdego śladu φ na dwustronnym ideale J istnieje unikalny symetryczny funkcjonał f na odpowiedniej przestrzeni sekwencji Calkina j taki, że

{\ Displaystyle \ varphi (A) = {\ rm {f}} (\ mu (A))}

()

dla każdego operatora dodatniego A należącego do J . Tutaj μ: J ₊ → j ₊ jest mapą od operatora dodatniego do jego wartości osobliwych . Ślad osobliwy φ odpowiada symetrycznemu funkcjonałowi f w przestrzeni sekwencji j , który znika na c ₀₀ , sekwencjach ze skończoną liczbą niezerowych wyrazów.

Charakterystyka odpowiada konstrukcji zwykłego śladu operatora gdzie

{\ Displaystyle {\ rm {Tr}} (A) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ mu (n,A)=\suma \mu (A)}

dla A dodatni operator klasy śledzenia. Operatory klas śladowych i przestrzeń sekwencji sumowalnych sekwencji są w korespondencji Calkina. (Suma Σ jest symetrycznym funkcjonałem w przestrzeni sumowalnych sekwencji).

Istnienie

Niezerowy ślad φ istnieje na dwustronnym ideale J operatorów na separowalnej przestrzeni Hilberta, jeśli współwymiar jego podprzestrzeni komutatora nie wynosi zero. Istnieją ideały, które dopuszczają nieskończenie wiele liniowo niezależnych niezerowych śladów osobliwych. Na przykład podprzestrzeń komutatora ideału słabych operatorów klasy śladowej zawiera ideał operatorów klas śladowych, a każdy operator dodatni w podprzestrzeni komutatora słabej klasy śladowej jest klasą śladową. W konsekwencji każdy ślad na ideale słabej klasy śladu jest osobliwy, a współwymiar podprzestrzeni komutatora idealnej klasy słabego śladu jest nieskończony. Nie wszystkie pojedyncze ślady na ideale klasy słabych śladów są śladami Dixmiera.

preparat Lidskiego

Ślad macierzy kwadratowej jest sumą jej wartości własnych. Formuła Lidskiego rozszerza ten wynik na analizę funkcjonalną i stwierdza, że ślad operatora klasy śladowej A jest dany przez sumę jego wartości własnych,

{\ Displaystyle {\ rm {Tr}} (A) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ lambda (n, A) = \ suma (\ lambda (A)).}

Charakterystykę ( 1 ) śladu φ na dodatnich operatorach dwuidealnego J jako funkcjonału symetrycznego zastosowanego do wartości osobliwych można udoskonalić do stwierdzenia, że ślad φ na dowolnym operatorze w J jest dany przez ten sam funkcjonał symetryczny zastosowany do ciągi wartości własnych , pod warunkiem, że wartości własne wszystkich operatorów w J należą do przestrzeni sekwencji Calkina j . W szczególności, jeśli ograniczony operator A należy do J , gdy istnieje ograniczony operator B J. takie

{\ Displaystyle \ prod _ {k = 0} ^ {n} \ mu (k, A) \ równoważnik \ prod _ {k =0}^{n}\mu (k,B)}

()

dla każdej liczby naturalnej n , to dla każdego śladu φ na J istnieje unikalny symetryczny funkcjonał f na przestrzeni Calkina j z

{\ Displaystyle \ varphi (A) = {\ rm {f}} (\ lambda (A))}

()

gdzie λ( A ) jest ciągiem wartości własnych operatora A w J przestawionym tak, że wartość bezwzględna wartości własnych maleje. Jeśli A jest quasi-nilpotentne, to λ( A ) jest sekwencją zerową. Własność ( 2 ) spełnia większość ideałów dwustronnych , w tym wszystkie ideały Banacha i ideały quasi-Banacha.

Równanie ( 3 ) jest dokładnym stwierdzeniem, że przebiegi osobliwe mierzą asymptotyczne zachowanie widmowe operatorów.

Formuła Fredholma

Ślad macierzy kwadratowej jest sumą jej elementów diagonalnych. W analizie funkcjonalnej odpowiedni wzór dla operatorów klas śladowych to

{\ Displaystyle {\ rm {Tr}} (A) = \ suma _{n=0}^{\infty}\langle Ae_{n},e_{n}\rangle =\sum (\{\langle Ae_{n},e_{n}\rangle \}_{n= 0}^{\infty})}

gdzie { e _n } _{n = 0}^∞ jest dowolną bazą ortonormalną separowalnej przestrzeni Hilberta H . Pojedyncze ślady nie mają równoważnego sformułowania dla dowolnych zasad. Tylko wtedy, gdy φ( A )=0, operator A będzie generalnie spełniał

{\ Displaystyle \ varphi (A) = {\ rm {f}} (\ {\ langle Ae_ {n}, e_ {n }\rangle \}_{n=0}^{\infty})}

dla pojedynczego śladu φ i dowolnej bazy ortonormalnej { en _n } _{n =0}^∞ .

Formuła diagonalna jest często używana zamiast formuły Lidskiego do obliczania śladu produktów, ponieważ wartości własne produktów są trudne do określenia. Na przykład w kwantowej mechanice statystycznej oczekiwanie obserwowalnego S jest obliczane na podstawie ustalonego operatora gęstości energii klasy śladowej T za pomocą wzoru

{\ Displaystyle \ langle S \ rangle = {\ rm {Tr}} (ST) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} \ langle Se_ {n}, e_ {n} \ rangle \ lambda (n ,T)=v_{T}(\{\langle Se_{n},e_{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty})}

gdzie v _T należy do ( l _∞ ) _* ≅ l ₁ . Wartość oczekiwana jest obliczana z wartości oczekiwanych ⟨Se n _, en ⟩ _oraz prawdopodobieństwa ⟨ P _n ⟩ = λ( n , T ) układu będącego w związanym stanie kwantowym e _n . Tutaj P _n jest operatorem projekcji na jednowymiarową podprzestrzeń rozpiętą przez stan własny energii e _n . Wartości własne iloczynu λ( n , ST ) nie mają równoważnej interpretacji.

Istnieją wyniki dla pojedynczych śladów produktów. Dla iloczynu ST , gdzie S jest ograniczony, a T jest samosprzężony i należy wtedy do dwustronnego ideału J

{\ Displaystyle \ varphi (ST) = {\ rm {f}} (\ {\ langle Se_ {n}, e_ {n} \ rangle \ lambda (n, T) \} _ {n = 0} ^ {\ infty})=v_{\varphi ,T}(\{\langle Se_{n},e_{n}\rangle \}_{n=0}^{\infty})}

dla dowolnego śladu φ na J . Baza ortonormalna { e _n } _{n =0}^∞ musi być tak uporządkowana, że Te _n = μ( n , T ) e _n , n =0,1,2... . Gdy φ jest liczbą pojedynczą i φ( T )=1, to v _{φ , T} jest funkcjonałem liniowym na l _∞ , który rozciąga granicę w nieskończoności na ciągi zbieżne c . Oczekiwania ⟨ S ⟩ = φ( ST ) w tym przypadku ma tę właściwość, że ⟨ P _n ⟩ = 0 dla każdego n , czyli że nie ma prawdopodobieństwa przebywania w związanym stanie kwantowym. To

{\ Displaystyle \ langle S \ rangle = {\ tekst {`` granica w nieskończoności''}} \ langle Se_ {n}, e_ { n}\szereg }

doprowadziła do powiązania między pojedynczymi śladami, zasadą korespondencji i klasycznymi granicami.

Użyj w nieprzemiennej geometrii

Pierwszym zastosowaniem śladów osobliwych była reszta nieprzemienna , ślad na klasycznych operatorach pseudoróżnicowych na zwartej rozmaitości, który znika na śladowych operatorach pseudoróżnicowych rzędu mniejszego niż ujemny wymiar rozmaitości, wprowadzili Mariusz Wodzicki i Victor Guillemina niezależnie. Alain Connes scharakteryzował nieprzemienną resztę w nieprzemiennej geometrii , uogólnienie Connesa geometrii różniczkowej, używając śladów Dixmiera.

Oczekiwanie obejmujące pojedynczy ślad i gęstość klasy bez śladu jest używane w geometrii nieprzemiennej ,

{\ Displaystyle \ int S = {\ rm {Tr}} _ {\ omega} (S | D | ^ {-d}).}

()

Tutaj S jest ograniczonym operatorem liniowym w przestrzeni Hilberta L ₂ ( X ) funkcji całkowalnych do kwadratu na d -wymiarowej zamkniętej rozmaitości X , Tr _ω jest śladem Dixmiera na ideale klasy słabego śladu, a gęstość | D | ^{− ideałem d} w słabej klasie śladowej jest d- ta potęga „elementu liniowego” | D | ⁻¹ gdzie D jest operatorem typu Diraca odpowiednio znormalizowane, aby Tr _ω (| D | ^{− d} )=1.

Oczekiwanie () jest rozszerzeniem całki Lebesgue'a na algebrze przemiennej zasadniczo ograniczonych funkcji działających przez mnożenie na L ₂ ( X ) do pełnej nieprzemiennej algebry operatorów ograniczonych na L ₂ ( X ). To jest,

{\ Displaystyle \ int M_ {f} = \ int _ {X} f (x) \, dx.}

gdzie dx jest postacią objętości na X , f jest zasadniczo ograniczoną funkcją, a M _f jest operatorem ograniczonym M _f h ( x ) = ( fh ) ( x ) dla dowolnej całkowalnej z kwadratem funkcji h w L ₂ ( X ). Jednocześnie oczekiwanie () jest granicą w nieskończoności oczekiwań kwantowych S → ⟨ Se _n , e _n ⟩ określone przez wektory własne Laplace'a na X . Dokładniej, dla wielu operatorów ograniczonych na L ₂ ( X ), obejmujących wszystkie klasyczne pseudoróżnicowe operatory zerowego rzędu i operatory postaci M _f , gdzie f jest zasadniczo ograniczoną funkcją, sekwencja ⟨ Se _n , en _⟩ jest zbieżna logarytmicznie I

{\ Displaystyle \ int S = \ lim _ {n \ do \ infty} {\ frac {\sum _{k=0}^{n}{\frac {1}{1+k}}\langle Se_{k},e_{k}\rangle }{\sum _{k=0}^ {n}{\frac {1}{1+k}}}}}

Te właściwości są powiązane z widmem operatorów typu Diraca, a nie ze śladami Dixmiera; nadal się utrzymują, jeśli ślad Dixmiera w () zostanie zastąpiony jakimkolwiek śladem na słabych operatorach klasy śledzenia.

Przykłady

Załóżmy, że H jest rozdzielną nieskończenie wymiarową przestrzenią Hilberta.

Ideały bez śladów

Ograniczone operatory. Paul Halmos wykazał w 1954 r., Że każdy operator ograniczony w rozdzielnej, nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta jest sumą dwóch komutatorów. Oznacza to, że Com( B ( H )) = B ( H ) i współwymiar podprzestrzeni komutatora B ( H ) wynosi zero. Ograniczone operatory liniowe dopuszczają brak wszędzie zdefiniowanych śladów. Kwalifikacja jest odpowiednia; jako algebra von Neumanna B ( H ) dopuszcza półskończone (mocno-gęsto zdefiniowane) ślady.

Współczesne badania podprzestrzeni komutatora polegają na sprawdzeniu jej charakterystyki widmowej . Następujące ideały nie mają śladów, ponieważ średnie Cesàro sekwencji dodatnich z odpowiedniej przestrzeni sekwencji Calkina należą z powrotem do przestrzeni sekwencji, co wskazuje, że ideał i jego podprzestrzeń komutatora są równe.

Kompaktowe operatory. Podprzestrzeń komutatora Com( K ( H )) = K ( H ) gdzie K ( H ) oznacza zwarte operatory liniowe . Ideał kompaktowych operatorów nie dopuszcza żadnych śladów.
Schatten p -ideały. Podprzestrzeń komutatora Com( L _p ) = L _p , p > 1, gdzie L _p oznacza p -ideał Schattena ,

{\ Displaystyle L_ {p} = \ {A \ w K (H): \ lewo (\sum _{n=0}^{\infty }\mu (n,A)^{p}\right)^{\frac {1}{p}}<\infty \},} i μ

( A ) oznacza ciąg wartości osobliwych operatora zwartego A . Ideały Schattena dla p > 1 nie dopuszczam żadnych śladów.

Lorentz p -ideały lub słabe- L _p ideały . Podprzestrzeń komutatora Com( L _{p ,∞} ) = L _{p ,∞} , p > 1, gdzie

{\ Displaystyle L_ {p, \ infty} = \ {A \ w K (H): \ mu (n, A) = O (n ^ {- {\ Frac {1} {p}}}) \}}

jest słabym L _p ideałem. Słabe L _p , p > 1, nie dopuszczają żadnych śladów. Słabe L _p są równe ideałom Lorentza (poniżej) z funkcją wklęsłą ψ( n )= n ^{1−1/ p} .

Ideały ze śladami

Operatory skończonego rzędu. Na podstawie warunku widmowego sprawdza się, czy jądro operatora śladu Tr i podprzestrzeń komutatora operatorów skończonego rzędu są równe, ker Tr = Com( F ( H )). Wynika z tego, że podprzestrzeń komutatora Com( F ( H )) ma współwymiar 1 w F ( H ). Aż do skalowania Tr jest unikalnym śladem na F ( H ).
Operatory klasy śledzenia. Operatory klasy śladowej L ₁ mają Com( L ₁ ) ściśle zawarte w ker Tr. Współwymiarowy podprzestrzeń komutatora jest zatem większy niż jeden i okazuje się, że jest nieskończony. Podczas gdy Tr jest, do skalowania, unikalnym ciągłym śladem na L ₁ dla normy ||A|| ₁ = Tr(|A|), ideał operatorów klas śladów dopuszcza nieskończenie wiele liniowo niezależnych i nietrywialnych śladów osobliwych.

Słabe operatory klas śladowych . Ponieważ Com( L _{1 ,∞} ) ₊ = ( L ₁ ) ₊ współwymiar podprzestrzeni komutatora ideału słabego L ₁ jest nieskończony. Każdy ślad na słabych operatorach klas śladowych znika na operatorach klas śladowych, a zatem jest pojedyncza. Operatory słabych klas śladowych tworzą najmniejszy ideał, w którym każdy ślad na ideale musi być osobliwy. Ślady Dixmiera zapewniają wyraźną konstrukcję śladów na operatorach słabych klas śladów.

{\ Displaystyle {\ rm {Tr}} _ {\ omega} (A) = \ omega \ lewo (\ lewo \ {{\ Frac {1} {\ log (1 + n)}} \ suma _ {k = 0}^{n}\lambda (k,A)\right\}_{n=0}^{\infty }\right),\quad A\in L_{1,\infty }.}

Ta formuła jest ważna dla każdego operatora A słabej klasy śledzenia i obejmuje wartości własne uporządkowane w malejącej wartości bezwzględnej. Również ω może być dowolnym rozszerzeniem l _∞ zwykłej granicy, nie musi być niezmiennikiem dylatacji, jak w oryginalnym sformułowaniu Dixmiera. Nie wszystkie pojedyncze ślady na ideale klasy słabych śladów są śladami Dixmiera.

k -tensorowe ideały słabych klas śladowych . Słabe- Lp _ideały , s > 1, nie dopuszczają żadnych śladów, jak wyjaśniono powyżej. Nie są one właściwymi ustawieniami dla faktoryzacji śladów wyższego rzędu w ideale klasy słabego śladu L _{1 ,∞} . Dla liczby naturalnej k ≥ 1 ideały

{\ Displaystyle E _ {\ otimes k} = \ {A \ w K (H): \ mu (n, A) = O (\ log ^ {k-1} (n) / n) \}}

₀ tworzą odpowiednie ustawienie. Mają podprzestrzenie komutatorowe o nieskończonym współwymiarze, które tworzą łańcuch taki, że E _{⊗ k -1} ⊂ Com( E _{⊗ k} ) (z konwencją, że E = L ₁ ). Ślady Dixmiera na E _{⊗ k} mają postać

{\ Displaystyle {\ rm {Tr}} _ {\ omega} ^ {k} (A) = \ omega \ lewo (\ lewo \ {{\ Frac {1} {\ log ^ {k} (1 + n) }}\sum _{j=0}^{n}\lambda (j,A)\right\}_{n=0}^{\infty }\right),\quad A\in E_{\orazy k }.}

Ideały ψ Lorentza. Naturalnym ustawieniem dla śladów Dixmiera jest ideał Lorentza ψ dla wklęsłej funkcji rosnącej ψ : [0,∞) → [0,∞),

{\ Displaystyle L _ {\ psi} = \ {A \ w K (H): {\ Frac {1} {\ psi (1 + n)}} \ suma _ {j = 0} ^ {n} \ mu ( n,A)<\infty \}.}

Jest ich kilka ω które rozszerzają granicę zwyczajną do l _∞ tak, że

{\ Displaystyle {\ rm {Tr}} _ {\ omega} ^ {\ psi} (A) = \ omega \ lewo (\ lewo \ {{\ Frac {1} {\ psi (1 + n)}} \ suma _{j=0}^{n}\lambda (j,A)\right\}_{n=0}^{\infty }\right),\quad A\in L_{\psi }}

to pojedynczy ślad wtedy i tylko wtedy, gdy

{\ Displaystyle \ liminf _ {n \ do \ infty}} {\ Frac {\ psi (2n)}} {\ psi ( n)}}=1.}

Ideał główny generowany przez dowolny operator zwarty A z μ( A )=ψ' nazywany jest „małym ideałem” wewnątrz L _ψ . Ideał k - tensorowej klasy słabych śladów jest małym ideałem wewnątrz ideału Lorentza z ψ=log ^k .

W pełni symetryczne ideały uogólniają ideały Lorentza. Ślady Dixmiera tworzą wszystkie w pełni symetryczne ślady na ideale Lorentza aż do skalowania i tworzą słaby * gęsty podzbiór w pełni symetrycznych ścieżek na ogólnym w pełni symetrycznym ideale. Wiadomo, że w pełni symetryczne ślady są ścisłym podzbiorem pozytywnych śladów na w pełni symetrycznym ideale. Dlatego ślady Dixmiera nie są pełnym zestawem pozytywnych śladów na ideałach Lorentza.

Notatki

S. Lord, FA Sukochev. D. Zanin (2012). Ślady pojedyncze: teoria i zastosowania . Berlin: De Gruyter. doi : 10.1515/9783110262551 . ISBN 978-3-11-026255-1 .

B. Szymon (2005). Śledź ideały i ich zastosowania . Providence, RI: Amer. Matematyka soc. ISBN 978-0-82-183581-4 .

A. Pietscha (1981). „Ideały operatora ze śladem”. Mathematische Nachrichten . 100 : 61–91. doi : 10.1002/mana.19811000105 .

A. Pietscha (1987). Wartości własne i liczby s . Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press. ISBN 978-0-52-132532-5 .

S. Albeverio; D.Guido; A. Ponosow; S. Scarlattiego (1996). „Ślady pojedyncze i operatory zwarte” (PDF) . Dziennik analizy funkcjonalnej . 137 (2): 281–302. doi : 10.1006/jfan.1996.0047 .

M. Wodzickiego (2002). „Śledztwo śledcze” (PDF) . Moskiewski Dziennik Matematyczny . 2 (4): 769–798. doi : 10.17323/1609-4514-2002-2-4-769-798 .

A. Connesa (1994). Geometria nieprzemienna . Boston, MA: Prasa akademicka. ISBN 978-0-12-185860-5 .

Zobacz też

Ślad Dixmiera