Widmowa trójka
W nieprzemiennej geometrii i pokrewnych gałęziach matematyki i fizyki matematycznej trójka widmowa to zbiór danych, który koduje zjawisko geometryczne w sposób analityczny. Definicja zazwyczaj obejmuje przestrzeń Hilberta , algebrę operatorów na niej i nieograniczony operator samosprzężony , wyposażony w dodatkowe struktury. Został wymyślony przez Alaina Connesa , który był motywowany twierdzeniem o indeksie Atiyah-Singer i szukał jego rozszerzenia na przestrzenie „nieprzemienne”. Niektórzy autorzy nazywają to pojęcie nieograniczonymi cyklami K lub nieograniczonymi modułami Fredholma .
Motywacja
Motywujący przykład trójki widmowej jest podany przez algebrę funkcji gładkich na zwartej rozmaitości spinowej , działającej na przestrzeń Hilberta L2 - spinorów , której towarzyszy operator Diraca związany ze strukturą spinową. Ze znajomości tych obiektów można odzyskać pierwotną rozmaitość jako przestrzeń metryczną: rozmaitość jako przestrzeń topologiczną odzyskuje się jako widmo algebry, podczas gdy operator Diraca (wartość bezwzględna) zachowuje metrykę . Z drugiej strony część fazowa operatora Diraca w połączeniu z algebrą funkcji , daje cykl K, który koduje informacje o teorii indeksu. Formuła indeksu lokalnego wyraża parowanie grupy K rozmaitości z tym cyklem K na dwa sposoby: strona „analityczna / globalna” obejmuje zwykły ślad w przestrzeni Hilberta i komutatory funkcji z operatorem fazy (co odpowiada do części „indeksowej” twierdzenia o indeksie), podczas gdy strona „geometryczna/lokalna” obejmuje ślad Dixmiera i komutatory z operatorem Diraca (co odpowiada części twierdzenia o indeksie „charakterystycznej integracji klas”).
Rozszerzenia twierdzenia o indeksie można rozważać w przypadkach, zwykle gdy ma się działanie grupy na rozmaitość lub gdy rozmaitość jest wyposażona między innymi w strukturę foliacji . W takich przypadkach algebraiczny system „funkcji”, który wyraża podstawowy obiekt geometryczny, nie jest już przemienny, ale można znaleźć przestrzeń kwadratowych całkowalnych spinorów (lub odcinków modułu Clifforda), na których działa algebra, i odpowiedni operator „Diraca” na nim spełniający pewną ograniczoność komutatorów wynikającą z rachunku pseudoróżniczkowego.
Definicja
Nieparzysta trójka widmowa to trójka (A, H, D) składająca się z przestrzeni Hilberta H, algebry A operatorów na H (zwykle domkniętych, przyjmując sprzężenia) i gęsto zdefiniowanego samosprzężonego operatora D spełniającego ‖[a, D] ‖ < ∞ dla dowolnego a ∈ A. Parzysta trójka widmowa jest nieparzystą potrójną widmową z oceną Z /2 Z na H, taką, że elementy w A są parzyste, podczas gdy D jest nieparzyste w odniesieniu do tej oceny. Można również powiedzieć, że parzysta trójka widmowa jest dana przez kwartet (A, H, D, γ) taki, że γ jest jednostką samosprzężoną na H spełniającą a γ = γ a dla dowolnego a w A i D γ = - γ D.
Skończenie sumowalna trójka widmowa jest trójką widmową (A, H, D) taką, że aD dla dowolnego a w A ma zwarty resolwent, który należy do klasy operatorów L p+ dla ustalonego p (gdy A zawiera operator tożsamości na H, wystarczy wymagać D −1 w L p+ (H)). Kiedy ten warunek jest spełniony, mówi się, że trójka (A, H, D) jest p-sumowalna . Mówi się, że widmowa trójka jest θ-sumowalna , gdy e -tD 2 jest klasy śladowej dla dowolnego t > 0.
Niech δ(T) oznacza komutator |D| z operatorem T na H. Mówi się, że trójka widmowa jest regularna , gdy elementy w A i operatory postaci [a, D] dla a w A są w domenie iteratów δ n z δ.
Gdy widmowa trójka (A, H, D) jest p-sumowalna, można zdefiniować jej funkcję zeta ζ D (s) = Tr (|D| −s ); bardziej ogólnie istnieją funkcje zeta ζ b (s) = Tr(b|D| −s ) dla każdego elementu b w algebrze B generowanej przez δ n (A) i δ n ([a, D]) dla dodatnich liczb całkowitych n . Są one powiązane z jądrem ciepła exp(-t|D|) przez transformatę Mellina . Zbiór biegunów analitycznej kontynuacji ζ b dla b w B nazywa się widmem wymiarowym z (A, H, D).
Prawdziwa trójka widmowa to trójka widmowa (A, H, D) z antyliniową inwolucją J na H, spełniającą [a, JbJ] = 0 dla a, b w A. W przypadku parzystym zwykle przyjmuje się, że J jest nawet w odniesieniu do oceny na H.
Ważne pojęcia
Biorąc pod uwagę trójkę widmową (A, H, D), można zastosować do niej kilka ważnych operacji. Najbardziej podstawowym jest rozkład biegunowy D = F|D| z D na samosprzężony operator unitarny F („faza” D) i gęsto zdefiniowany operator dodatni |D| (część „metryczna”).
Metryka w czystej przestrzeni stanów
Pozytywny |D| operator definiuje metrykę na zbiorze czystych stanów na domknięciu normy A.
Parowanie z teorią K
00000 Samosprzężony unitarny F daje mapę K-teorii A na liczby całkowite, biorąc indeks Fredholma w następujący sposób. W przypadku parzystym każdy rzut e w A rozkłada się jako e ⊕ e 1 pod oceną i e 1 Fe staje się operatorem Fredholma od e H do e 1 H . Zatem e → Ind e 1 Fe definiuje mapowanie addytywne K ( A ) do Z. W nieparzystym przypadku rozkład przestrzeni własnej F daje ocenę na H , a każdy odwracalny element w A daje operator Fredholma ( F + 1) u ( F - 1)/4 od ( F - 1) H do ( F + 1 ) H. _ Zatem u → Ind ( F + 1) u ( F - 1)/4 daje odwzorowanie addytywne od K 1 ( A ) do Z .
Kiedy widmowa trójka jest skończenie sumowalna, powyższe indeksy można zapisać za pomocą (super) śladu i iloczynu F , e (odp. u ) i komutatora F z e (odp. u ). Można to zakodować jako a ( p + 1) -funkcjonał na A spełniający pewne warunki algebraiczne i dać kocykle Hochschilda / cyklicznej kohomologii, które opisują powyższe mapy od K-teorii do liczb całkowitych.
Zobacz też
Notatki
- Connes, Alain ; Marcolli, Matylda . Geometria nieprzemienna, pola i motywy kwantowe .
- Várilly, Joseph C. Wprowadzenie do geometrii nieprzemiennej .
- Khalkhali, Masud; Marcolli, Matylda (2005). Zaproszenie do nieprzemiennej geometrii. Wykłady międzynarodowych warsztatów z geometrii nieprzemiennej, Teheran, Iran, 2005 . Hackensack, NJ: World Scientific. ISBN 978-981-270-616-4 . Zbl 1135.14002 .
- Cuntz, Joachim . „Teoria cykliczna, dwuwariantowa teoria K i dwuwariantowa postać Cherna-Connesa”. Homologia cykliczna w geometrii nieprzemiennej .
- Marcolli, Matylda (2005). Arytmetyczna nieprzemienna geometria . Seria wykładów uniwersyteckich. Tom. 36. Z przedmową Jurija Manina. Providence, RI: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 978-0-8218-3833-4 . Zbl 1081.58005 .