Słaby operator klasy śledzenia

W matematyce słaby operator klasy śladowej jest operatorem zwartym na rozdzielnej przestrzeni Hilberta H z wartościami osobliwymi tego samego rzędu co ciąg harmoniczny . Kiedy wymiar H jest nieskończony, ideał słabych operatorów klasy śladowej jest ściśle większy niż ideał operatorów klasy śladowej i ma zasadniczo inne właściwości. Zwykły ślad operatora na operatorach klasy śledzenia nie rozciąga się na słabą klasę śledzenia. Zamiast tego ideał słabych operatorów klas śladowych dopuszcza nieskończoną liczbę liniowo niezależnych quasi-ciągłych śladów i jest najmniejszym dwustronnym ideałem, dla którego wszystkie ślady na nim są śladami osobliwymi .

Słabe operatory klas śladowych występują w nieprzemiennej geometrii francuskiego matematyka Alaina Connesa .

Definicja

Kompaktowy operator A na nieskończenie wymiarowej rozdzielalnej przestrzeni Hilberta H jest klasą słabego śladu , jeśli μ( n , A ) = O ( n ⁻¹ ), gdzie μ ( A ) jest ciągiem wartości osobliwych . W notacji matematycznej zaznaczony jest dwustronny ideał wszystkich słabych operatorów klas śladowych,

{\ Displaystyle L_ {1, \ infty} = \ {A \ w K (H): \ mu (n, A) = O (n ^ {-1}) \}.}

gdzie ${\ Displaystyle K (H)}$ to operatory zwarte. ^{[ wymagane wyjaśnienie ]} Termin słaba klasa śladowa lub słaba- L _{1 , jest używany, ponieważ ideał operatora odpowiada, w} korespondencji JW Calkina między dwustronnymi ideałami ograniczonych operatorów liniowych i niezmiennych przestrzeni sekwencji przegrupowania, słabemu- l ₁ przestrzeń sekwencji .

Nieruchomości

słabe operatory klas śladowych dopuszczają quasi-normę zdefiniowaną przez

{\ Displaystyle \| A \|_ {w} = \ sup _ { n\geq 0}(1+n)\mu (n,A),}

czyniąc L _1,∞ ideałem operatora quasi-Banacha, czyli ideałem będącym jednocześnie przestrzenią quasi-Banacha .

Zobacz też

B. Szymon (2005). Śledź ideały i ich zastosowania . Providence, RI: Amer. Matematyka soc. ISBN 978-0-82-183581-4 .
A. Pietscha (1987). Wartości własne i liczby s . Cambridge, Wielka Brytania: Cambridge University Press. ISBN 978-0-52-132532-5 .
A. Connesa (1994). Geometria nieprzemienna . Boston, MA: Prasa akademicka. ISBN 978-0-12-185860-5 .
S. Lord, FA Sukochev. D. Zanin (2012). Ślady pojedyncze: teoria i zastosowania . Berlin: De Gruyter. ISBN 978-3-11-026255-1 .