Korespondencja Calkina

W matematyce korespondencja Calkina , nazwana na cześć matematyka Johna Williamsa Calkina , jest bijekcyjną zgodnością między dwustronnymi ideałami ograniczonych operatorów liniowych rozdzielnej nieskończenie wymiarowej przestrzeni Hilberta i przestrzeniami sekwencji Calkina (zwanymi także przestrzeniami sekwencji niezmiennych z przegrupowaniem). Zgodność jest realizowana przez odwzorowanie operatora na jego wartości osobliwych .

Wywodzi się z badań Johna von Neumanna nad normami symetrycznymi w algebrach macierzowych . Zapewnia podstawową klasyfikację i narzędzie do badania dwustronnych ideałów zwartych operatorów i ich śladów , redukując problemy dotyczące przestrzeni operatorów do (bardziej rozwiązywalnych) problemów dotyczących przestrzeni sekwencji.

Definicje

Dwustronny ideał J ograniczonych operatorów liniowych B ( H ) na rozdzielnej przestrzeni Hilberta H jest liniową podprzestrzenią taką, że AB i BA należą do J dla wszystkich operatorów A z J i B z B ( H ).

Przestrzeń sekwencji j w l _∞ może być osadzona w B ( H ) przy użyciu dowolnej bazy ortonormalnej { e _n } _{n = 0} ^∞ . Powiąż z sekwencją a z j operatora ograniczonego

${\ Displaystyle {\ rm {diag}} (a) = \ suma _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} | e_ {n} \ rangle \ langle e_ {n} |,$

gdzie notacja bra-ket została użyta do jednowymiarowych rzutów na podprzestrzenie rozpięte przez poszczególne wektory bazowe. Sekwencja wartości bezwzględnych wpisów a w porządku malejącym nazywana jest malejącym przegrupowaniem a . Malejące przegrupowanie można oznaczyć jako μ( n , a ), n = 0, 1, 2, ... Zauważ, że jest ono identyczne z wartościami osobliwymi operatora diag ( a ). Innym oznaczeniem malejącego przegrupowania jest * .

Calkina (lub niezmiennika przegrupowania) jest liniową podprzestrzenią j ograniczonych sekwencji l _∞ taką, że jeśli a jest sekwencją ograniczoną i μ ( n , a ) ≤ μ ( n , b ), n = 0, 1, 2 , ..., dla pewnego b w j , to a należy do j .

Korespondencja

Powiąż z dwustronnym ideałem J przestrzeń sekwencji j określoną przez

${\ Displaystyle j = \ {a \ w l _ {\ infty}: {\ rm {diag}} (\ mu (a)) \ w J \}.}$

Powiąż z przestrzenią sekwencji j dwustronny ideał J określony przez

${\ Displaystyle J = \ {A \ w B (H): \ mu (A) \ w j \}.}$

Tutaj μ( A ) i μ ( a ) są wartościami osobliwymi odpowiednio operatorów A i diag ( a ). Twierdzenie Calkina stwierdza, że ​​​​dwie mapy są do siebie odwrotne. uzyskujemy,

Korespondencja Calkina: dwustronne ideały operatorów ograniczonych w nieskończenie wymiarowej, rozdzielnej przestrzeni Hilberta i przestrzenie sekwencji Calkina są w bijekcyjnej korespondencji.

Wystarczy znać skojarzenie tylko między operatorami dodatnimi i sekwencjami dodatnimi, stąd odwzorowanie μ: J ₊ → j ₊ od operatora dodatniego do jego wartości osobliwych realizuje korespondencję Calkina.

Innym sposobem interpretacji korespondencji Calkina, ponieważ przestrzeń sekwencji j jest równoważna jako przestrzeń Banacha operatorom w ideale operatora J , które są przekątne w stosunku do dowolnej bazy ortonormalnej, jest to, że ideały dwustronne są całkowicie określone przez ich przekątną operatorzy.

Przykłady

Załóżmy, że H jest rozdzielną nieskończenie wymiarową przestrzenią Hilberta.

• Ograniczone operatory . Niewłaściwy dwustronny ideał B ( H ) odpowiada l _∞ .
• ₀ Kompaktowi operatorzy . Właściwy i normą domknięty dwustronny ideał K ( H ) odpowiada c , przestrzeni ciągów zbieżnych do zera .
• Operatory skończonego rzędu . Najmniejszy dwustronny ideał F ( H ) operatorów skończonego rzędu odpowiada c ₀₀ , przestrzeni ciągów o skończonych wyrazach niezerowych.
• Schatten p -ideały . Schatten p -ideały L _p , p ≥ 1 odpowiadają l _p przestrzeniom sekwencji . W szczególności operatory klasy śladowej odpowiadają l1 _{, a operatory Hilberta-} Schmidta odpowiadają l2 _.
• Słabe- Lp _ideały . Słabe L _p ideały L _{p ,∞} , p ≥ 1 odpowiadają słabym l _p przestrzeniom sekwencji .
• Ideały ψ Lorentza. Ideały Lorentza ψ dla rosnącej funkcji wklęsłej ψ : [0,∞) → [0,∞) odpowiadają przestrzeniom sekwencji Lorentza .

Notatki

•   B. Szymon (2005). Śledź ideały i ich zastosowania . Providence, Rhode Island: Amer. Matematyka soc. ISBN 978-0-8218-3581-4 .

•   S. Lord, FA Sukochev. D. Zanin (2012). Ślady pojedyncze: teoria i zastosowania . Berlin: De Gruyter. ISBN 978-3-11-026255-1 .