Nilpotentny operator

W teorii operatorów mówi się , że ograniczony operator T w przestrzeni Hilberta jest nilpotentny , jeśli T ⁿ = 0 dla pewnego n . Mówi się, że jest quasinilpotentny lub topologicznie nilpotentny , jeśli jego widmo σ ( T ) = {0}.

Przykłady

W przypadku skończonych wymiarów, tj. gdy T jest macierzą kwadratową z wpisami zespolonymi, σ ( T ) = {0} wtedy i tylko wtedy, gdy T jest podobna do macierzy, której jedyne niezerowe wpisy znajdują się na superdiagonalnej postaci kanonicznej Jordana . To z kolei jest równoważne T ⁿ = 0 dla pewnego n . Dlatego w przypadku macierzy quasinilpotencja pokrywa się z nilpotencją.

Nie jest to prawdą, gdy H jest nieskończenie wymiarowa. Rozważmy operator Volterry , zdefiniowany w następujący sposób: rozważmy kwadrat jednostkowy X = [0,1] × [0,1] ⊂ R ² , z miarą Lebesgue'a m . Na X zdefiniuj funkcję (jądra) K przez

${\ Displaystyle K (x, y) = \ lewo \ {{\ rozpocząć {macierz} 1, & {\ mbox {if}} \; x \ geq y \\ 0, & {\ mbox {inaczej}}. \ koniec {macierz}}\prawo.}$

Operator Volterry jest odpowiednim operatorem całkowym T w przestrzeni Hilberta L ² (0,1) określonym przez

${\ Displaystyle Tf (x) = \ int _ {0} ^ {1} K (x, y) f (y) dy.}$

Operator T nie jest nilpotentny: przyjmij f za funkcję, która wszędzie wynosi 1, a bezpośrednie obliczenie pokazuje, że T ⁿ f ≠ 0 (w sensie L ² ) dla wszystkich n . Jednak T jest quasiilpotentny. Najpierw zauważmy, że K jest w L ² ( X , m ), więc T jest zwarty . Dzięki właściwościom widmowym operatorów zwartych dowolne niezerowe λ w σ ( T ) jest wartością własną. Ale można wykazać, że T nie ma niezerowych wartości własnych, dlatego T jest quasinilpotent.