Kocykl JLO

W geometrii nieprzemiennej kocykl JLO jest kocyklem (a zatem definiuje klasę kohomologii ) w całej kohomologii cyklicznej . Jest to nieprzemienna wersja klasycznego charakteru Cherna konwencjonalnej geometrii różniczkowej . W geometrii nieprzemiennej pojęcie rozmaitości jest zastępowane nieprzemienną algebrą $.$ funkcji” w domniemanej nieprzemiennej przestrzeni Cykliczna kohomologia algebry ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$ zawiera informacje o topologii tej nieprzemiennej przestrzeni, podobnie jak kohomologia de Rhama zawiera informacje o topologii konwencjonalnej rozmaitości.

$-sumowalny$ metryczną nieprzemiennej geometrii różniczkowej, znaną jako $-sumowalna$ potrójna widmowa ( znana również jako moduł Fredholma)

${\ displaystyle \ theta}$ - sumowalne trójki widmowe

A ${\ displaystyle \ theta}$ -sumowalna potrójna widmowa składa się z następujących danych: θ {\ displaystyle \ theta}

(a) $Przestrzeń$ Hilberta taka $,$ że ​​​​działa na algebra operatorów ograniczonych.

(b) ZA ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {2}}$ -grading ${\ Displaystyle \ gamma}$ na ${\ Displaystyle {\ mathcal {H}}}$ , ${\ displaystyle {\ mathcal {H}} = {\ mathcal {H}} _ {0} \ oplus {\ mathcal {H}} _ {1}}$ . $,$ że algebra nawet poniżej $-oceny$ , tj ${\ Displaystyle a \ gamma = \ gamma a}$ , dla wszystkich ${\ Displaystyle a \ in {\ mathcal {A}}}$ .

(c) Operator samosprzężony (nieograniczony) , zwany operatorem Diraca taki, że ${\ displaystyle D}$

$jest$ i) nieparzyste pod , tj. $D \ gamma = - \ gamma D$$Displaystyle$ }

$\ operatorname {Dom} \ lewo (D \right)}$ ) Każdy $domenę$ , re $Displaystyle$ na siebie i operatora $\ do {\ mathcal {H}}}$ )

(iii) ${\ Displaystyle \ operatorname {tr} \ lewo (e ^ {-tD ^ {2}} \ prawo) <\ infty}$ dla wszystkich ${\ Displaystyle t>0}$ .

Klasyczny przykład $widmowej$ powstaje w następujący sposób. Niech ${\ Displaystyle M}$ będzie zwartą rozmaitością spinową , algebrą gładkich ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = C ^ {\ infty} \ lewo (M \ prawej)}$ funkcje na przestrzeni Hilberta kwadratowych form całkowalnych na $M {$$displaystyle M}$$\ displaystyle M$ i \ $Diraca$ .

Kocykl

Cykl JLO jest sekwencją ${\ Displaystyle \ Phi _ {t} \ lewo (D \ prawej)}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {t} \ lewo (D \ prawo) = \ lewo (\ Phi _{t}^{0}\left(D\right),\Phi _{t}^{2}\left(D\right),\Phi _{t}^{4}\left(D\ po prawej),\ldots \po prawej)}$

funkcjonałów na algebrze , gdzie ${\ displaystyle {\ mathcal {A}}}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {t} ^ {0} \ lewo (D \ prawo) \ lewo (a_ {0} \ prawo )=\mathrm {tr} \left(\gamma a_{0}e^{-tD^{2}}\right),}$

${\ Displaystyle \ Phi _ {t} ^ {n} \ lewo (D \ prawo) \ lewo (a_ {0}, a_ {1}, \ ldots, a_ {n} \ prawo) = \int _{0\leq s_{1}\leq \ldots s_{n}\leq t}\mathrm {tr} \left(\gamma a_{0}e^{-s_{1}D^{2} }\left[D,a_{1}\right]e^{-\left(s_{2}-s_{1}\right)D^{2}}\ldots \left[D,a_{n}\ prawo]e^{-\lewo(t-s_{n}\prawo)D^{2}}\prawo)ds_{1}\ldots ds_{n},}$

dla ${\ Displaystyle n = 2,4, \ kropki}$ . Klasa kohomologii zdefiniowana przez ${\ Displaystyle \ Phi _ {t} \ lewo (D \ prawej)$ od wartości $}$ .

Linki zewnętrzne

• [1] - Oryginalny artykuł przedstawiający kocykl JLO.
• [2] - Niezły zestaw wykładów.