Przestrzeń Lorentza

W analizie matematycznej $przestrzeni$ latach Lorentza, wprowadzone przez George'a G. Lorentza w pięćdziesiątych XX wieku, są uogólnieniami bardziej .

Przestrzenie Lorentza są oznaczone przez ${\ Displaystyle L ^ {p, q}}$ . Podobnie jak $przestrzenie$ charakteryzują się one normą ( technicznie quasinormą ), która koduje informacje o „rozmiarze funkcji, tak jak ${\ displaystyle L ^ {p}} }}$ norma tak. Dwa podstawowe jakościowe pojęcia „rozmiaru” funkcji to: jak wysoki jest wykres funkcji i jak bardzo jest rozłożony. Normy Lorentza zapewniają ściślejszą kontrolę nad obiema cechami niż $normy$ , poprzez wykładnicze przeskalowanie miary zarówno w zakresie ( $iw$ domenie ( ${\ displaystyle q} }$ ). Normy Lorentza, podobnie jak $, są niezmienne w przypadku dowolnych$ wartości funkcji.

Definicja

Przestrzeń Lorentza na przestrzeni $że$ jest przestrzenią funkcji $skończony$ na X takich, quasinorm jest

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {L ^ {p, q} (X, \ mu)} = p ^ {\ Frac {1} q}}\left\|t\mu \{|f|\geq t\}^{\frac {1}{p}}\right\|_{L^{q}\left(\mathbf {R} ^{+},{\frac {dt}{t}}\right)}}$

gdzie ${\ Displaystyle 0 <p <\ infty}$ i ${\ Displaystyle 0 <q \ równoważnik \ infty}$ . Tak więc, gdy ${\ Displaystyle q <\ infty}$ ,

${\ Displaystyle \| f \ | _ {L ^ {p, q} (X, \ mu)} = p ^ {\ Frac {1} {q}} \ lewo (\ int _ {0} ^ {\ infty }t^{q}\mu \left\{x:|f(x)|\geq t\right\}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {dt}{t}} \right)^{\frac {1}{q}}=\left(\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\tau \mu \left\{x:|f(x)| ^{p}\geq \tau \right\}{\bigr )}^{\frac {q}{p}}\,{\frac {d\tau}}{\tau}}\right)^{\frac {1}{q}}.}$

a kiedy , q $\ Displaystyle q = \ infty}$

${\ Displaystyle \| f \ | _ {L ^ {p, \ infty} (X, \ mu)} ^ {p} = \ sup _ {t> 0} \ lewo (t ^ {p} \ mu \ lewo \{x:|f(x)|>t\prawo\}\prawo).}$

$,\mu )}$${\ Displaystyle L ^ {\ infty, \ infty} (X, \ mu) = L ^ {\ infty} ($ X .

Malejące przegrupowania

$niezmienna$ przy przestawianiu wartości funkcji , zasadniczo z definicji. W szczególności, biorąc pod uwagę $zdefiniowaną w$ o $zespolonych$ miary jej funkcję przegrupowania ${\ Displaystyle f ^ {\ ast}: [0, \ infty) \ do [0, \ infty]}$ można zdefiniować jako

${\ Displaystyle f ^ {\ ast} (t) = \ inf \ {\ alfa \ w \ mathbf {R} ^ {+ }:d_{f}(\alpha )\równoważnik t\}}$

gdzie ${\ displaystyle f}$ tak zwaną funkcją dystrybucji ${\ displaystyle d_ {f}}$ określoną przez re

${\ Displaystyle d_ {f} (\ alfa) = \ mu (\ {x \ w X: | f (x) |> \ alfa \}).}$

Tutaj, dla wygody zapisu, ${\ displaystyle \ inf \ varnothing}$ jest zdefiniowany jako ${\ displaystyle \ infty}$ .

Dwie funkcje ${\ Displaystyle | f |}$ i ${\ Displaystyle f ^ {\ ast}}$ są równomierzalne , co oznacza, że

${\ Displaystyle \ mu {\ bigl (} \ {x \in X:|f(x)|>\alpha \}{\bigr )}=\lambda {\bigl (}\{t>0:f^{\ast }(t)>\alpha \}{\ większy )},\quad \alpha >0,}$

gdzie $jest$ miarą na linii rzeczywistej . Powiązana symetryczna malejąca funkcja przegrupowania , która jest również równomierzalna z , byłaby zdefiniowana na linii rzeczywistej przez ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle \ mathbf {R} \ ni t \ mapsto {\ tfrac {1} {2}} f ^ {\ ast} (| t |).}$

$0<p<\infty$$0<q\leq \infty$ < ∞ \

${\ Displaystyle \|f \|_ {L ^ {p, q}} = {\ rozpocząć {przypadki} \ lewo (\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} \ lewo (t ^ {\ frac { 1}{p}}f^{\ast }(t)\right)^{q}\,{\frac {dt}{t}}\right)^{\frac {1}{q}}&q\ in (0,\infty ),\\\sup \limits _{t>0}\,t^{\frac {1}{p}}f^{\ast }(t)&q=\infty .\end {sprawy}}}$

Przestrzenie sekwencji Lorentza

Kiedy ${\ Displaystyle (X, \ mu) = (\ mathbb {N}, \ #)}$ (miara zliczania na ${\ Displaystyle \ mathbb {N}}$ ), wynikowa przestrzeń Lorentza jest przestrzenią sekwencji . Jednak w tym przypadku wygodnie jest użyć innej notacji.

Definicja.

${\ Displaystyle (a_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty} \ w \ mathbb {R} ^ {\ mathbb {N}}}$ za lub ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {\ mathbb {N}}}$ w złożonym przypadku), niech ${\textstyle \lewo\|(a_{n})_{n=1}^{\infty}\prawo\|_{p}=\lewo(\suma _{n=1}^{\ infty } | a_ {n} | ^ {p} \ prawej) ^ {1/p}}$ oznaczają p -normę dla ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik p <\ infty}$ i ${\textstyle \left\|(a_{n})_{n=1}^{\infty}\right\|_{\infty}=\sup _{n\in \mathbb {N}}|a_{ n}|}$ norma ∞. Oznaczmy przez przestrzeń Banacha wszystkich sekwencji ze skończoną normą p. ${\ displaystyle \ ell _ {p}}$ Niech przestrzeń $Banacha$ wszystkich sekwencji spełniających ${\ Displaystyle \ lim _ {n \ do \ infty} a_ {n} = 0}$ obdarzona ∞- norma. $.$ przez przestrzeń wszystkich sekwencji z tylko skończenie wieloma niezerowymi wpisami Wszystkie te przestrzenie odgrywają rolę w definicji przestrzeni sekwencji Lorentza ${\ Displaystyle d (w, p)}$ poniżej.

Niech ${\ Displaystyle w = (w_ {n}) _ {n = 1} ^ {\ infty} \ w c_ {0} \ setminus \ ell _ { 1}}$ będzie sekwencją dodatnich liczb rzeczywistych spełniających ${\ Displaystyle 1 = w_ {1} \ geq w_ {2} \ geq w_ {3} \ geq \ cdots}$ , i zdefiniuj normę ${\ textstyle \ lewo \ | (a_ {n}) _ {n =1}^{\infty }\right\|_{d(w,p)}=\sup _{\sigma \in \Pi }\left\|(a_{\sigma (n)}w_{n} ^{1/p})_{n=1}^{\infty}\right\|_{p}}$ . Przestrzeń sekwencji Lorentza ${\ Displaystyle d (w, p)} jest zdefiniowany jako$ Banacha wszystkich sekwencji, w których ta norma jest skończona. $_ \cdot \|_{d(w,p)}}$ możemy $w$ jako pod $⋅$ .

Nieruchomości

Przestrzenie Lorentza są naprawdę uogólnieniami przestrzeni $w$$p }=L^{p}}$ sensie, że dla każdego , $L$ p , co wynika z zasady Cavalieriego . Ponadto ${\ Displaystyle L ^ {p, \ infty}}$ zbiega się ze słabym $, ∞ {\ Displaystyle L ^ {p}}$ . Oni są przestrzenie quasi-Banacha (czyli przestrzenie quasi-normowane, które są również kompletne) i są normowalne dla ${\ Displaystyle 1 <p <\ infty}$ i ${\ Displaystyle 1 \ leq q \ leq \infty }$ . p ${\ Displaystyle p = 1}$ , $Displaystyle L ^ {1,1} = L ^ {1}}$$^ {1, \ infty}$ wyposażony w normę, ale nie jest możliwe zdefiniowanie normy równoważnej z quazinormą słabego $Displaystyle$ przestrzeń. Jako konkretny przykład, że nierówność trójkąta zawodzi w ${\ Displaystyle L ^ {1, \ infty}}$ rozważmy

${\ Displaystyle f (x) = {\ tfrac {1} {x }}\chi _{(0,1)}(x)\quad {\text{i}}\quad g(x)={\tfrac {1}{1-x}}\chi _{(0, 1)}(x),}$

których quasi- $cztery$$gdy$ quasi-norma ich .

L ${\ displaystyle L ^ {p, q}}$ zawarta w ${\ displaystyle L ^ {p, r}}$ ilekroć ${\ displaystyle q <r}$ . Przestrzenie Lorentza to rzeczywiste przestrzenie interpolacji między i ${\$$Displaystyle L ^ {\ infty$ }

Nierówność Höldera

${\ Displaystyle \|fg \|_ {L ^{p,q}}\leq A_{p_{1},p_{2},q_{1},q_{2}}\|f\|_{L^{p_{1},q_{1} }}\|g\|_{L^{p_{2},q_{2}}}}$ gdzie ${\ Displaystyle 0 <p, p_ {1}, p_ {2}<\ infty}$ , ${\ Displaystyle 0 <q, q_ {1}, q_ {2} \ równoważnik \ infty}$ 1 $\ Displaystyle 1/p = 1/p_ {1} + 1/p_ {2}}$ i ${\ Displaystyle 1/q = 1/q_ {1} + 1/q_ {2}}$ .

Podwójna przestrzeń

( $, \ mu)}$ jest nieatomową σ-skończoną przestrzenią miary, to ( ja ) ${\ Displaystyle (L ^ {p, } ) ^ {*} = \ {0 \}}$ dla ${\ Displaystyle 0 <p <1}$ lub ${\ Displaystyle 1 = p <q <\ infty}$ ; (ii)
${\ Displaystyle (L ^ {p, q}) ^ {*} = L ^ {p', q'}}$ dla ${\ Displaystyle 1 <p <\ infty, 0 <q \ równoważnik \ infty}$ lub ${\ Displaystyle 0 <q \ równoważnik p = 1}$ ; (iii) ${\ Displaystyle (L ^ {p, \ infty}) ^ {*} \ neq \ {0 \}}$ dla ${\ Displaystyle 1 \ równoważnik p \ równoważnik \ infty}$ . tutaj ${\ Displaystyle p '= p / (p-1)}$ dla ${\ Displaystyle 1 <p <\ infty}$ , ${\ Displaystyle p '=\infty }$ dla ${\ Displaystyle 0 <p \ równoważnik 1}$ i ${\ Displaystyle \ infty '= 1}$ .

Rozkład atomowy

Następujące są równoważne dla ${\ Displaystyle 0 <p \ równoważnik \ infty, 1 \ równoważnik q \ równoważnik \ infty}$ . (i) ${\ Displaystyle \ | f \ | _ {L ^ {p, q}} \ równoważnik A_ {p, q} C}$ . (ii) ${\ Displaystyle f = \ textstyle \ suma _ {n \ in \ mathbb {Z}} f_ {n}}$ gdzie ${\ displaystyle f_ {n}}$ ma rozłączne wsparcie, z miarą ${\ displaystyle \ leq 2^{n}}$ , na którym ${\ Displaystyle 0 <H_ {n + 1} \ równoważnik | f_ {n} | \ równoważnik H_ {n}}$ prawie wszędzie i
${\ Displaystyle \|H_ {n} 2 ^ {n/p} \|_ {\ ell ^ {q} (\ mathbb {Z})} \ równoważnik A_ {p, q }C}$ . (iii) $_$ _ gdzie
${\ Displaystyle \ mu (E_ {n}) \ równoważnik A_ {p, q} '2 ^ {n}}$ i ${\ Displaystyle \ |H_{n}2^{n/p}\|_{\ell ^{q}(\mathbb {Z} )}\leq A_{p,q}C}$ . (iv) ${\ Displaystyle f = \ textstyle \ suma _ {n \ in \ mathbb {Z}} f_ {n}}$ gdzie ${\ Displaystyle f_ {n}}$ ma rozłączne wsparcie $,$ na której ${\ Displaystyle B_ {0}2 ^ {n} \ równoważnik | f_ {n} | \ równoważnik B_ {1}2 ^ {n}} prawie$ wszędzie, ${\ Displaystyle B_ {0 },B_{1}}$ są stałymi dodatnimi, a
${\ Displaystyle \|2 ^ {n} \ mu (E_ {n}) ^ {1/p} \| _ {\ ell ^ {q} (\ mathbb {Z } )}\leq A_{p,q}C}$ . (v) $_$ _ , gdzie ${\ Displaystyle \|2 ^ {n} \ mu (E_ {n}) ^ {1/p} \ | _ {\ ell ^ {q} (\ mathbb {Z} )} \ równoważnik A_ {p, q} C}$ .

Zobacz też

• Przestrzeń interpolacyjna
• Nierówność Hardy'ego-Littlewooda

•    Grafakos, Loukas (2008), Klasyczna analiza Fouriera , Graduate Texts in Mathematics, tom. 249 (wyd. 2), Berlin, Nowy Jork: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-0-387-09432-8 , ISBN 978-0-387-09431-1 , MR 2445437 .