Operator Volterry

W matematyce , w obszarze analizy funkcjonalnej i teorii operatorów , operator Volterry , nazwany na cześć Vito Volterry , jest ograniczonym operatorem liniowym w przestrzeni L ² [0,1] funkcji całkowalnych z kwadratem o wartościach zespolonych na przedziale [0 ,1]. W podprzestrzeni C [0,1] funkcji ciągłych reprezentuje całkowanie nieoznaczone . Jest to operator odpowiadający równaniom całkowym Volterry .

Definicja

Operator Volterry, V , może być zdefiniowany dla funkcji f ∈ L ² [0,1] i wartości t ∈ [0,1], jako

${\ Displaystyle V (f) (t) = \ int _ {0} ^ {t} f (s) \, ds.}$

Nieruchomości

• V jest ograniczonym operatorem liniowym między przestrzeniami Hilberta , z sprzężeniem hermitowskim
  $${\ Displaystyle V ^ {*} (f) (t) = \ int _ {t} ^ {1} f (s) \, ds.}$$
• V jest operatorem Hilberta-Schmidta , stąd w szczególności jest zwarty .
• V nie ma wartości własnych i dlatego, zgodnie z teorią widmową operatorów zwartych , jego widmo σ ( V ) = {0}.
• V jest operatorem quasinilpotentnym (to znaczy promień widmowy ρ ( V ) wynosi zero) , ale nie jest nilpotentny .
• Normą operatora V jest dokładnie || V || = ² ⁄ _π .

Dalsza lektura

•   Gohberg, Izrael; Krein, MG (1970). Teoria i zastosowania operatorów Volterry w przestrzeni Hilberta . Providence: Amerykańskie Towarzystwo Matematyczne. ISBN 0-8218-3627-7 .